苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试练习

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一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.某学生离家去学校,因为怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,如图中y轴表示学生到学校的距离,x轴表示出发后的时间,则符合题意的是(　　)

2.函数f(x)=的定义域是(　　)

A.[-3,+∞) B.[-3,-2)

C.[-3,-2)∪(-2,+∞) D.(-2,+∞)

3.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,0],若k∈(0,1),则函数F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为(　　)

A.[k-1,1-k] B.[-k-1,1+k]

C.[k-1,1+k] D.[-k-1,1-k]

4.若函数f(x)=则f(f(-1))=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

5.函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于(　　)

A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3

6.函数f(x)=|x|(|x-1|-|x+1|)(　　)

A.既是奇函数又是减函数

B.是奇函数但不是减函数

C.是减函数但不是奇函数

D.既不是奇函数又不是减函数

7.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);

②f(b)-f(-a)<g(a)-g(b);

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);

④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).

其中成立的有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

8.形如f(x)=的函数因其图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列说法中正确的个数为(　　)

①函数f(x)的定义域为{x|x≠1};

②f(f(2 020))=-;

③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;

④当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1;

⑤函数g(x)=f(x)-x2+4的图象与x轴有4个交点.

A.2 B.3 C.4 D.5

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.若函数y=f(x)在R上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的值可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,且为奇函数,若f(1)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.下列四个命题,其中为假命题的是(　　)

A.若函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,则f(x)是增函数

B.若函数f(x)=ax2+bx+2的图象与x轴没有交点,则b2-8a<0且a>0

C.f(x)=x2-2|x|-3的单调递增区间为[1,+∞)

D.y=1+x和y=表示同一个函数

12.已知f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1<x2<x3,则下列说法正确的有(　　)

A.x1∈

B.x1+x2+x3的取值范围为

C.x2+x3=6

D.x1+x2=0

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.已知函数f(x)=x3+2x,若f(a2-3a)+f(3-a)<0,则实数a的取值范围是　　　　. 

14.若函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的定义域为R,值域为(-∞,0],则满足条件的实数a组成的集合是　　　　. 

15.符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,若定义函数f(x)=x-[x],则f(x)　　　　奇函数(填“是”或“不是”),f(x)在[0,2]上　　　　增函数(填“是”或“不是”). 

16.如果f(x)=,那么f(1)+f(2)+f+f(3)+f +f(4)+f =　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在[1,3]上有最大值5和最小值2,求实数a,b的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-.

(1)若f(x)>0,求x的取值范围;

(2)判断函数y=f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.

19.(本小题满分12分)设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

20.(本小题满分12分)某商场销售甲、乙两种商品所得利润分别为y1=m+a,y2=bx(其中m,a,b都为实数),函数y1,y2对应的曲线C1、C2如图所示.

(1)求函数y1与y2的解析式;

(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f =1,对于0<x<y,都有f(x)>f(y).

(1)求f(1)的值;

(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.

22.(本小题满分12分)如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=,那么称函数y=f(x)是[a,b]上的平均值函数,x0是它的均值点.

(1)y=x4是不是[-1,1]上的平均值函数?如果是,请找出它的均值点;如果不是,请说明理由;

(2)若函数f(x)=-2x2+2mx+1是[-1,1]上的平均值函数,则求实数m的取值范围.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.D　由题意可知,当x=0时,y最大,所以排除A、C.又因为该学生一开始跑步,所以开始时y值随着x值的增大而减小得较快.故选D.

2.C　由题意,得解得x≥-3且x≠-2,故选C.

3.A　因为x∈[-2,0],所以x+1∈[-1,1],所以函数f(x)的定义域为[-1,1].

要使F(x)有意义,需解得又因为k∈(0,1),所以k-1≤x≤1-k.故函数F(x)的定义域为[k-1,1-k].故选A.

4.B　∵f(x)=

∴f(-1)=1,

∴f(f(-1))=f(1)=1,故选B.

5.B　∵f(f(x))=x,∴=x,∴f(x)=,又∵f(x)=,∴c=-3.

6.A　∵f(-x)=|-x|(|-x-1|-|-x+1|)=|x|·(|x+1|-|x-1|)=-f(x),f(x)的定义域为R,∴f(x)为奇函数.

f(x)=其图象如图所示.

观察图象得f(x)为减函数.

综上,f(x)既是奇函数又是减函数.

7.C　∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴-f(-a)=f(a),g(-b)=g(b).∵a>b>0,∴f(a)>f(b)>f(0)=0,g(a)>g(b)>0,且f(a)=g(a), f(b)=g(b), f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(b)+g(a)>g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),∴①成立,②不成立.又g(b)-g(-a)=g(b)-g(a)<0,而f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>0,∴③成立,④不成立.故选C.

8.B　由于函数的定义域为{x|x≠±1},故①错误;

f(f(2 020))=f,故②正确;

因为函数f(x)=为偶函数,所以其图象关于y轴对称,故③错误;

f(x)=作出y=和y=x2-4的图象如图所示,可知④,⑤正确.故选B.

