人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性优秀第1课时教学设计及反思

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第1课时 单调性的定义与证明








1．增函数与减函数的定义


思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？


提示：定义中的x1，x2有以下3个特征


(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；


(2)有大小，通常规定x1＞x2；


(3)属于同一个单调区间．


2．函数的单调性与单调区间


如果函数y＝f(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在M上具有单调性(当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．


思考2：函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？


提示：不是．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．


3．函数的最值





1．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是( )





A．[－4,4]


B．[－4，－3]∪[1,4]


C．[－3,1]


D．[－3,4]


C [由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]


2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )


A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x


C．y＝x2 D．y＝1－x


D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]


3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )


A．－1,0 B．0,2


C．－1,2 D.eq \f(1,2)，2





C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]


4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．


(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]





【例1】 证明：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．


[思路点拨] eq \x(设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2)―→


eq \x(作差：fx1－fx2)eq \(――→,\s\up14(变形))eq \x(判号：fx2>fx1)eq \(――→,\s\up14(结论))eq \x(减函数)


[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))＝eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)，


∵00，x2＋1>0，


∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，


∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．





【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．


(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，xf(b)时，af(5x－6)，则实数x的取值范围为________．


[思路点拨] (1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系)数形结合,eq \x(建立关于a的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求a的范围)


(2)eq \x(f2x－3>f5x－6)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数,eq \x(建立关于x的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求x的范围)


(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，


只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.


∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．


(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，


∴2x－3>5x－6，即x0，,5x－6>0，,2x－3eq \f(3,2).


∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).





函数单调性的应用


1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.


2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.








【例4】 已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).


(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；


(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．


[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－10，


所以f(x1)