2024-2025学年河北省沧州市高三上学期12月教学数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省沧州市高三上学期12月教学数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数，且，则（ ）
A．2B．C．D．1
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表：
根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ）
A．所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120
B．所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过
C．所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60
D．所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间
5．已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，曲线y=fx与y=gx有两个交点Ax1,y1,Bx2,y2，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆台的体积为，上､下底面的半径分别为为圆台的一条母线，若为圆台上底面内的一条直线，圆台的母线与所成的角的最小值为，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1
8．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于函数和，下列说法正确的是（ ）
A．与有相同的最小正周期
B．与一定不存在相同的零点
C．与的图象有相同的对称轴
D．存在区间与均单调递增
10．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知抛物线的准线为，为上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．与相离
B．的最小值为
C．的最大值为
D．四边形的面积的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为等差数列的前项和，若，则 .
13．已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 .
14．已知集合是由个连续正整数构成的集合，记集合中所有元素的和为，若，则集合中最小的元素为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为，若.
(1)求；
(2)若，求的周长.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围.
17．如图，在五棱锥中，，，.

(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
18．某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下：
（每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”）
(1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率；
(2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由.
19．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且直线被双曲线的两条渐近线截得的线段长为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（点在轴上方），过点作直线分别交椭圆于另外两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的倾斜角为钝角，且的面积为，证明：；
(3)若，证明：直线的斜率为定值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】根据复数相等可得，解得，
∴，，
∴.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】根据存在量词命题的否定可得.
故选：B.
3．【正确答案】B
【详解】因为，所以，所以
，
所以，
故选.
4．【正确答案】C
【详解】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确；
对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为，
故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确；
对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确；
对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确，
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】解：设，依题意可知
即
因为点在曲线上，所以，
即，
故选：A.
6．【正确答案】D
【详解】当x>0时，，，
当时，，，
所以当时，，
所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于点0,1对称，
函数，所以函数为奇函数，
函数的图象也关于点0,1对称.
则两点也关于点0,1对称，
所以，
则，
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】依题意，设圆台的高为，则有，解得，
为圆台上底面内的一条直线，圆台的母线与所成的角的最小值即为母线与底面所成的角，
所以.
故选：B.
8．【正确答案】C
【详解】依题意，设，则函数的定义域为，
令，解得或.
易知函数在上均单调递减，
若恒成立，则，即，
所以，
当且仅当时，取得最小值，即的最小值为，
故选：C.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，函数，又函数，
所以函数与有相同的最小正周期，故A正确；
对于B，对于函数的零点，可令，解得；
对于函数的零点，可令，解得，
由于，所以函数与一定不存在相同的零点，故B正确；
对于C，对于函数的对称轴，可令，解得；
对于函数的对称轴，可令，解得，
由于，所以函数与一定不存在相同的对称轴，故C错误；
对于D，对于函数的单调递增区间，可令，解得；
对于函数的单调递增区间，可令，解得，
由于，可令，则区间为函数与的一个共同单调递增区间，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】ABD
【详解】设等比数列的公比为，因为，
所以，解得或，
所以或.
对于A选项，在等比数列中，，又，所以，所以A选项正确；
对于B选项，若，则数列递增，，即，所以，所以B选项正确；
对于C选项，若，则数列递减，，即，所以，所以C选项不正确；
对于D选项，若，则数列递减，，又，
所以，所以D选项正确，
故选：ABD.
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A选项，抛物线的准线的方程为，的圆心到直线的距离为，小于的半径1，与相交，选项A错误.
对于B选项，设点的坐标为，则，.
令函数，则，函数在R上单调递增，
∵时，，∴当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴当时，函数取得最小值5，故的最小值为，选项B正确.
对于C选项，，
，
∵，∴，，，故的最大值为，选项C正确.
对于D选项，由题意得，，.
在中，.
由选项B得的最小值为，所以，故四边形的面积的最小值为2，选项D选项正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】54
【详解】，
因为，所以，
即.又，解得，
所以.
故54.
13．【正确答案】
【详解】依题意，，
因为，，
即，
所以，又，
所以，，
所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】因为集合是由个连续正整数构成的集合，
所以集合是公差为1，项数为的等差数列，
集合中所有元素的和为，
设集合中最小的元素为，
则，整理得，
所以，
因为为正整数，所以为正整数，
由，则当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时，，不符合为正整数，
当时， ，符合为正整数.
故答案为.
15．【正确答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）依题意，，
所以，
因为，所以或，所以或.
（2）由，
根据正弦定理和三角形内角和定理可得，
又，所以，即，
又，所以，
在中，因为，则，所以，
所以.
根据正弦定理可得，即，
所以，
所以的周长为.
16．【正确答案】(1)
(2).
【详解】（1）依题意，函数的定义域为R，
当时，，则，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由题意得，，
当时，恒成立，所以函数在R上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意.
当时，令，即，则.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以函数在处取得极小值，
且.
又因为，则等价于，
令，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即不等式的解集为，
故实数的取值范围是.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：在中，，所以，
所以，即，
又，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）连接，在中，，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
由（1）知，，又因为，平面，
所以平面.
以A为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
过点作⊥轴于点，
因为，所以，
又，故，
则，

故，
设平面的法向量为，
则即不妨令，则，
则为平面的一个法向量，
依题意，为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
又因为，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析，1
(3)，证明见解析
【详解】（1）记破解后信息字符为为事件，传递信息字符为为事件，
由于传递信息字符为时，均有的可能破解后信息字符为，
则，，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，若传递信息字符为，则被破解正确的概率为，
所有可能的取值为，
，
，
，
，
的分布列为
.
（3）记“传递信息字符只有一种”为事件A，“传递信息字符只有两种”为事件，
“传递信息字符有三种”为事件，“被破解后信息字符均为''”为事件，
事件A中，由（1）可知，传递信息字符为中的某一个，
故，，
所以，
事件B中，传递信息字符为中的某两个，且有1个字符被传递了2次，顺序有种，
故，，
故，
事件C中，传递信息字符中各一次，顺序不定，
，，
，
则，
，
，
所以.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，双曲线的焦点为，则，
又双曲线的渐近线方程为，则，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由直线的倾斜角为钝角，可设直线的方程为，
联立整理得，
则恒成立，所以，
，
解得，因为，所以，
即直线的方程为，
连接，又有，解得，从而可得，
所以，且，
所以，所以.
根据对称性可知，
所以，
所以.
（3）证明：因为，所以，
设，由，可得，
又均在椭圆上，则有
即
所以，
整理得，
同理可得，所以直线的方程为，
此时直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为定值.
分数区间
人数
14
16
18
30
20
2
传递信息字符
破解后信息字符
0
1
2
3