2024-2025学年河北省邢台市高三上学期12月期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省邢台市高三上学期12月期末数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知单位向量和的夹角为，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．12B．16C．24D．32
7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72B．96C．114D．124
8．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ）
A．B．C．4D．
10．若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，平面
D．当，时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为 .（用数值作答）
13．已知数列，满足，，则 .
14．设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表.
(1)请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
(2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附：，其中.
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若为上一点，，，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面.
(1)证明.
(2)若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求.
18．已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，.
(1)求抛物线的方程.
(2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：轴平分.
（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围.
19．定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”.
(1)若函数是二次函数，证明：是“等差函数”.
(2)判断函数是否为“等差函数”，并说明理由.
(3)判断函数是否为“等比函数”，并说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】，故.
故选：B.
2．【正确答案】D
【详解】，即.
故选：D.
3．【正确答案】A
【详解】由题意，设，，，
则，，
，
则，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】令，则，，
.
故选：D.
5．【正确答案】A
【详解】充分性：若，因为，，，所以，
因为，所以，则充分性成立.
必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
所以，则.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故C.
8．【正确答案】B
【详解】令，则，
由，可得，
即，.
因为是定义在R上的减函数，所以也是定义在R上的减函数，
故，即.
因为，所以，即实数的取值范围是.
故选：B
9．【正确答案】AC
【详解】由，可得由题可知中只有一个元素.
当时，解得，此时，符合题意；
当时，即，则或是方程的解.
当是方程的解时，解得，此时，符合题意；
当是方程的解时，无解.故或4.
故选：AC.
10．【正确答案】BCD
【详解】令，则，
设切点为，所以切线方程为，切线过点，
代入得，即方程有两个解，
则，解得或.
故选：BCD.
11．【正确答案】ACD
【详解】设，，，，分别为棱，，，，的中点，
当时，点在线段上，平面，
所以平面，又平面，所以，A正确.
当时，点在线段上，，平面，
与平面不平行，所以三棱锥的体积不是定值，B错误.
当时，点在线段上，
因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面，
因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面，
平面，平面平面，又平面，所以平面，C正确.
当，时，为的中点，如图，三棱锥与三棱柱的外接球相同.
在中，，，
由余弦定理得，所以.
设外接圆的半径为，
在中，由正弦定理得，
故外接圆的半径.
设三棱柱外接球的半径为，由勾股定理得，
则三棱锥外接球的表面积，D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由，，可得，
.
故
14．【正确答案】
【详解】设，.由的中点为，得，.
因为，在双曲线上，则，两式相减得，
所以，故直线的方程为，即，
联立方程,消去得，
显然，此时，
令，可得，所以或，结合，故或，
即的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)认为性别与感冒情况无关.
(2)分布列见解析，
【详解】（1）零假设为：性别与感冒情况不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与感冒情况无关.
（2）根据分层随机抽样的知识可知，男性有2人，女性有3人，
所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
所以由正弦定理得.
由余弦定理可知，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以.
因为，所以.
由（1）可知，又，所以.
所以的面积为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）如图，取为的中点，连接，
在平面中，作，交于点，
因为，所以，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
又所以平面，所以
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，即，
可得，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，得，
易得平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
整理得，解得或（舍去），所以，
又因为，所以.
18．【正确答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由题可知，，，由已知得直线的斜率恒不为0，故可设.
联立，可得，
因为直线与相切于点，所以，解得，
则，.
因为，所以，解得，即抛物线的方程为.
（2）如图：
（i）由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由（1）得.
联立方程组，可得，则，，
所以.
故轴平分.
（ii）由（i）可知直线与关于轴对称，所以点，关于轴对称，则.
不妨设，因为点在与之间，所以，，
，，
则，令，则，
令，则，解得；由，则，解得.
则在上单调递增，在上单调递减，，
所以的取值范围为.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)函数不是“等差函数”，理由见解析
(3)函数不是“等比函数”，理由见解析
【详解】（1）令.
设，，是曲线上三个不同的点.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”.
（2）假设函数为“等差函数”.
因为，且，，成等差数列，所以.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即.
令，则.
令，则，故在上单调递增，
，即，则在上单调递增，.
故当时，，即无解，
故函数不是“等差函数”.
（3）假设函数为“等比函数”.
因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，，
直线的斜率
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”.性别
感冒情况
合计
不感冒
感冒
男性
30
15
45
女性
45
10
55
合计
75
25
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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