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初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试同步达标检测题
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A. y＝﹣4x B. y＝x﹣4 C. y＝ 4x D. y＝x2
2.对于二次函数 y=ax2+(1−2a)x(a>0) ，下列说法错误的是（ ）．
A. 该二次函数图象的对称轴可以是 y 轴 B. 该二次函数图象的对称轴不可能是 x=1
C. 当 x>2 时， y 的值随 x 的值增大而增大 D. 该二次函数图象的对称轴只能在 y 轴的右侧
3.将抛物线 y=2(x−3)2+2 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. y=2(x−6)2 B. y=2(x−6)2+4 C. y=2x2 D. y=2x2+4
4.已知二次函数y＝﹣（x﹣3）2 ， 那么这个二次函数的图象有（ ）．
A. 最高点（3，0） B. 最高点（﹣3，0） C. 最低点（3，0） D. 最低点（﹣3，0）
5.若点 A(1,y1),B(2,y2) 在抛物线 y=a(x+1)2+2(a<0) 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 2>y1>y2 B. 2>y2>y1 C. y1>y2>2 D. y2>y1>2
6.如图，直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 交于A、B两点，则 y=ax2+(b−k)x+c 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1 ，其图象如图所示，现有下列结论：① abc>0 ；② b−2a<0 ；③ a−b+c>0 ；④ a+b>n(an+b),(n≠1) ；⑤ 2c<3b ．正确的是（ ）
A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
8.二次函数 y=x2+bx+c 的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0 的解为（ ）
A. x1=−1 ， x2=−3 B. x1=−1 ， x2=1 C. x1=−1 ， x2=3 D. x1=−1 ， x2=5
9.若二次函数 y=ax2+bx−1 的最小值为-2，则方程 |ax2+bx−1|=2 的不相同实数根的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ 258 ，若小球经过 74 秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高.
A. 37 B. 47 C. 34 D. 43
二、填空题
11.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1 ， 0），（x2 ， 0），则x1+x2＝________.
12.已知函数满足下列两个条件：①当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小；②它的图象经过坐标原点，请写出一个符合上述条件的函数的表达式________．
13.二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是________.
14.若直线l1与l2相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组 {2x−y=3x+y=3 的解是________ 。
15.受供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是________．
16.对于实数a，b，定义新运算“ ⊗ ”：a ⊗ b= {a2−ab(a≤b)b2−ab(a>b) ；若关于x的方程 (2x+1)⊗(x−1)=t 恰好有两个不相等的实根，则t的值为________．
17.一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是 y=−112x2+23x+53 ，则铅球推出的距离是________.此时铅球行进高度是________.
18.如图抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC=90°，则AE的最小值为________ 。
三、解答题
19.已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
20.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
21.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
22.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，正中间的立柱OC的高为10米（不考虑立柱的粗细），相邻立柱间的水平距离为10米.建立如图坐标系，求距A点最近处的立柱EF的高度.
23.已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．
（Ⅰ）求证：该函数图象与x轴必有交点；
（Ⅱ）若m﹣n＝3，
（ⅰ）当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；
（ⅱ）点A（p ， q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．
24.某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
答案
一、选择题
1.解：A、k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，故A符合题意；
B、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、k＝4＞0，在每一象限，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
D、a＝1，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，故D不符合题意；
故答案为：A．
根据正比例函数的性质，可判断A，根据一次函数的性质，可判断B；根据反比例函数的性质，可判断C，根据二次函数的性质，可判断D．
2.解：该抛物线的对称轴为： x=−1−2a2a=1−12a ，
A. 当 1−12a=0 即 a=12 时，该二次函数图象的对称轴是 y 轴，不符合题意；
B. 由 1−12a≠1 可知该二次函数图象的对称轴不可能是 x=1 ，不符合题意；
C. ∵ a>0 ，
∴ 1−12a<1 ，
∴当 x>2 时， y 的值随 x 的值增大而增大，不符合题意；
D. 该二次函数图象的对称轴可以在 y 轴的左侧，符合题意，
故答案为：D．
求出该抛物线的对称轴为 x=1−12a ，然后对各项进行判断即可．
3.解：将抛物线 y=2(x−3)2+2 向左平移3个单位长度，得到 y=2(x−3+3)2+2 ，
再向下平移2个单位长度，得到 y=2(x−3+3)2+2-2 ，
整理得 y=2x2 ，
故答案为：C．
按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
4.解：∵二次函数y=-（x-3）2 ，
∴ a=−1 ，该函数图象开口向下，
当x=3时，有最大值y=0，
∴该函数图象有最高点（3，0），
故答案为：A．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最高点，并写出最高点的坐标即可．
5. y=a(x+1)2+2(a<0) 的开口向下，对称轴为 x=−1
∵点A，点B在对称轴的右侧，y随着 x 的增大而减小，且 xA
∴ 2>y1>y2
故答案为：A
根据二次函数的性质与A,B点横坐标到对称轴的距离即可判定.
