北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数本章综合与测试优质教学设计

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]





对数的运算


【例1】 (1)求值： eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－ eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245).


(2)已知2lg eq \f(x－y,2)＝lg x＋lg y，求lg eq \s\d2((3－2 eq \r(2))) eq \f(x,y).


[解] (1)原式＝ eq \f(1,2)(lg 32－lg 49)－ eq \f(4,3)lg 2 eq \s\up6 ( eq \f(3,2))＋lg 245 eq \s\up6 ( eq \f(1,2))


＝ eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－ eq \f(4,3)× eq \f(3,2)lg 2＋lg 7＋ eq \f(1,2)lg 5


＝ eq \f(5,2)lg 2＋ eq \f(1,2)lg 5－2lg 2


＝ eq \f(1,2)(lg 10－lg 5)＋ eq \f(1,2)lg 5＝ eq \f(1,2).


(2)由已知得lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,2))) eq \s\up8(2)＝lg xy，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,2))) eq \s\up8(2)＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y))) eq \s\up8(2)－6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＋1＝0.


∴ eq \f(x,y)＝3±2 eq \r(2).


∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＞0，,x＞0，,y＞0，))∴ eq \f(x,y)＞1，


∴ eq \f(x,y)＝3＋2 eq \r(2)，


∴lg eq \s\d2((3－2 eq \r(2))) eq \f(x,y)＝lg eq \s\d2((3－2 eq \r(2)))(3＋2 eq \r(2))＝lg eq \s\d2((3－2 eq \r(2))) eq \f(1,3－2\r(2))＝－1.





对数式的化简与求值的两种思路


(1)利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式，然后正用对数运算法则化简．


(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．(1)＋lg eq \f(1,1000)＋ln eq \r(e)＋21＋lg23的值是( )


A． eq \f(9,2) B． eq \f(11,2)


C． eq \f(13,2) D． eq \f(15,2)


(2)已知 ab＝M(a>0, b>0, M≠1), 且lgM b＝x，则lgM a＝( )


A．1－x B．1＋x


C． eq \f(1,x) D．x－1


(1)B (2)A [(1)原式＝2－3＋ eq \f(1,2)＋6＝ eq \f(11,2).


(2)由lgM b＝x，得b＝Mx，


则a＝ eq \f(M,b)＝M1－x，


所以lgM a＝lgMM1－x＝1－x.]





函数图象及其应用


角度一 由解析式判断函数图象


【例2】 已知f(x)＝ax，g(x)＝lgax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的( )





A B C D


[思路点拨] 本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与对数函数的关系．可利用排除法进行判断．


C [由于f(x)与g(x)互为反函数，所以它们的图象应关于直线y＝x对称，由此，可排除A，D.


又f(3)>0，而f(3)·g(3)<0，


则g(3)<0，


据此可知C正确，故应选C.]


eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．已知f(x)是函数y＝lg2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )





A B C D


C [因为函数y＝lg2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0，2).因此选C.]


角度二 应用函数图象研究函数性质


【例3】 已知f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．


[解] ∵f(x)＝lgax，则y＝|f(x)|的图象如图．





由图示，要使x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))时恒有|f(x)|≤1，


只需 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))≤1，即－1≤lga eq \f(1,3)≤1，


故当a＞1时，得a－1≤ eq \f(1,3)≤a，即a≥3；


当0

综上所述，a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪[3，＋∞).


eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln x|，0e，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．


[解] 函数f(x)的图象如图：





设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，


不妨设a

∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.


∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.


∴abc＝c∈(e，e2).





函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．








对数函数的性质及应用


角度一 比较大小


【例4】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,3)))，b＝f(lg43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，c的大小关系是______．


c＞b＞a [∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,3)))＝f(－ln 3)＝f(ln 3).


∵ln 3>ln e＝1， eq \f(1,2)＝lg42f(lg43)>f(ln 3)，即c>b>a.]





对数函数大小比较的一般规律


(1)当底数相同时，用对数函数的性质直接比较；


(2)当底数不同，真数相同时，用图象作比较；


(3)当底数和真数都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数或真数，常用“0”或“1”作为中介数．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．比较lg0.57与lg0.67的大小．


[解] 在同一直角坐标系内作出对数函数y＝lg0.5x和y＝lg0.6x的图象，可得lg0.57>lg0.67.





角度二 函数性质综合应用


【例5】 已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－bx)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>1>b>0)).


(1)求函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域；


(2)在函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；


(3)当a，b满足什么条件时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在(1，＋∞)上恒取正值？


[解] (1)由ax－bx>0得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up8(x)>1，且a>1>b>0，得 eq \f(a,b)>1，所以x>0，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为(0，＋∞).


(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2，bx1

所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，


即lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax1－bx1))>lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2－bx2))，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在(0，＋∞)上为增函数；


假设函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上存在不同的两点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是增函数矛盾．


故函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．


(3)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在(0，＋∞)上是增函数，


所以当x∈(1，＋∞)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)).


这样只需f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))≥0，


即当a≥b＋1时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在(1，＋∞)上恒取正值．





指数函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数来研究．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


5．已知函数f(x)＝lga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0，1]上是关于x的减函数，若存在，试求a的取值范围．


[解] ∵a>0，且a≠1,


∴u＝2－ax在[0，1]上是关于x的减函数．


又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lga(2－ax)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上是关于x的减函数，


∴函数y＝lgau是关于u的增函数，且对x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))时，u＝2－ax恒为正数．


其充要条件是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞1,2－a＞0))即1＜a＜2.


∴a的取值范围是(1，2).