人教B版 (2019)3.1.2 函数的单调性学案设计

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  3.1.2　函数的单调性最新课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.知识点一　定义域为A的函数f(x)的单调性　定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间M叫做y＝f(x)的单调区间．　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．知识点三　函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.[基础自测]1．下列说法中正确的有(　　)①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个　B．1个C．2个  D．3个解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．答案：A2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)A．m>    B．m<C．m>－  D．m<－解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.答案：B3．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)A．有最大值无最小值  B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值  D．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图像下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2 题型一　利用函数图像求单调区间[经典例题]例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为(　　)　　A．(－3,1)∪(1,4)     B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4)  D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】　C观察图像，若图像呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． 跟踪训练1　函数f(x)的图像如图所示，则(　　)　　　　　　A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图像上就是图像上升对应增函数，图像下降对应减函数，故选A.答案：A图像上升或下降趋势判断．题型二　函数的单调性判断与证明[教材P93例1]例2　求证：函数f(x)＝－2x在R上是减函数．【证明】　任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)＝(－2x1)－(－2x2)＝2(x2－x1)>0，从而f(x1)>f(x2)．因此，函数f(x)＝－2x在R上是减函数．　先根据单调性的定义任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号. 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．利用四步证明函数的单调性．题型三　利用函数的单调性求最值[经典例题]例3　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．【解析】　(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝－＝＝，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝. 方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练3　已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，f(x1)－f(x2)＝－＝.由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.1判断函数的单调性.2利用单调性求出最大小值.题型四　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3]．　首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4　例4中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解析：由例4知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.  课时作业 17一、选择题1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)A．y＝－3x＋2　 B．y＝C．y＝x2－4x＋5  D．y＝3x2＋8x－10解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)A．f(－2)，0  B．0,2C．f(－2)，2  D．f(2)，2解析：由图像知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．答案：C4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)     D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.答案：C二、填空题5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图像，则函数f(x)的单调递增区间是____________．解析：由图像知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．答案：[－1.5,3]和[5,6]6．函数y＝x＋的最小值为________．解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，所以y＝t2＋t＋1＝2＋，当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.答案：17．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．解析：画出函数y＝|x2－4x|的图像，由图像得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]三、解答题8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f(x)＝的图像，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝的图像如图所示．由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图像，并根据图像解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图像如图所示．(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，在上是减函数，因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；单调递减区间为 .(2)因为f＝，f()＝，所以f(x)在区间上的最大值为.