6.解：由题图像得 y1=kx 中k＞0， y2=ax2+bx+c 中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数 y=ax2+(b−k)x+c 对称轴x= −b−k2a ＜0，交x轴于负半轴，
∴当 y1=y2 时，即 kx=ax2+bx+c ，
移项得方程 ax2+(b−k)x+c=0 ，
∵直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 有两个交点，
∴方程 ax2+(b−k)x+c=0 有两个不等的解，即 y=ax2+(b−k)x+c 与x轴有两个交点，
根据函数 y=ax2+(b−k)x+c 对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B符合题意．
故答案为：B
根据题目所给的图像，首先判断 y1=kx 中k＞0，其次判断 y2=ax2+bx+c 中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断 y=ax2+(b−k)x+c 中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
7.∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x= -b2a =1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①不符合题意；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②不符合题意；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③不符合题意；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④符合题意；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a= −b2 ，
代入9a+3b+c<0得9（ −b2 ）+3b+c<0，
−3b2 +c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤符合题意；
故答案为：D．
由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a= −b2 ，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
8.解： ∵x=0 时， y=−3 ； x=2 时， y=−3 ，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1 ，
∴x=−1 或 x=3 时， y=0 ，
∴ 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的解为 x1=−1 ， x2=3 .
故答案为：C
利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1 ，则 x=−1 或 x=3 时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与 x 轴的交点问题得到方程 x2+bx+c=0 的解.
9.解：由题意可知，二次函数 y=ax2+bx−1 的图象开口向上，经过定点 (0,−1) ，最小值为 −2
则二次函数 y=ax2+bx−1 的大致图象如图1所示
函数 y=|ax2+bx−1| 的图象则是由二次函数 y=ax2+bx−1 位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示
由图象可知，方程 |ax2+bx−1|=2 的不相同实数根的个数是3个
故答案为：B.
根据二次函数的图象与性质，先得出 y=|ax2+bx−1| 的图象，求方程 |ax2+bx−1|=2 的解的个数就是求函数 y=|ax2+bx−1| 的图象与直线y=2交点的个数，从而即可得出答案.
10.解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ 258 ，小球经过 74 秒落地，
∴t＝ 74 时，h＝0，
则0＝﹣2×( 74 )2+ 74 m+ 258 ，
解得：m＝ 127 ，
当t＝ −b2a ＝ −1272×(−2) = 37 时，h最大，
故答案为： 37 .
首先根据题意得出m的值，进而求出t＝ −b2a 的值即可求得答案.
二、填空题
11.解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣ −2aa ＝2.
故答案为 : 2.
用两根之和等于-ca即可直接得出答案.
12.若选择二次函数，
∵当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小，
∴二次函数开口向下，即 a<0 ，
∵它的图象经过坐标原点，
∴二次函数可以是 y=−x2 ．
故答案为： y=−x2 （答案不唯一）．
根据常见的几种函数：一次函数，反比例函数和二次函数的图象和性质写出一个符合上述条件的函数的表达式即可．
13.解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3
得 {4a−2b+3=016a+4b+3=0 ，
解得 {a=−924b=34 ，
代入ax2+bx＝0得，﹣ 924 x2+ 34 x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx＝0解方程即可.
