2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：核心母题二
展开
核心母题二 相似三角形
【核心母题】
如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.
求证：△ABC∽△AED.
【知识链接】 相似三角形的性质与判定．
【母题分析】先证得＝，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
【母题解答】
角度一 条件开放型
子题1：如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
【子题分析】 根据相似三角形的判定方法解答即可．
【子题解答】
角度二 结论开放型
子题2：如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：________．
【子题分析】 利用平行四边形的性质得到AD∥CE，再根据相似三角形的判定方法可得答案．
【子题解答】
角度三 由判定向其性质衍生
子题3：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( )
A．8 B．12 C．14 D．16
【子题分析】 直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的性质得出答案．
【子题解答】
角度四 设置陷阱
子题4：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．
【子题分析】 根据勾股定理求出BD，分PD＝DA，P′D＝P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算，本题易忽略其中一种情况而出错．
【子题解答】
角度五 设置背景
子题5：如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．
【子题分析】 首先证明△ABP∽△CDP，可得＝，再代入相应数据可得答案．
【子题解答】
角度六 由静态向动态衍生
子题6：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从B出发沿BC以2 cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1 cm/s的速度向A移动，若P，Q分别从B，C同时出发，设运动时间为t s，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？
【子题分析】 分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【子题解答】
角度七 与其他知识综合
子题7：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【子题分析】 先判断出△ABC与△DEB相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．
【子题解答】
模型一 A字型
子题8：如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，该条件为____________________________．
子题9：如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
模型二 8字型
已经存在一组等角(对顶角)
子题10：如图，已知AB∥CD，若＝，则＝________.
子题11：如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )
A．AO·CO＝BO·DO B.＝
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
模型三 双垂直型
有一个公共角，有三个直角．
子题12：如图，△ABC的高AD，BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．
模型四 一线三垂直型
一线三垂直常存在的背景图形：
子题13：如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
子题14：如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任意一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形( )
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
类型五 一线三等角型
需满足∠B＝∠ACE＝∠D.
子题15：如图，等边△ABC中，边长为5，点D，E，F，分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝60°.
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．
参考答案
【核心母题突破】
【核心母题】
∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，
∴＝＝1.2，＝＝1.2，
∴＝.
∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.
【母题衍生角度】
角度一
子题1: DF∥AC(答案不唯一)
理由：∵∠A＝∠A，＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∴当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD.
故答案为DF∥AC(答案不唯一)．
角度二
子题2: ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF.
故答案为△ADF∽△ECF(答案不唯一)．
角度三
子题3: ∵在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC.
∵＝，∴＝.
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为16.故选D.
角度四
子题4: 如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10.
当PD＝DA＝8时，BP＝BD－PD＝2.
∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，
解得PE＝.
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3.
故答案为或3.
角度五
子题5: 如图，
由题意可得∠APE＝∠CPE，
∴∠APB＝∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，∴＝.
∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，
∴＝，得CD＝8米．故答案为8.
角度六
子题6: CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得t＝；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得t＝.
综上所述，当t＝或时，△CPQ与△CBA相似．
角度七
子题7: 在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5.
如图，连接BE，
∴∠BAC＝∠EDB.
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，
∵BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，
∴△ABC∽△DEB，
∴＝，即＝，∴DB＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝2.
故选D.
【母题衍生模型】
模型一
子题8: ∠D＝∠C(答案不唯一)
子题9: B
模型二
子题10:
子题11: B
模型三
子题12: 解：与△AFE相似的三角形有：△BFD，△ACD，△BCE.
选择求证：△ACD∽△AFE.
证明：∵△ABC的高AD，BE交于点F，
∴∠ADC＝∠AEF＝90°.
∵∠CAD＝∠FAE，∴△ACD∽△AFE.
模型四
子题13: 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.
子题14: A
模型五
子题15: (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠EDF＋∠CDF＝∠B＋∠BED，∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD.
(2)解：∵等边△ABC中，边长为5，BD＝1，
∴CD＝BC－BD＝4.
∵△BDE∽△CFD，∴＝，∴BE＝.
