2024-2025学年河北省承德市高二上学期期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市高二上学期期末数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线，直线.若，则（ ）
A．4B．-2C．4或-2D．3
3．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．的公差为1B．的公差为2
C．D．
10．已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆有四条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．的最大值为12
D．若，则过点且与圆相切的直线方程为
12．已知数列满足，，为的前项和，则（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递减数列
D．当或时，取得最大值
三、填空题（本大题共4小题）
13．若数列满足，则 .
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
15．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．在数列与中，已知，则 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
19．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与圆相切，求的方程.
20．如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.
21．已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
22．已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．
答案
1．【正确答案】D
【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案.
【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，
分母为，分子为，
故该数列的一个通项公式可以为，
故选：D
2．【正确答案】A
【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合.
【详解】因为，所以，即，得或.
当时，，，符合题意；
当时，，，，重合.
故.
故选：A.
3．【正确答案】D
【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.
【详解】由，
当时，，可得，
当时，，
因为数列为等比数列，可得，解得.
故选：D.
4．【正确答案】C
【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.
【详解】因为的最小值为1，所以．
因为的周长为34，所以，
所以．因为，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】连接，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】连接，根据向量的运算法则，可得.
故选：B.
6．【正确答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，得到，代入抛物线方程，求出，从而得到答案.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，
将代入，故，解得，

所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m.
故选：B
7．【正确答案】B
【分析】建系，求出平面的法向量为，再代入线面角的公式求解即可.
【详解】因为平面，都在面内，
所以，
又，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则所以取，得．
设直线与平面所成的角为，
所以．
故选：B
8．【正确答案】D
【分析】根据得点为圆上动点，用三角换元求的最大值.
【详解】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点，
且，所以，
所以与的交点在以为直径的圆上，
则点的坐标满足（不含点）．
可设，且，
则，
所以当时，的最大值为．
故选：D
9．【正确答案】ACD
【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D.
【详解】设的公差为d，由，，得，
解得，故A正确，B错误；
，，C，D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】BD
【分析】先根据题意得到曲线为，直线为，再根据当，，，时，曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断．
【详解】因为，所以曲线为，直线为，
当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．
故选：BD．
11．【正确答案】BCD
【分析】对于A，判断两圆的位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算.
【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为，
圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误；
对于B，两圆、方程相减得，
，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确；
对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确，
对于D，，即点在圆上面，
又，所以过点且与圆相切的直线方程为，
化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】AC
【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项.
【详解】因为，所以，即，，
又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；
，所以，B错误；
因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；
令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.
故选：AC
13．【正确答案】
【分析】根据数列的递推关系求得周期为3，运算得解.
【详解】因为，，
所以，，，
所以是周期为3的数列，故.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据渐近线方程得到双曲线方程，求出，进而求出焦距.
【详解】由题可知，解得，所以，
故的焦距为.
故
15．【正确答案】
【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】在长方体中，，，，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为.
16．【正确答案】1
【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果.
【详解】由题意知，，
所以为常数列，即，
所以．
故1.
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用的关系式即可求得的通项公式为；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和可得.
【详解】（1）当时，，
当时，.
符合，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，
所以数列的前项和.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆的性质结合抛物线定义，即可求得答案；
（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，即可求得直线方程.
【详解】（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为．
（2）设，由题意知直线l斜率存在，则，
则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
19．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
根据题意，可得，解得，
所以圆的方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用计算出的长度即可；
（2）利用向量法求出平面的法向量与平面的法向量，进而求出二面角的正弦值即可.
【详解】（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
设，由，得，，，．
因为F是的中点，所以，则，．
又，所以，
解得，故．
（2）由（1）可知，，则，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设平面的法向量为，
则，令，得．
所以，
故二面角的正弦值为．
21．【正确答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用对数运算，得，再运用累乘法可求，由与的关系可得，则时，数列是以为首项的常数列，可求的通项公式；
（2）利用错位相减法求，从而得证.
【详解】（1）因为，且，所以，
所以，即，所以．
当时，所以，
所以．
因为，所以，所以．
也符合上式，所以．
当时，．
因为，所以当时，，
所以当时，，即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即（），所以（），
所以的通项公式为
（2）因为，
所以，
两式相减得，
所以．
数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
22．【正确答案】(1)
(2)证明见解析，定点．
【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可得坐标，进而根据点斜式求解直线方程即可求解定点，或者根据向量垂直满足的坐标运算，代入韦达定理化简即可求解，结合分类讨论, 进而得定点..
【详解】（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，
设直线的方程为，联立方程组
消去得，可得，
解得，所以点的坐标为．
因为，所以直线的斜率为，同理可得点．
当时，有，解得，直线的方程为．
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，
即，直线过定点．
又当时，直线也过点．
综上，直线过定点．
（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组消去得，
，即．
设，则，
．
因为，所以，
即，
，
，
化简得，
解得或，
所以直线的方程为或（过点A,不合题意，舍去），
所以直线过定点．
当直线垂直于轴时，设它的方程为，
因为，所以．
又，解得或（过点A,不合题意，舍去），
所以此时直线的方程为，也过点．
综上，直线过定点．
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点