14.根据图像与二元一次方程组的关系，可得出交点为（2，1）
即为二元一次方程组的解。
根据函数图像的脚钉与二元一次方程组的解的关系可求解。
15.设百分率为x 可列出40（1+x）2=90，可解出x=50%
根据涨价率与价格的关系，可列出方程。
16.∵当 (2x+1)≤(x−1) 时，即： x≤−2 时， (2x+1)⊗(x−1)=(2x+1)2−(2x+1)(x−1)=2x2+5x+2 ，
当 (2x+1)>(x−1) 时，即： x>−2 时， (2x+1)⊗(x−1)=(x−1)2−(2x+1)(x−1)=−x2−x+2 ，
∴令y= (2x+1)⊗(x−1) = {2x2+5x+2(x≤−2)−x2−x+2(x>−2) ，
画出函数图象，从图象上观察当关于x的方程 (2x+1)⊗(x−1)=t 恰好有两个不相等的实根时，函数y的图象与直线y=t有两个不同的交点，即直线y=t过抛物线y= −x2−x+2 的顶点或直线y=t与x轴重合．
∴t=2.25或t=0．
故答案是：2.25或0．
令y= (2x+1)⊗(x−1) ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t与函数y的图象的位置关系，进而即可求解．
17.解：铅球推出的距离就是当高度 y=0 时x的值
当 y=0 时， −112x2+23x+53=0
解得： x1=10,x2=−2 （不合题意，舍去）
则铅球推出的距离是10.此时铅球行进高度是0
故答案为：10；0.
铅球落地时，高度 y=0 ，把实际问题理解为当 y=0 时，求x的值即可.
18.解：连接PC，AC。OE，
当x=0时，y=3
∴点C（0，3）
当y=0时， -x2-2x+3=0
解之：x1=-3，x2=1
∴点A（-3，0），点B（1，0）
∴OC=OA
∴△AOC和△CDE是等腰直角三角形，
∴△AOC∽△CDE
∴CDCE=ACOC
∵∠DCE=∠ACO=45°，即∠ACD=45°-∠ACE，∠ECO=45°-∠ACE
∴∠ACD=∠ECO，
∴△ACD∽△COE，
∴∠DAC=∠COE，
当AE⊥OE时，AE的值最小，
∴∠AEO=90°，
∴∠EAO+∠EOA=90°，∠EOA+∠COE=90°，
∴∠EAO=∠COE=∠DAC，
∵ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴点P（-1，4）
∵点C（0，3），点A（-3，0），点B（1，0）
∴AP2=22+42=20，PC2=12+12=2，AC2=32+32=18
∴PC=2 ， AC=32
∴AP2=PC2+AC2 ，
∴∠ACP=90°，
在Rt△ACP中
tan∠PAC=tan∠EAO=PCAC=OEAE=232=13
设OE=x，则AE=3x，
在Rt△AOE中，
OE2+AE2=OA2 ， 即x2+（3x）2=32
解之：x=31010
∴AE=3×31010=91010.
故答案为：91010.
连接PC，AC。OE，由x=0求出点C的坐标，由y=0建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由此可证得△AOC是等腰直角三角形，可得到△AOC∽△CDE，利用相似三角形的性质，可证得CDCE=ACOC ， 利用已知易证∠ACD=∠ECO，利用有两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证△ACD∽△COE，根据相似三角形的对应角相等，可得到∠DAC=∠COE，由此可推出∠EAO=∠COE=∠DAC，；用垂线段最短，可知当AE⊥OE时，AE的值最小，再利用函数解析式求出点P的坐标，利用勾股定理的逆定理证明△CPA是直角三角形，利用锐角三角形函数的定义可证得OE与AE的比值，设OE=x，则AE=3x，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的最小值。
img 小部件
三、解答题
19.利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x2+6x−5 ， 然后将其化为顶点式，即可得出结论.