二、多项选择题

9.AB　由函数y=f(x)在R上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),得2m<-m+9,解得m<3,则实数m的取值范围是(-∞,3).故选AB.

10.ABC　∵f(x)为奇函数,f(1)=1,

∴f(-1)=-f(1)=-1.

∵-1≤f(x-2)≤1,

∴f(-1)≤f(x-2)≤f(1),

∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选ABC.

11.ABCD　A中,如f(x)=-在x>0时是增函数,在x<0时也是增函数,但不能说f(x)为增函数,故是假命题;

B中,当a=0,b=0时,函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,故是假命题;

C中,画出f(x)的图象(图略),可知单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞),故是假命题;

D中,对应关系不同,故是假命题.

12.ABC　作出f(x)的图象,如图所示.

观察图象知,x2+x3=6,而x1∈,所以x1+x2+x3的取值范围为,故选ABC.

三、填空题

13.答案　(1,3)

解析　由题意得f(x)为单调递增函数,且为奇函数,所以f(a2-3a)+f(3-a)<0⇒f(a2-3a)<f(a-3)⇒a2-3a<a-3⇒1<a<3.

14.答案　{-2}

解析　当a=2时,f(x)=-4,值域是{-4}≠(-∞,0],

当a≠2时,f(x)≤0,

则解得a=-2.

15.答案　不是;不是

解析　由f(-1.5)=0.5, f(1.5)=0.5,可得f(-1.5)=f(1.5),

则f(x)不是奇函数.

当0≤x<1时,f(x)=x-[x]=x,

当1≤x<2时,f(x)=x-1,

当x=0.5时,f(0.5)=0.5,

当x=1.5时,f(1.5)=0.5,

则f(0.5)=f(1.5),

则f(x)不是增函数.

16.答案　

解析　∵f(x)=,∴f,∴f(x)+f=1,

∴f(1)=, f(2)+f=1, f(3)+f=1, f(4)+f=1,∴原式=.

四、解答题

17.解析　易知函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=1,

∴f(x)在[1,3]上单调递增,

∴f(x)max=f(3)=5,即3a-b+3=5,(3分)

f(x)min=f(1)=2,即-a-b+3=2,(6分)

∴解得(10分)

18.解析　(1)当x>0时,∵x->0,∴x2-2>0,∴x<-或x>,又x>0,∴x>;(3分)

当x<0时,∵x->0,∴x2-2<0,∴-,又x<0,∴-<x<0.(5分)

∴x的取值范围为(-,0)∪(,+∞).(6分)

(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=x1-=(x1-x2)·,(8分)

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,1+>0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),

∴函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(12分)

19.解析　(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,易知f(x)=f(-x),且x∈R,所以f(x)为偶函数,(2分)

当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,易知f(x)≠f(-x)且f(x)+f(-x)≠0,所以f(x)为非奇非偶函数.(4分)

(2)当x<a时,f(x)=x2-x+a+1=,

当a>时, f(x)min=f,

当a≤时,f(x)不存在最小值.(7分)

当x≥a时,f(x)=x2+x-a+1=.

当a>-时,f(x)min=f(a)=a2+1,

当a≤-, f(x)min=f.(10分)

综上,当a≤-时,f(x)的最小值为-a+;当-<a≤时,f(x)的最小值为a2+1;当a>时,f(x)的最小值为a+.(12分)

20.解析　(1)将,(0,0)代入y1的解析式,解得m=,

则y1=(x≥0),(4分)

将代入y2的解析式,得8b=,解得b=,则y2=x(x≥0).(7分)

(2)设销售甲商品投资x万元,则销售乙商品投资(4-x)万元,商场所获的利润为y万元,则y=x(0≤x≤4).(10分)

令=t(1≤t≤),

则x=t2-1,

则有y=-,

当t=2,即x=3时,y取最大值,最大值为1.

故该商场所获利润的最大值为1万元.(12分)

21.解析　(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0.(3分)

(2)由题意,得f(-x)+f(3-x)≥-2f ,

∴f(-x)+f≥0=f(1),(5分)

∴f≥f(1),

∴f≥f(1),(7分)

则解得-1≤x<0.(12分)

22.解析　(1)是.由已知得 =0,因为x4=0的解有且只有x=0,所以y=x4是[-1,1]上的平均值函数,且它的均值点为0.(4分)

(2)因为函数f(x)=-2x2+2mx+1是[-1,1]上的平均值函数,

所以=2m,

即关于x的方程-2x2+2mx+1=2m在(-1,1)内有实数根,

即2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根,(6分)

令g(x)=2x2-2mx+2m-1,则g(1)=1,g(-1)=4m+1,

当g(-1)<0,即m<-时,函数g(x)在(-1,1)内有一个实数解,满足条件;(8分)

当g(-1)=0,即m=-时,方程2x2-2mx+2m-1=0的实数解为-1,,满足条件;(10分)

当g(-1)>0,即m>-时,要使得方程2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根,则Δ≥0,且函数图象的对称轴在(-1,1)内,即4m2-8(2m-1)≥0,∈(-1,1),解得-<m≤2-.

综上,实数m的取值范围是m≤2-.(12分)