高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性学案设计，共10页。
第2课时　函数的平均变化率理解函数的平均变化率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均变化率证明函数的增减性． 新知初探·自主学习——突出基础性知识点一　直线的斜率　一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．知识点二　函数的平均变化率1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是________0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是________0在I上恒成立．一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的________．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.基础自测1.直线l经过两点A(－1，3)，B(－1，6)，则直线l的斜率是(　　)A．1　　　　B．－1　　　　C．　　　　D．不存在2．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b等于(　　)A．4B．－7C．1D．－13．已知函数y＝3x－4，则(　　)A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定4．如图是函数y＝f(x)的图像．(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　三点共线问题例1　已知平面上三点A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________．教材反思直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算；(3)判断三点共线的问题，就是由这三点任意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线．跟踪训练1　(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)A．3　　B．－2C．2D．不存在(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．                  题型2　求函数的平均变化率例2　已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．                      方法归纳求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定义求出＝.跟踪训练2　函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为________．题型3　用函数的平均变化率判断单调性用函数递增递减的充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可．例3　证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．                方法归纳利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤：(1)设∀x1，x2∈I⊆定义域，且x1≠x2；(2)计算；(3)判断与0的关系；(4)依据充要条件得结论．跟踪训练3　证明f(x)＝是定义域上的增函数．                 第2课时　函数的平均变化率新知初探·自主学习知识点一　x1＝x2知识点二1．(1)＞　(2)＜　平均变化率2．(1)　f＝(2)　f＝[基础自测]1．答案：D2．解析：由题意得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.答案：C3．答案：A4．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.(2)由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.答案：(1)　(2)课堂探究·素养提升例1　【解析】　直线AB的斜率为＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，即＝1，解得x＝5.【答案】　1　5跟踪训练1　解析：(1)直线AB的斜率为＝－2，故选B.(2)证明：直线AB的斜率为＝2，直线BC的斜率为＝2，因此A，B，C三点共线．答案：(1)B　(2)见解析例2　【解析】　(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴＝＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.跟踪训练2　解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.答案：－8－2Δx例3　【证明】　设∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则＝＝＝＝，＞0，∴＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．跟踪训练3　证明：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，设∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，则＝＝，＝＝＞0，∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．