2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含解析】，共7页。
A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值
C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
2. 已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则fx的极小值点为（ ）.
A. x3B. x4C. x5D. x1和x4
3. 已知函数fx=ex+kx在x=0处有极值，则k=（ ）.
A. −1B. 0C. 1D. e
4. 已知函数fx的导函数为f'x，则“函数fx在x=x0处有极值”是“f'x0=0”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 某电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y=13x3−392x2−40xx>0，为使其耗电量最小，则其速度为（ ）.
A. 20B. 30C. 40D. 50
6. 已知函数fx=sin x−acs x的一个极值点为x0，若tan x0=3，则实数a的值为（ ）.
A. −3B. −13C. 3D. 13
7. 已知函数fx=x3+ax2+a+6x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）.
A. 6,+∞B. −∞,−3C. −∞,−3∪6,+∞D. −∞,6
8. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）.
A. eπ>πe>3eB. πe>3e>eπC. eπ>3e>e3D. 3e>eπ>e3
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ ）.
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数fx，若f'x0=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数fx在a,b内单调，则函数fx在a,b内一定没有最值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
10. （多选题）已知函数fx=xln1+x，则（ ）.
A. fx在0,+∞上单调递增
B. fx有两个零点
C. 曲线y=fx在点(−12,f−12)处切线的斜率为−1−ln 2
D. fx是奇函数
11. 若函数fx=2aln x+1与gx=x2+1的图象存在公共切线，则实数a的最大值为_______.
12. [2024·南通月考]已知函数fx=2x3−ax2+b，若存在a，b，使得fx在区间[0,1]上的最小值为−1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为_______
应用情境练
13. 已知点A在函数fx=ex−2x的图象上，点B在直线l：x+y+3=0上，则A，B两点之间距离的最小值是_______
14.(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
创新拓展练
15. [2024·湖北联考]请写出一个满足以下条件的函数fx的解析式_______
①fx为偶函数；
②当x>0时，ln x≤fx≤xe.
16. 已知函数fx=xln x−x2+ax.
（1）若fx≤0，求实数a的取值范围；
（2）若函数fx的单调递增区间为[1e,b]，且fx的极大值为M，求证：M∈(−14,0).
3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 图象连续的函数y=fx在[a,b]上（ C ）.
A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值
C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
[解析]由函数的最值与极值的概念，可知y=fx 在[a,b] 上一定存在最大值.故选C.
2. 已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则fx的极小值点为（ C ）.
A. x3B. x4C. x5D. x1和x4
[解析]由导函数f'x 的图象可知，当xx5 时，f'x>0，当x30，
令y'>0，解得x>40，令y'eln π ,3>eln 3,故eπ>πe，e3>3e,又y=xe 是增函数，所以πe>3e,所以eπ>πe>3e.故选A.
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ CD ）.
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数fx，若f'x0=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数fx在a,b内单调，则函数fx在a,b内一定没有最值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
[解析]对于A，根据极值的定义，函数的极小值不一定比极大值小，A错误；
对于B，若f'x≤0 或f'x≥0 恒成立，则fx 无极值点，B错误；
对于C，fx在a,b 内单调，因为区间为开区间，所以取不到最值，C正确；
对于D，三次函数求导以后为二次函数，若f'x≤0 或f'x≥0 恒成立，则fx 无极值点，D正确.故选CD.
10. （多选题）已知函数fx=xln1+x，则（ AC ）.
A. fx在0,+∞上单调递增
B. fx有两个零点
C. 曲线y=fx在点(−12,f−12)处切线的斜率为−1−ln 2
D. fx是奇函数
[解析]fx=xln1+x，定义域为−1,+∞，
则f'x=lnx+1+xx+1，
由y=lnx+1,y=xx+1=1−1x+1都在−1,+∞ 上单调递增，知y=f'x 也在−1,+∞ 上单调递增，
又f'0=0，所以当x∈−1,0 时，f'x0，
则ℎ'x=2x1−2ln x，令ℎ'x=0,得x=e，
当ℎ'x>0 时，x∈0,e，当ℎ'x0,
故当00，函数gx 单调递增.
故gxmin=ge=ee−ln e=0，即gx≥0,所以xe≥ln x 恒成立.
故当x>0 时，
可取fx=12xe+ln x 满足ln x≤fx≤xe.
因为fx 为偶函数，所以可以找到一个符合题意的函数：
fx=eln∣x∣+∣x∣2e,x≠0,0,x=0.
16. 已知函数fx=xln x−x2+ax.
（1）若fx≤0，求实数a的取值范围；
（2）若函数fx的单调递增区间为[1e,b]，且fx的极大值为M，求证：M∈(−14,0).
[解析]（1）由题意知，函数fx 的定义域为0,+∞，
由fx≤0，不等式两边同除以x，得ln x−x+a≤0.
设gx=ln x−x+a,x>0，则g'x=1x−1，令g'x=0 得x=1.
当x∈0,1 时，g'x>0；当x∈1,+∞ 时，g'x0；当x∈(12,+∞)时，t'x12，解得a=2e，且ln b=−1+2b−a=2b−1−2e.
当x∈(0,1e)时，f'x