2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：10专题十 几何变换综合题

专题十　几何变换综合题

类型一 涉及一个动点的几何问题

(2017·广东)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0，2)和C(2，0)，点D是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.

(1)填空：点B的坐标为________；

(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3)①求证：＝；

②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值．

【分析】 (1)求出AB，BC的长即可解决问题；

(2)先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°，由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；

(3)①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；

②作DH⊥AB于H.想办法用x表示BD，DE的长，构建二次函数即可解决问题。

【自主解答】

1．(2019·中山模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，E为AD边上一动点(不与点A重合)，AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG.设AE＝x，S△BEG＝y.

(1)证明：△AFG∽△BFC；

(2)求y与x的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)若△BFC为等腰三角形，请直接写出x的值．

2．(2019·威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒．

(1)求证：CE＝EF；

(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)求△BEF面积的最大值．

3．(2019·霞山区一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为(4，6)，点P为线段OA上一动点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P作PF⊥OP且PF＝PO(点F在第一象限)，连接FD，BE，BF，设OP＝t.

(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示)：________；

(2)四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；

(3)△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，请说明理由．

类型二 涉及两个动点的几何问题

(2018·广东)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC.

(1)填空：∠OBC＝________°；

(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【分析】 (1)只要证明△OBC是等边三角形即可；

(2)求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E.②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．③当4＜x≤4.8时，M，N都在BC上运动，作OG⊥BC于G.

【自主解答】

4．(2019·青岛)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作 QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

类型三 涉及动线、动图的几何问题

(2016·广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA，OP.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

【分析】 (1)根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

(2)根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的性质与判定，可得∠PQO，根据全等三角形的性质与判定，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；

(3)根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．

【自主解答】

5．(2019·广东模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A(0，－6)，点B(6，0)．Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

(1)如图2，当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．

(2)如图3，在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

(3)在Rt△CDE的运动过程中，设AC＝h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

6．(2019·普宁模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标(－6，0)，点C在y轴正半轴上，且cos B＝，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动(P点到达D点时停止运动)，移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其他边交于点Q.

(1)求点D坐标；

(2)求△OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)在直线l移动过程中，是否存在t值，使S＝S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

类型一

【例1】 (1)(2，2)

提示：∵四边形AOCB是矩形，

∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，

∴B(2，2)．

(2)存在．理由如下：

∵OA＝2，OC＝2，tan∠ACO＝＝，

∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°.

如图，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，

∴∠DCE＝∠EDC＝30°，

∴∠DBC＝∠BCD＝60°，

∴△DBC是等边三角形，

∴DC＝BC＝2.

在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，

∴AC＝2AO＝4，

∴AD＝AC－CD＝4－2＝2，

∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．

如图，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，

∴∠ABD＝∠ADB＝75°，

∴AB＝AD＝2.

综上所述，满足条件的AD的值为2或2.

(3)①如图，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N.

∵A(0，2)和C(2，0)，

∴直线AC的表达式为y＝－x＋2.

设D(a，－a＋2)，

∴DN＝－a＋2，BM＝2－a.

∵∠BDE＝90°，

∴∠BDM＋∠NDE＝90°，∠BDM＋∠DBM＝90°，

∴∠DBM＝∠EDN.

∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，

∴＝＝＝.

②如图，作DH⊥AB于H.

在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，

∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，

∴BH＝2－x，

在Rt△BDH中，

BD＝＝，

∴DE＝BD＝·，

∴矩形BDEF的面积为

y＝[(x2)＋(2－x2)]，

即y＝(x－3)2＋.

∵＞0，

∴x＝3时，y有最小值.

跟踪训练

1．(1)证明：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，

∴∠ABF＋∠FBC＝90°.

∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，

∴∠ABF＋∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠FBC.

∵FG⊥FC，∴∠GFC＝90°，

∴∠AFB＝∠GFC，∴∠AFB－∠GFB＝∠GFC－∠GFB，

即∠AFG＝∠BFC，∴△AFG∽△BFC.

(2)解：由(1)得△AFG∽△BFC，

∴＝.

在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，

在Rt△EAB中，tan∠EBA＝，

∴＝，∴＝.

∵BC＝AD＝4，AB＝5，∴AG＝＝，

BG＝AB－AG＝5－x，

∴y＝BG·AE＝(5－x)x＝－x2＋x＝－(x－)2＋，

∴y的最大值为.

(3)解：∵△BFC为等腰三角形，

①当FC＝FB时，如图，过点F作FH⊥BC于H，过点F作FP⊥AB于P，

∴BH＝CH＝BC＝2，四边形BHFP是矩形，

∴FP＝BH＝2.

