2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)

这是一份2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)，共38页。试卷主要包含了选择题，四象限D．第二象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
3．（2分）当x＜0时，函数y＝的图象位于（ ）
A．第三象限B．第一、二、三象限
C．第二、四象限D．第二象限
4．（2分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3
5．（2分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（ ）
A．4B．8C．6D．10
6．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
7．（2分）如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4
8．（2分）已知O⊙，如图，
（1）作⊙O的直径AB；
（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；
（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：
①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是 ．
10．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝ ．
11．（2分）小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是 ．
13．（2分）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是 ．
14．（2分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝ ．
15．（2分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为 m．
16．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是 ．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．
19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 ．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c，m的值；
（2）求此二次函数的解析式．
21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．
24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为 瓶，每瓶洗手液的利润是 元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 ．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．
（1）直接写出抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ；
（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；
（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：
①若向左平移，则n的取值范围是 ．
②若向右平移，则n的取值范围是 ．
27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．
在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．
（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，
①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD ∠NMD（填＞，＜或＝）；
②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝ ，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是 ．
（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．
请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．
（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是 ；
（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；
（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标xP的取值范围．
2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2分）当x＜0时，函数y＝的图象位于（ ）
A．第三象限B．第一、二、三象限
C．第二、四象限D．第二象限
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数y＝的图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点判断出x＜0时函数图象所在的象限即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，
∴此函数的图象位于一、三象限，
∴当x＜0时函数的图象在第三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质及各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
4．（2分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），
∴平移后抛物线的顶点为（1，3），
∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
故选：B．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
5．（2分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（ ）
A．4B．8C．6D．10
【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵OC＝5，CE＝2，
∴OE＝3，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径＝2；然后在等边△AOD中得到AD＝OA＝2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．
【解答】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．
∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，
∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，
易证△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，
又∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝AD•ct30°＝2
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
7．（2分）如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由，解得或，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
8．（2分）已知O⊙，如图，
（1）作⊙O的直径AB；
（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；
（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：
①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①连接OC，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；
②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；
③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．
【解答】解：如图，连接OC，
①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，
∴＝，
根据垂径定理，得
AB⊥CE，CE＝DE，
所以①正确；
②∵AC＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE＝OE，
∴BE＝BO+OE＝3AE，
∴②正确；
③方法一：
∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CE．
所以③正确．
方法二：
由△ACE∽△CBE，
∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，
∴BC＝2CE，
所以③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是 （﹣4，5） ．
【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5），
故答案为：（﹣4，5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝ ．
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，三角函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（2分）小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得 2250（1﹣x）2＝1000 ．
【分析】直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．
【解答】解：设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得：
2250（1﹣x）2＝1000．
故答案为：2250（1﹣x）2＝1000．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据题意画出图形，即可解决问题．
【解答】解：如图，观察图象可知，A′（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
13．（2分）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是 2 ．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而利用直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，求出即可．
【解答】解：∵直径AB＝4，
∠ACB＝90°，
∵点C在⊙O上，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，根据已知得出AC＝AB是解题关键．
14．（2分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝ 60° ．
【分析】根据旋转的性质得出OA＝OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′＝60°，则可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，
∴OA＝OA′．
∴△OAA′是等边三角形．
∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小是60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为 20 m．
【分析】证出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：AD＝20m．
故答案为：20．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
16．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是 ②③ ．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝，
∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．
由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】利用因式分解法把原方程化为x﹣2＝0或2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝0，
x﹣2＝0或2x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝4，AC＝BC＝4，AB＝2BC，得出BC＝4，AB＝8，求出OA＝4即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，
∴BC＝4，AB＝8，
∴OA＝4，
即⊙O的半径长是4．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 2或5 ．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）分两种情形：当PA＝PB＝2时，易知PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，分别求解即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，