20.（1）将点A的坐标代入 二次函数y=x2+3x+m 即可算出m的值从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入即可算出对应的自变量的值，从而求出其与x轴交点的坐标；根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入即可算出对应的函数值，从而求出其与y轴交点的坐标。
21.作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= 12 AB= 12 x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
22.解：设的解析式是y=a（x-h）2+k
∵抛物线的顶点为C（50，10）
∴y=a（x-50）2+10
把点B（100,0）的坐标代入上式，得
a（100-50）2+10=0
解得 a=-0.004
∴抛物线的解析式是y=-0.004（x-50）2+10=-0.004x2+0.4x
当x=10时，y=-0.004×102+0.4×10=3.6
∴立柱EF的高度为3.6米。
先根据图中所建的坐标系写出点B和点顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；再求出当x=10时的函数值即为所求。
23. （Ⅰ）证明：
∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，
∴该函数图象与x轴必有交点；
解：（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，
∴n＝m﹣3．
∴ y1=mx2−nx−m+n
＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．
当y1＝0时，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，
解得x1＝1， x2=−3m ．
∴二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（ −3m ， 0）
∵当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，
∴ −3m<−m<1 ．
又∵m＞0，
∴ 0
（ⅱ）∵ y2=|mx2−nx−m+n| ， m﹣n＝3，
∴当 x<−3m 或x＞1时，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，
当 −3m≤x≤1 时，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．
∵当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4上方，
∴当 −1<−3m ， 即m＞3时，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，
解得 m≥112 ．
当 −3m<−4 ， 即m <34 时，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4
且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，
∴ m≤720 ．
又∵m＞0，
∴ 0
综上， 0
（Ⅰ）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况.
（Ⅱ）（ⅰ）根据已知条件得到抛物线的解析式为： y1=mx2−nx−m+n ， 由此即可求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据抛物线的增减性求得m的取值范围.
（ⅱ）根据二次函数图像与不等式间的转化关系解答.
24.（1） 由表格中的信息将点（x，p）代入解析式 p＝kx+b， 可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（2）根据销售金额=销售量X单价可得销售金额与销售月份的二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由关系式 y＝﹣50x+2600 可计算出去年12月份每台的售价y和12月的销售量P的值；再结合已知条件可分别表示出今年1月份和2月份的售价和销量，根据今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元 可列方程求解。
x
⋯
-2
-1
0
1
2
4
⋯
y
⋯
5
0
-3
-4
-3
5
⋯
月份（x）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
销售量（p）
3.9万台
4.0万台
4.1万台
4.2万台
4.3万台
4.4万台
一、选择题
1.下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A. y＝﹣4x B. y＝x﹣4 C. y＝ 4x D. y＝x2
2.对于二次函数 y=ax2+(1−2a)x(a>0) ，下列说法错误的是（ ）．
A. 该二次函数图象的对称轴可以是 y 轴 B. 该二次函数图象的对称轴不可能是 x=1
C. 当 x>2 时， y 的值随 x 的值增大而增大 D. 该二次函数图象的对称轴只能在 y 轴的右侧
3.将抛物线 y=2(x−3)2+2 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. y=2(x−6)2 B. y=2(x−6)2+4 C. y=2x2 D. y=2x2+4
4.已知二次函数y＝﹣（x﹣3）2 ， 那么这个二次函数的图象有（ ）．
A. 最高点（3，0） B. 最高点（﹣3，0） C. 最低点（3，0） D. 最低点（﹣3，0）
5.若点 A(1,y1),B(2,y2) 在抛物线 y=a(x+1)2+2(a<0) 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 2>y1>y2 B. 2>y2>y1 C. y1>y2>2 D. y2>y1>2
6.如图，直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 交于A、B两点，则 y=ax2+(b−k)x+c 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1 ，其图象如图所示，现有下列结论：① abc>0 ；② b−2a<0 ；③ a−b+c>0 ；④ a+b>n(an+b),(n≠1) ；⑤ 2c<3b ．正确的是（ ）
A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
8.二次函数 y=x2+bx+c 的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0 的解为（ ）
A. x1=−1 ， x2=−3 B. x1=−1 ， x2=1 C. x1=−1 ， x2=3 D. x1=−1 ， x2=5
9.若二次函数 y=ax2+bx−1 的最小值为-2，则方程 |ax2+bx−1|=2 的不相同实数根的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ 258 ，若小球经过 74 秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高.
A. 37 B. 47 C. 34 D. 43
二、填空题
11.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1 ， 0），（x2 ， 0），则x1+x2＝________.
12.已知函数满足下列两个条件：①当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小；②它的图象经过坐标原点，请写出一个符合上述条件的函数的表达式________．
13.二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是________.
