2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：9专题九 圆的综合题

专题九　圆的综合题

类型一 与三角形结合

(2019·广东)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.

(1)求证：ED＝EC；

(2)求证：AF是⊙O的切线；

(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．

【分析】 (1)由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；

(2)连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，得到证；

(3)证△ABE∽△CBA得AB2＝BC·BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG.

【自主解答】

1．(2019·中山模拟)如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且C是的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若＝，求证：AE＝AO；

(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD＝2，求AD的长．

2．(2019·广东模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan D＝，求的值；

(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

类型二 与四边形结合

(2019·禅城区二模)如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A，B，C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.

(1)证明：AB＝CE；

(2)证明：DC与⊙O相切；

(3)若⊙O的半径r＝5，AB＝8，求sin∠ACE的值．

【分析】 (1)由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得∠D＝∠B＝∠DEC，即可得CD＝CE＝AB；

(2)由垂径定理可得CF⊥AB，即可证DC与⊙O相切；

(3)连接OE，OA，过点C作CN⊥AD于点N，过点O作OM⊥AE于点M，由勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质即可得解．

【自主解答】

3．(2019·空港经济区一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E.点F为CD延长线上一点，且DF＝BC.

(1)证明：AC＝AF；

(2)若AD＝2，AF＝＋1，求AE的长；

(3)若EG∥CF交AF于点G，连接DG.证明：DG为⊙O的切线．

4．(2019·霞山区一模)如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD，BA交于点E，连接AC，BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB.

(1)求证：AH是⊙O的切线；

(2)若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

(3)若＝，求证：CD＝DH.

参考答案

类型一

【例1】 (1)如图，

∵AB＝AC，∴∠1＝∠3.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.

∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∴ED＝EC.

(2)如图，连接OA，OB，OC，

∵OB＝OC，AB＝AC，

∴AO是BC的垂直平分线，∴AO⊥BC.

∵由(1)已证∠2＝∠3，∴AB∥DF.

∵AB＝AC＝CF，

∴四边形ABCF是平行四边形，

∴AF∥BC，∴AO⊥AF，

∴AF是⊙O的切线．

(3)如图，连接AG，

∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5.

∵G是△ADC的内心，∴∠7＝∠8.

∵∠BAG＝∠5＋∠7，∠6＝∠1＋∠8，

∴∠BAG＝∠6，∴AB＝BG.

∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，∴△ABE∽△CBA，

∴＝，

∴AB2＝BE·BC＝25，∴AB＝5，∴BG＝5.

跟踪训练

1．(1)证明：如图，连接OC，AC，CG.

∵C是的中点，∴AC＝CG，＝，

∴∠ABC＝∠CBG.

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG.

∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

 (2)解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，

∴＝＝，

∴＝＝＝.

∵OA＝OB，∴AE＝OA.

(3)解：如图，过A作AH⊥DE于H.

由(2)知∠E＝30°，∴∠EBD＝60°，

∴∠CBD＝∠EBD＝30°.

∵CD＝2，∴BD＝6，DE＝6，BE＝12，

∴AE＝BE＝4，∴AH＝2，

∴EH＝2，∴DH＝4.

在Rt△DAH中，AD＝＝2.

2．(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线．

(2)解：如图，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD＝90°，

∴∠ECO＋∠OCD＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＋∠ECO＝90°，

∴∠ACE＝∠DCO.

∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ADC.

∵∠CAE＝∠DAC，∴△ACE∽△ADC，∴＝.

∵tan D＝，∴＝，∴＝.

(3)解：由(2)知＝，设AE＝x，AC＝2x.

∵△ACE∽△ADC，∴＝，

∴AC2＝AE·AD，∴(2x)2＝x(x＋6)，

解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，

∴AE＝2，AC＝4.

由(1)知AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°.

∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，

∴＝＝.

设BF＝a，

则BC＝，BO＝BC－OC＝－3.

在Rt△BOF中，BO2＝OF2＋BF2，

∴(－3)2＝32＋a2，

解得a＝或a＝0(不合题意，舍去)，

∴AB＝AF＋BF＝.

类型二

【例2】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC.

∵四边形ABCE是圆的内接四边形，

∴∠DEC＝∠B，∴∠D＝∠DEC，

∴CD＝CE，∴AB＝CE.

(2)如图，连接CO，并延长CO交AB于F.

∵AC＝BC，∴＝，且CO是半径，

∴CF⊥AB，AF＝BF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且CF⊥AB，

∴CF⊥CD，且CO是半径，∴DC与⊙O相切．

(3)如图，连接OE，OA，过点C作CN⊥AD于点N，过点O作OM⊥AE于点M，

∵AF＝BF，AB＝8，

∴AF＝BF＝4，且AO＝5，CF⊥AB，

∴OF＝＝3，∴CF＝CO＋OF＝8，

∴AC＝＝4，∴AC＝BC＝AD＝4.

∵∠B＝∠D，∠CND＝∠CFB＝90°，

∴△CDN∽△CBF，∴＝，∴DN＝.

∵CD＝CE，CN⊥DA，∴DN＝EN＝，

∴AE＝AD－DN－EN＝.

∵OE＝OA，OM⊥AD，

∴AM＝EM＝AE＝，∠EOM＝∠AOE.

∵∠ACE＝∠AOE，

∴∠ACE＝∠EOM，

∴sin∠ACE＝sin∠EOM＝＝.

跟踪训练

3．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF.

在△ABC和△ADF中，

∴△ABC≌△ADF，∴AC＝AF.

(2)解：由(1)得，AC＝AF＝＋1.

∵AB＝AD，∴＝，∴∠ADE＝∠ACD.

∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，

∴AE＝＝＝＝2－2.

(3)证明：∵EG∥CF，

∴＝＝1，∴AG＝AE.

由(2)得＝，∴＝.

∵∠DAG＝∠FAD，∴△ADG∽△AFD，

∴∠ADG＝∠F.

∵AC＝AF，∴∠ACD＝∠F.

又∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ADG＝∠ABD.

∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，

∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∴∠ADG＋∠BDA＝90°，

∴GD⊥BD，∴DG为⊙O的切线．

4．(1)证明：如图，连接OA.

由圆周角定理得∠ACB＝∠ADB.

∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB.

∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°.

在△DAB和△DAE中，

∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE.

又∵OB＝OD，∴OA∥DE.

又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线．

(2)解由(1)知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝6.

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝.

(3)证明：由(2)知，OA是△BDE的中位线，

∴OA∥DE，OA＝DE，∴△CDF∽△AOF，

∴＝＝，∴CD＝OA＝DE，

即CD＝CE.

∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，∴CD＝DH.