在Rt△BPF中，tan∠PBF＝＝，

在Rt△APF中，tan∠AFP＝＝.

∵∠AFP＋∠PAF＝90°，∠PBF＋∠PAF＝90°，

∴∠PBF＝∠PFA，∴＝.

∵AP＋PB＝AB＝5，∴AP＝5－PB，

∴＝，

∴PB＝4或PB＝1(舍)．

∵PF∥AE，∴△PBF∽△ABE，

∴＝，∴＝，∴x＝AE＝.

②当BF＝BC＝4时，

在Rt△ABF中，AF＝＝3，

易得△AEF∽△BAF，

∴＝，∴＝，∴x＝AE＝.

③当FC＝BC＝4时，如图，连接CG，

在Rt△CFG和Rt△CBG中，

∴Rt△CFG≌Rt△CBG，∴FG＝BG.

∵△ABF是直角三角形，∴点G是AB的中点，

∴AG＝BG＝AB＝.

由(2)知AG＝x，

∴x＝，∴x＝.

即x的值为，或.

2．(1)证明：如图，过点E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，

∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN.

∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，

∴∠AEM＝∠NFE.

∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，

∴BN＝EN＝AM，∴△AEM≌△EFN(AAS)，

∴AE＝EF.

∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE.

∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴AE＝CE＝EF.

(2)解：在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝10，

∴0≤x≤5，

由题意得BE＝2x，

∴BN＝EN＝x，

由(1)知AE＝EF＝EC，分两种情况：

当0≤x≤时，

∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10－x，

∴BF＝FN－BN＝10－x－x＝10－2x，

∴y＝BF·EN＝(10－2x)·x＝－2x2＋5x(0≤x≤5)；

当<x≤5时，过E作EN⊥BC于N，

∴EN＝BN＝x，∴FN＝CN＝10－x，

∴BF＝BC－2CN＝10－2(10－x)＝2x－10，

∴y＝BF·EN＝(2x－10)×x＝2x2－5x.

(3)解：当0≤x≤时，y＝－2x2＋5x＝－2(x－)2＋，

∵－2<0，∴当x＝时，y有最大值是；

当<x≤5时，

y＝2x2－5x＝2(x－)2－.

∵2>0，∴当x>时，y随x的增大而增大，

∴当x＝5时，y有最大值50.

即△BEF面积的最大值是50.

3．解：(1)(t＋6，t)

(2)如图，连接EF，过点E作EG⊥x轴于点G.

∵DA∥EG，

∴△PAD∽△PGE，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝t(4－t)，

∴BD＝AB－AD＝6－t(4－t)＝t2－t＋6.

∵EG⊥x轴，FP⊥x轴，且EG＝FP，

∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF＝PG，

∴S四边形BEDF＝S△BDF＋S△BDE＝BD·EF＝×(t2－t＋6)×6＝(t－2)2＋16，

∴当t＝2时，S有最小值是，最小值为16.

(3)①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上．

∵PF＝OP＜AB，

∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角；

②假设∠FDB为直角，则点D在EF上．

∵点D在矩形的对角线PE上，

∴点D不可能在EF上，即∠FDB不可能为直角；

③假设∠BFD为直角，且FB＝FD，则∠FBD＝∠FDB＝45°.

如图，作FH⊥BD于点H，

则FH＝PA，即4－t＝6－t，方程无解，

∴假设不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．

类型二

【例2】 (1)60

(2)∵OB＝4，∠ABO＝30°，

∴OA＝OB＝2，AB＝OA＝2，

∴S△AOC＝OA·AB＝×2×2＝2.

∵△BOC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝90°，

∴AC＝＝2，

∴OP＝＝＝.

(3)①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动．如图，过点N作NE⊥OC且交OC于点E，

则NE＝ON·sin 60°＝x，

∴y＝OM·NE

＝×1.5x×x＝x2，

∴x＝时，y有最大值，最大值为.

②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

如图，作MH⊥OB于H，则BM＝8－1.5x，

MH＝BM·sin 60°＝(8－1.5x)，

∴y＝ON·MH＝－x2＋

2x.

当x＝时，y取最大值，

∴y＜.

③当4＜x≤4.8时，M，N都在BC上运动，如图，作OG⊥BC于G.

MN＝12－2.5x，OG＝AB＝2，

∴y＝MN·OG＝12－x，

当x＝4时，y有最大值，∴y<2.

综上所述，y有最大值，最大值为.

跟踪训练

4．解：(1)在Rt△ABC中，

∵AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，

∵AC＝6，tan B＝＝，

PE＝，cos B＝＝，

∴BE＝.

∵BC＝8，∵EC＝8－.