14.若直线l1与l2相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组 {2x−y=3x+y=3 的解是________ 。
15.受供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是________．
16.对于实数a，b，定义新运算“ ⊗ ”：a ⊗ b= {a2−ab(a≤b)b2−ab(a>b) ；若关于x的方程 (2x+1)⊗(x−1)=t 恰好有两个不相等的实根，则t的值为________．
17.一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是 y=−112x2+23x+53 ，则铅球推出的距离是________.此时铅球行进高度是________.
18.如图抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC=90°，则AE的最小值为________ 。
三、解答题
19.已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
20.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
21.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
22.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，正中间的立柱OC的高为10米（不考虑立柱的粗细），相邻立柱间的水平距离为10米.建立如图坐标系，求距A点最近处的立柱EF的高度.
23.已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．
（Ⅰ）求证：该函数图象与x轴必有交点；
（Ⅱ）若m﹣n＝3，
（ⅰ）当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；
（ⅱ）点A（p ， q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．
24.某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
答案
一、选择题
1.解：A、k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，故A符合题意；
B、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、k＝4＞0，在每一象限，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
D、a＝1，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，故D不符合题意；
故答案为：A．
根据正比例函数的性质，可判断A，根据一次函数的性质，可判断B；根据反比例函数的性质，可判断C，根据二次函数的性质，可判断D．
2.解：该抛物线的对称轴为： x=−1−2a2a=1−12a ，
A. 当 1−12a=0 即 a=12 时，该二次函数图象的对称轴是 y 轴，不符合题意；
B. 由 1−12a≠1 可知该二次函数图象的对称轴不可能是 x=1 ，不符合题意；
C. ∵ a>0 ，
∴ 1−12a<1 ，
∴当 x>2 时， y 的值随 x 的值增大而增大，不符合题意；
D. 该二次函数图象的对称轴可以在 y 轴的左侧，符合题意，
故答案为：D．
求出该抛物线的对称轴为 x=1−12a ，然后对各项进行判断即可．
3.解：将抛物线 y=2(x−3)2+2 向左平移3个单位长度，得到 y=2(x−3+3)2+2 ，
再向下平移2个单位长度，得到 y=2(x−3+3)2+2-2 ，
整理得 y=2x2 ，
故答案为：C．
按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
4.解：∵二次函数y=-（x-3）2 ，
∴ a=−1 ，该函数图象开口向下，
当x=3时，有最大值y=0，
∴该函数图象有最高点（3，0），
故答案为：A．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最高点，并写出最高点的坐标即可．
5. y=a(x+1)2+2(a<0) 的开口向下，对称轴为 x=−1
∵点A，点B在对称轴的右侧，y随着 x 的增大而减小，且 xA
∴ 2>y1>y2
故答案为：A
根据二次函数的性质与A,B点横坐标到对称轴的距离即可判定.
6.解：由题图像得 y1=kx 中k＞0， y2=ax2+bx+c 中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数 y=ax2+(b−k)x+c 对称轴x= −b−k2a ＜0，交x轴于负半轴，
∴当 y1=y2 时，即 kx=ax2+bx+c ，
移项得方程 ax2+(b−k)x+c=0 ，
∵直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 有两个交点，
∴方程 ax2+(b−k)x+c=0 有两个不等的解，即 y=ax2+(b−k)x+c 与x轴有两个交点，
根据函数 y=ax2+(b−k)x+c 对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B符合题意．
故答案为：B
根据题目所给的图像，首先判断 y1=kx 中k＞0，其次判断 y2=ax2+bx+c 中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断 y=ax2+(b−k)x+c 中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
7.∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x= -b2a =1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①不符合题意；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②不符合题意；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③不符合题意；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④符合题意；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a= −b2 ，
代入9a+3b+c<0得9（ −b2 ）+3b+c<0，
−3b2 +c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤符合题意；
故答案为：D．
由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a= −b2 ，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
8.解： ∵x=0 时， y=−3 ； x=2 时， y=−3 ，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1 ，
∴x=−1 或 x=3 时， y=0 ，
∴ 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的解为 x1=−1 ， x2=3 .