∴∠AED＝∠PAF，
∵PF⊥AE，
∴∠D＝∠PFA＝90°，
∴△PAF∽△AED．
（2）解：当PA＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，
∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．
当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，
∴PA＝PE，
∵PF⊥AE，
∴AF＝FE，
∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AF＝，
∵△PAF∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝5，
综上所述，满足条件的PA的值为2或5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c，m的值；
（2）求此二次函数的解析式．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得m的值；
（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，4），（﹣2，4），
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，c＝4，
∵（﹣3，）的对称点为（1，），
∴m＝；
（2）∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴顶点为（﹣1，），
设y＝a（x+1）2+，
将（0，4）代入y＝a（x+1）2+得，
a+＝4，
解得a＝﹣，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）满足条件的k的值为3，然后把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，
解得k＜4且k≠2；
（2）符合条件的最大整数k＝3，
把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），
当y＝2时，2＝，解得x＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）
当y＝n时，n＝，解得x＝，
∴点C的坐标为（，n），
当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴点D的坐标为（n﹣3，n），
当点C在点D的右侧时，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当0＜n≤2时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴当n≥3+时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．
【分析】（1）如图，连接OD，欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED；
（2）求出AE，证△AED∽△DEB，求出DE，证△FOD∽△FAE，求得FD，由勾股定理求得FO，根据线段和差可求得CF．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，
∴AC＝AB＝2+2＝4，
∵BE＝1，
∴AE＝4﹣1＝3，
过O作OH⊥AB于H，
则四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝2，
∴AH＝1，
∴AH＝AO，
∴∠AOH＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴AF＝2AE＝6，
∴CF＝AF﹣AC＝2．
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠DAE＝∠BDE，
∴△AED∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
解得：FD＝2，
在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，
∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键．
24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为 （60﹣5x） 瓶，每瓶洗手液的利润是 （4+x） 元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据题意列代数式即可得到结论；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；
故答案为：（60﹣5x）；（4+x）；
（2）根据题意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，
解得：x1＝6，x2＝2，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）根据题意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 任意实数 ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 ①③ ．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜3 ．
【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，
故答案为：﹣1＜k＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．
（1）直接写出抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1 ，点A的坐标为 （﹣3，0） ；
（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；
（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：
①若向左平移，则n的取值范围是 0＜n≤4 ．
②若向右平移，则n的取值范围是 0＜n≤2 ．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣，可求解；
（2）将点B坐标代入可求解；
（3）设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，利用特殊点代入可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3的对称轴为直线x＝＝﹣1，AB＝4，
∴点A（﹣3，0），点B（1，0），
故答案为：x＝﹣1，（﹣3，0）；
（2）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3过点B（1，0），
∴0＝m+2m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式：y＝x2+2x﹣3，
（3）如图，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，
把x＝﹣3，y＝0代入解析式可得：0＝（﹣3+1+n）2﹣4，
∴n＝0（舍去），n＝4，
∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4；
设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，
把x＝0，y＝﹣3代入解析式可得：﹣3＝（1﹣n）2﹣4，
∴n＝0（舍去），n＝2，
∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2，
故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．
在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．
（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，
①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD ＝ ∠NMD（填＞，＜或＝）；
②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝ ，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是 AM+MN＝CN ．
（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．
请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．
【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD≌△CND，可得∠BMD＝∠DNC，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN；
②由等腰三角形的性质可求BM＝BD＝＝NC，再求出AM＝2﹣，MN＝AM＝2﹣2，即可得结论；
（2）在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN＝HN，可得结论．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC＝AB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，
∴AM＝AN，
∴BM＝CN，
∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BMD和△CND中，
，
∴△BMD≌△CND（SAS），
∴∠BMD＝∠DNC，
∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，
∴∠BDM＝∠CND，
∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，
故答案为：＝；
②∵BC＝2，BC＝AB，
∴AB＝AC＝2，
∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，
∴BD＝BM＝BC＝，
∴NC＝，
∴AM＝2﹣，
∵AM＝AN，∠A＝90°，
∴MN＝AM＝2﹣2，
∴AM+MN＝2﹣+2﹣2＝＝NC，
故答案为：；AM+MN＝NC；
（2）如图1，在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，
又∵AM＝CH，
∴△AMD≌△CHD（SAS），
∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，
∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，
∴∠ADN+∠CDH＝45°，
∴∠HDN＝45°＝∠MDN，
在△MDN和△HDN中，
，
∴△MDN≌△HDN（SAS），
∴MN＝HN，
∴NC＝CH+NH＝AM+MN．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．
（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是 P1 ；
（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；
（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标xP的取值范围．
【分析】（1）按照新定义，利用构成三角形三边的关系，逐个验证即可求解；
（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，进而求解；
（3）直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：OQ＝1，
P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）的坐标知，点P2、P3都不在圆O外，故不符合题意；
对于P1，OP1＝＝，则OP1﹣OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即﹣1＜P1Q＜+1，
故存在P1Q≤1，故点P1符合题意；
同理可得OP4＝，则﹣1＜P4Q＜+1，
故不存在P4Q≤1，故点P4符合题意；
故答案为P1；
（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，
当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，
设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB＝OA＝2＝b，
同理当直线l处于l′的位置时，b＝﹣2，
故b的取值范围为﹣2≤b≤2；
（3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y＝x+1交于点B、C，
设直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，
设点B的坐标为（x，x+1），
过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，
在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，即（x+1）2+x2＝22，解得x＝（舍去负值），
故x＝＝xB，
同理可得，xC＝﹣，
故0＜xP≤或﹣≤xP＜﹣1．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、新定义、勾股定理的运用等，这种新定义的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般容易解答．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y＝ax2+bx+c
…
4
4
m
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y＝ax2+bx+c
…
4
4
m
…