当点E在∠BAC的平分线上时，

PE＝EC，即＝8－，

∴t＝4，∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．

(2)如图，作PH⊥AC于H，则△APH∽△ABC，

∴＝，

即＝，

∴PH＝.

∵AB∥CD，FQ∥AC，

∴∠ACD＝∠BAC＝∠GQD，

∴∠ABC＝∠CDO，∴△DGQ∽△DOC∽△BCA，

∴＝，＝＝.

∵O为AC的中点，∴OC＝3，∴OD＝4，CD＝5.

∵DQ＝t，∴DG＝t，GQ＝t，

∴S＝S四边形ABCD－S△AOP－S△AOD－S△BPE－S梯形ECDG

＝×8×6＋×6×4－×3×－×3×4－t×－×3(＋8－)

＝－t2＋t＋6(0<t<5)．

(3)∵S＝－t2＋t＋6(0<t<5)，－<0，

∴t＝－＝－＝.

∵0<<5，∴存在t＝.

(4)假设存在．

如图，∵∠EOC＋∠COQ＝90°，∠GOQ＋∠COQ＝90°，

∴∠EOC＝∠GOQ，

∴Rt△EOC∽Rt△QOG，∴＝，

即＝，

化简为t2－13.2t＋32＝0，

即(t－10)(t－3.2)＝0，

∴t1＝10(舍)，t2＝3.2，∴存在t＝3.2时，使OE⊥OQ.

类型三

【例3】 (1)四边形APQD为平行四边形．

(2)OA＝OP，OA⊥OP.

理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.

∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ.

在△AOB和△POQ中，

∴△AOB≌△POQ(SAS)，∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.

(3)如图，过O作OE⊥BC于E.

①如图，当P点在B点右侧时，

则BQ＝x＋2，OE＝，

∴y＝··x，即y＝(x＋1)2－.

又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2.

②如图，当P点在B点左侧时，

则BQ＝2－x，OE＝，

∴y＝··x，即y＝－(x－1)2＋.

又∵0≤x≤2，

∴当x＝1时，y有最大值为.

综上所述，当x＝2时，y有最大值为2.

跟踪训练

5．解：(1)∵在平面直角坐标系中，点A(0，－6)，点B(6，0)．

∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°.

∵∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，

∴∠OCE＝60°，∴∠CMA＝∠OCE－∠OAB＝ 60°－45°＝15°，

∴∠BME＝∠CMA＝15°.

(2)∵∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，

∴∠OBC＝∠DEC＝30°.

∵OB＝6，∴BC＝4.

(3)①h＜2时，如图，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F.

∵CD＝4，DE＝4，AC＝h，AN＝NM，

∴CN＝4－FM，AN＝MN＝4＋h－FM.

∵△CMN∽△CED，∴＝，

∴＝，

解得FM＝4－h，

∴S＝S△EDC－S△EGM＝×4×4－(4－4－h)×(4－h)＝－h2＋4h＋8，

S最大＝15－.

②当2≤h＜6－2时，

S＝S△AOB－S△ACM＝×6×6－h(h＋h)＝18－h2，

S最大＝15－.

③如图，当6－2＜h≤6时，

S＝S△OBC＝OB×OC＝

(6－h)2，

S最大＝6.

6．解：(1)在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝6，

cos B＝，

∴BC＝＝10，∴OC＝＝8.

∵四边形ABCD为菱形，CD∥x轴，

∴点D的坐标为(10，8)．

(2)∵AB＝BC＝10，点B的坐标为(－6，0)，

∴点A的坐标为(4，0)．

分两种情况考虑，如图所示．

①当0≤t≤4时，PQ＝OC＝8，OQ＝t，

∴S＝PQ·OQ＝4t.

∵4＞0，∴当t＝4时，S取得最大值，最大值为16；

②当4＜t≤10时，设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，

将A(4，0)，D(10，8)代入y＝kx＋b得

解得

∴直线AD的表达式为y＝x－.

当x＝t时，y＝t－，

∴PQ＝8－(t－)＝(10－t)，

∴S＝PQ·t＝－t2＋t.

∵S＝－t2＋t＝－(t－5)2＋，－<0，

∴当t＝5时，S取得最大值，最大值为.

综上所述，S关于t的函数关系式为

S＝

S的最大值为.

(3)S菱形ABCD＝AB·OC＝80.

当0≤t≤4时，4t＝12，

解得t＝3；

当4＜t≤10时，－t2＋t＝12，

解得t1＝5－(舍去)，t2＝5＋.

综上所述，在直线l移动过程中，存在t值，使S＝S菱形ABCD，t的值为3或5＋.