故答案为：C
利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1 ，则 x=−1 或 x=3 时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与 x 轴的交点问题得到方程 x2+bx+c=0 的解.
9.解：由题意可知，二次函数 y=ax2+bx−1 的图象开口向上，经过定点 (0,−1) ，最小值为 −2
则二次函数 y=ax2+bx−1 的大致图象如图1所示
函数 y=|ax2+bx−1| 的图象则是由二次函数 y=ax2+bx−1 位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示
由图象可知，方程 |ax2+bx−1|=2 的不相同实数根的个数是3个
故答案为：B.
根据二次函数的图象与性质，先得出 y=|ax2+bx−1| 的图象，求方程 |ax2+bx−1|=2 的解的个数就是求函数 y=|ax2+bx−1| 的图象与直线y=2交点的个数，从而即可得出答案.
10.解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ 258 ，小球经过 74 秒落地，
∴t＝ 74 时，h＝0，
则0＝﹣2×( 74 )2+ 74 m+ 258 ，
解得：m＝ 127 ，
当t＝ −b2a ＝ −1272×(−2) = 37 时，h最大，
故答案为： 37 .
首先根据题意得出m的值，进而求出t＝ −b2a 的值即可求得答案.
二、填空题
11.解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣ −2aa ＝2.
故答案为 : 2.
用两根之和等于-ca即可直接得出答案.
12.若选择二次函数，
∵当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小，
∴二次函数开口向下，即 a<0 ，
∵它的图象经过坐标原点，
∴二次函数可以是 y=−x2 ．
故答案为： y=−x2 （答案不唯一）．
根据常见的几种函数：一次函数，反比例函数和二次函数的图象和性质写出一个符合上述条件的函数的表达式即可．
13.解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3
得 {4a−2b+3=016a+4b+3=0 ，
解得 {a=−924b=34 ，
代入ax2+bx＝0得，﹣ 924 x2+ 34 x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx＝0解方程即可.
14.根据图像与二元一次方程组的关系，可得出交点为（2，1）
即为二元一次方程组的解。
根据函数图像的脚钉与二元一次方程组的解的关系可求解。
15.设百分率为x 可列出40（1+x）2=90，可解出x=50%
根据涨价率与价格的关系，可列出方程。
16.∵当 (2x+1)≤(x−1) 时，即： x≤−2 时， (2x+1)⊗(x−1)=(2x+1)2−(2x+1)(x−1)=2x2+5x+2 ，
当 (2x+1)>(x−1) 时，即： x>−2 时， (2x+1)⊗(x−1)=(x−1)2−(2x+1)(x−1)=−x2−x+2 ，
∴令y= (2x+1)⊗(x−1) = {2x2+5x+2(x≤−2)−x2−x+2(x>−2) ，
画出函数图象，从图象上观察当关于x的方程 (2x+1)⊗(x−1)=t 恰好有两个不相等的实根时，函数y的图象与直线y=t有两个不同的交点，即直线y=t过抛物线y= −x2−x+2 的顶点或直线y=t与x轴重合．
∴t=2.25或t=0．
故答案是：2.25或0．
令y= (2x+1)⊗(x−1) ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t与函数y的图象的位置关系，进而即可求解．
17.解：铅球推出的距离就是当高度 y=0 时x的值
当 y=0 时， −112x2+23x+53=0
解得： x1=10,x2=−2 （不合题意，舍去）
则铅球推出的距离是10.此时铅球行进高度是0
故答案为：10；0.
铅球落地时，高度 y=0 ，把实际问题理解为当 y=0 时，求x的值即可.
