高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试精品同步练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试精品同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十三) 函数的奇偶性


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )


A．y＝x3 B．y＝|x|＋1


C．y＝－x2＋1 D．y＝－eq \f(2,x)


B [对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－eq \f(2,x)不是偶函数．]


2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )


A．偶函数


B．奇函数


C．既是奇函数也是偶函数


D．非奇非偶函数


A [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．


又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]


3．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为( )





A．[1，＋∞) B．[－1,0]


C．[－1，＋∞) D．[－1,0]和[1，＋∞)


D [偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．]


4．若函数f(x)＝eq \f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a＝( )


A．－eq \f(1,2) B．－1


C．eq \f(1,2) D．1


C [函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,2)，且x≠a))))．


又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq \f(1,2)．]


5．已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

A．(－1,0) B．(0,1)


C．(1,2) D．(－1,1)


B [首先函数定义域是R，再者根据f(2x－1)

二、填空题


6．函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)＝eq \r(x)＋1，x>0，则当x<0时，f(x)＝ ．


－eq \r(－x)－1 [当x<0，即－x>0时，f(－x)＝eq \r(－x)＋1．


∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即


－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1，(x<0)．]


7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝ ．


1 [∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，


∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．


∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，


∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．


∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1．


∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1．]


8．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))的值为 ．


ln 2 [由已知可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝ln eq \f(1,e2)＝－2，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)．


又因为f(x)是偶函数，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝f(2)＝ln 2．]


三、解答题


9．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝3，x∈R；


(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；


(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；


(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2，,0，,x2－1，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x＝0，,x<0.))


(5)f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)－x)．


[解] (1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．


(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，


∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；


当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；


当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0．


综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．


(5)因为对于任意x∈R，eq \r(x2＋1)－x>|x|－x≥0，所以函数f(x)的定义域为R，


又f(－x)＝lg(eq \r(－x2＋1)＋x)＝lneq \f(1,\r(x2＋1)－x)


＝－lg(eq \r(x2＋1)－x)＝－f(x)，


所以函数f(x)是奇函数．


10．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)

[解] 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，


可知f(x)在(0，＋∞)上递减．


∵2a2＋a＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,8)>0，


2a2－2a＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,2)>0，


且f(2a2＋a＋1)

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，


即3a－2>0，解得a>eq \f(2,3)．





1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a为( )


A．－1 B．2


C．－1或2 D．不存在


A [假设a≥0，则f(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程无解，所以a≥0不成立，因此a<0，则－a>0，所以f(－a)＝－a(－a＋1)，由奇函数f(－a)＝－f(a)，即f(－a)＝a2－a＝2，解得a＝－1或a＝2(舍)．]


2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),x)≥0的解集为( )


A．(－∞，－1]∪(0,1]


B．[－1,0]∪[1，＋∞)


C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)


D．[－1,0)∪(0,1]


C [由奇函数的定义可知不等式eq \f(2f－x＋fx,x)≥0即eq \f(－2fx＋fx,x)≥0，则eq \f(fx,x)≤0，


结合奇函数的性质绘制函数f(x)的大致图象如图所示，原不等式等价于：





eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,fx≤0)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0,fx≥0)) ，


结合函数图象可得不等式的解集分别为(－∞，－1]和[1，＋∞)，


综上可得，不等式eq \f(2f－x＋fx,x)≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．选C．]


3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 ．


0 [由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]


4．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2，则奇函数f(x)的值域是 ．


{－2,0,2 } [奇函数的图象关于原点对称，所以当x<0时，f(x)＝－2，又定义域为R，所以f(0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2 }．]


5．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2．若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．


[解] 当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，


∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－eq \f(1,4)，f(x)max＝f(－3)＝2．


又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，eq \f(1,4)，∴m的最小值为eq \f(1,4)，n的最大值为－2，∴(m－n)min＝eq \f(1,4)－(－2)＝eq \f(9,4)，即m－n的最小值为eq \f(9,4)．