长沙市雨花区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题答案

这是一份长沙市雨花区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.计算的结果为（ ）
A.B.C.-2D.2
【答案】A
【解析】【分析】根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：．故选：A
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
2.下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】【分析】此题这样考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选择项．
【详解】解：A.根据分式基本性质知道，故选项错误；
B.根据分式基本性质知道，故选项正确；C.根据分式基本性质知道，故选项错误；
D.根据分式基本性质知道，故选项错误．故选：B．
3.随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4.下列各式中正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义和性质，逐项进行化简判断即可
【详解】∵，故A选项错误；∵，故B选项错误；
∵，故C选项正确；∵，故D选项错误；故选：C
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，解题关键在于掌握运算法则．
5.已知：，则p，q的值分别为（ ）
A.5，3B.5，−3C.−5，3D.−5， −3
【答案】D
【解析】【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
【详解】由于=2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3=，则p=-5,q=-3,故答案选D.
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
6.若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A.B.
C.且D.且
【答案】D
【解析】【分析】先银分式方程求得解为再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．
【详解】解：，
，
，
∵原方程解为负数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．
7.如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）．

A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
【详解】BC，AE是锐角的高
,
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8.如图，，，，，则度数等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件证明，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
9.一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．
【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得：
∴，即，
解得：，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．
∴，
解得：．
答：甲，乙两港相距．
故选D．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，注意找好两个未知量之间的关键．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.因式分解：_________________．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式法和应用公式法因式分解．
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
12.已知，，若的面积是，则中边上的高是___.
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应高相等是解题的关键．根据三角形的面积公式求出中边上的高，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：设中边上的高是，
由题意得，，
解得，，
，
中边上的高中边上的高，
故答案为：8
13.二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法，可得答案．
【详解】解：，
由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．
14.如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则的周长为______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出的周长．先根据线段垂直平分线的性质求出，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
故答案为：13．
15.如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据邻补角 的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
五边形的内角和为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
16.已知，则代数式的值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．由题意可知：，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了幂的运算法则和单项式乘以单项式，先进行幂的运算，再进行单项式的乘法即可．
【详解】解：
．
18.解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验．
【详解】由
去分母得，
化简得，
解得，
经检验是原方程的解．
19.在直角坐标系中，有点A（3，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标（不要求写计算过程）．（至少写出三个）
【答案】（﹣3，4）；(-3,0)；（0，﹣4）；（3，﹣4）；（3,4）
【解析】
【分析】已知A，B的坐标可以知道△ABO三边的长，所求的三角形与△ABO的公共边，应分三种情况进行讨论．
【详解】解：∵A（3，0），B（0，4）
∴OA=3,OB=4,AB=
如图所示，
符合要求的点有：
若以BO为公共直角时边，C点坐标为（﹣3，4）；(-3,0)
若以AO为公共直角边时，C点的坐标为（0，﹣4）和（3，﹣4）和（3,4）．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质；注意到应分几种情况讨论是解决本题的关键，讨论时要做到不重不漏．
20.先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【详解】解：
=
；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键．
21.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．

【答案】（1）30°；（2）4．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质．
22.观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）（a+3b）（2﹣3m）；（2）△ABC是等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的；
（2）用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得a、b、c之间的关系，便可确定△ABC的形状．
【详解】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，解题的关键是正确解读样例，根据样例进行因式分解．
23.某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？
【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架．
【解析】
【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可；
（2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得
解得
经检验：是原分式方程的解
答：购买种书架需要100元，种书架需要80元．
（2）设准备购买个种书架，根据题意，得
解得
答：最多可购买10个种书架．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式．
24.如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时，___________，___________；
（2）线段的长度为何值时，？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）当时，≌，证明见解析．
（3）当或时，的形状可以是等腰三角形
【解析】
【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求，的度数即可；
（2）当时，由“”可证≌即可；
（3）分，，三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数．
【小问1详解】
解：，且，，
，
∵，，
，
，
故答案：，；
【小问2详解】
当时，≌，
理由如下：
，，，
，
∵，
∴，
在△ABD和△DCE中，
∵，
≌(ASA)；
【小问3详解】
①若时，
，，
，
，
，
．
②若时，
，，
，
，
，
，
③当，，
∴
此时不符合题意，舍去．
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
25.阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当x=2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）的最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【小问1详解】
，
，
而，，
，
；
【小问2详解】
由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．