18.解：连接PC，AC。OE，
当x=0时，y=3
∴点C（0，3）
当y=0时， -x2-2x+3=0
解之：x1=-3，x2=1
∴点A（-3，0），点B（1，0）
∴OC=OA
∴△AOC和△CDE是等腰直角三角形，
∴△AOC∽△CDE
∴CDCE=ACOC
∵∠DCE=∠ACO=45°，即∠ACD=45°-∠ACE，∠ECO=45°-∠ACE
∴∠ACD=∠ECO，
∴△ACD∽△COE，
∴∠DAC=∠COE，
当AE⊥OE时，AE的值最小，
∴∠AEO=90°，
∴∠EAO+∠EOA=90°，∠EOA+∠COE=90°，
∴∠EAO=∠COE=∠DAC，
∵ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴点P（-1，4）
∵点C（0，3），点A（-3，0），点B（1，0）
∴AP2=22+42=20，PC2=12+12=2，AC2=32+32=18
∴PC=2 ， AC=32
∴AP2=PC2+AC2 ，
∴∠ACP=90°，
在Rt△ACP中
tan∠PAC=tan∠EAO=PCAC=OEAE=232=13
设OE=x，则AE=3x，
在Rt△AOE中，
OE2+AE2=OA2 ， 即x2+（3x）2=32
解之：x=31010
∴AE=3×31010=91010.
故答案为：91010.
连接PC，AC。OE，由x=0求出点C的坐标，由y=0建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由此可证得△AOC是等腰直角三角形，可得到△AOC∽△CDE，利用相似三角形的性质，可证得CDCE=ACOC ， 利用已知易证∠ACD=∠ECO，利用有两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证△ACD∽△COE，根据相似三角形的对应角相等，可得到∠DAC=∠COE，由此可推出∠EAO=∠COE=∠DAC，；用垂线段最短，可知当AE⊥OE时，AE的值最小，再利用函数解析式求出点P的坐标，利用勾股定理的逆定理证明△CPA是直角三角形，利用锐角三角形函数的定义可证得OE与AE的比值，设OE=x，则AE=3x，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的最小值。
img 小部件
三、解答题
19.利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x2+6x−5 ， 然后将其化为顶点式，即可得出结论.
20.（1）将点A的坐标代入 二次函数y=x2+3x+m 即可算出m的值从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入即可算出对应的自变量的值，从而求出其与x轴交点的坐标；根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入即可算出对应的函数值，从而求出其与y轴交点的坐标。
21.作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= 12 AB= 12 x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
22.解：设的解析式是y=a（x-h）2+k
∵抛物线的顶点为C（50，10）
∴y=a（x-50）2+10
把点B（100,0）的坐标代入上式，得
a（100-50）2+10=0
解得 a=-0.004
∴抛物线的解析式是y=-0.004（x-50）2+10=-0.004x2+0.4x
当x=10时，y=-0.004×102+0.4×10=3.6
∴立柱EF的高度为3.6米。
先根据图中所建的坐标系写出点B和点顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；再求出当x=10时的函数值即为所求。
23. （Ⅰ）证明：
∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，
∴该函数图象与x轴必有交点；
解：（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，
∴n＝m﹣3．
∴ y1=mx2−nx−m+n
＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．
当y1＝0时，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，
解得x1＝1， x2=−3m ．
∴二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（ −3m ， 0）
∵当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，
∴ −3m<−m<1 ．
又∵m＞0，
∴ 0
（ⅱ）∵ y2=|mx2−nx−m+n| ， m﹣n＝3，
∴当 x<−3m 或x＞1时，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，
当 −3m≤x≤1 时，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．
∵当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4上方，
∴当 −1<−3m ， 即m＞3时，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，
解得 m≥112 ．
当 −3m<−4 ， 即m <34 时，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4
且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，
∴ m≤720 ．
又∵m＞0，
∴ 0
综上， 0
（Ⅰ）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况.
（Ⅱ）（ⅰ）根据已知条件得到抛物线的解析式为： y1=mx2−nx−m+n ， 由此即可求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据抛物线的增减性求得m的取值范围.
（ⅱ）根据二次函数图像与不等式间的转化关系解答.
24.（1） 由表格中的信息将点（x，p）代入解析式 p＝kx+b， 可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（2）根据销售金额=销售量X单价可得销售金额与销售月份的二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由关系式 y＝﹣50x+2600 可计算出去年12月份每台的售价y和12月的销售量P的值；再结合已知条件可分别表示出今年1月份和2月份的售价和销量，根据今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元 可列方程求解。
x
⋯
-2
-1
0
1
2
4
⋯
y
⋯
5
0
-3
-4
-3
5
⋯
月份（x）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
销售量（p）
3.9万台
4.0万台
4.1万台
4.2万台
4.3万台
4.4万台
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