长沙市雅礼教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题答案

这是一份长沙市雅礼教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟．
一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.-2024的绝对值是（ ）
A.2024B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．故选：A．
2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件∶被告开方数为非负数，本题属于基础题型．根据二次根式有意义的条件，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意 ，得解得：．故选：D．
3.下列运算正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方和完全平方公式，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握运算法则及应用．
【详解】，此选项计算正确，符合题意；，此选项计算错误，不符合题意；
，此选项计算错误，不符合题意；
，此选项计算错误，不符合题意；故选：．
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查二次根式的加减和乘法运算、二次根式的性质，掌握运算法则是解答的关键．据相关运算法则逐项计算可作出判断．
【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能加减，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；C.，故此选项计算正确，符合题意；
D.，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C．
5.若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A.0B.1C.-1D.2
【答案】C
【解析】【详解】试题分析：∵分式的值为0，∴，解得x=-1．故选C．
考点：分式的值为零的条件．
6.如图，在中，，，则的度数为（ ）
A.40°B.50°C.60°D.80°
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等边对等角以及三角形内角和计算即可．
【详解】解：∵
，故选：A．
7.如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A.2B.3C.4D.
【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据含30度直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，，∴；故选C．
8.如图，在A村与村之间有一座大山，原来从A村到村，需沿道路（）绕过村庄间的大山，打通A，间的隧道后，就可直接从A村到村．已知，，那么打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，线段的和差．利用勾股定理求出的长，再利用线段和差即可计算本题结果．
【详解】解：∵，，，∴，
∴，故选：C．
9.长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了．设去程的平均速度为千米/时，下列方程正确的（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回程路上所花时间比去程节省了，得出方程是解题关键．根据去程的平均速度为千米/时，得出回程的平均速度千米/时，再利用回程路上所花时间比去程节省了，得出分式方程即可．
【详解】解：设去程的平均速度为千米/时，则回程的平均速度千米/时，根据题意，得
故选：A．
10.一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（ ）
A.1升B.升C.升D.升
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查根据题意列代数式，分式加减运算，列出代数式，裂项求和是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
=
=
=（升），
即次倒出的水量共为升．故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式：_________．
【答案】
【解析】【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止；
解：原式=；
12.把进行化简，得到的最简结果是______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
13.已知某种病毒的直径是0.000000091米，这个数可用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法表示方法进行解答即可．
【详解】根据科学记数法的表示较小的数时，一般形式为，其中，可确定，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，可确定，
故0.000000091用科学记数法表示为：．故答案为：
14.已知关于的分式方程，则该分式方程的解为______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查解分式方程；先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可.
【详解】解：方程两边同时乘以，得
解得：
检验：把代入，
∴是分式方程的解；故答案为：.
15.如图所示，数轴上点O、A、B分别对应数字0、2、3，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧．交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点M．则点M所对应的数为______．

【答案】
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理应用，实数与数轴．由题意可得，，从而根据勾股定理，中求得，因此，即可解答．
【详解】∵点O、A、B分别对应数字0、2、3，∴，由作图可得，
∵，∴在中，，∴，
∵点M正半轴，∴点M表示的数为．故答案为：
16.已知，则的值为______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键．
【详解】解：，；故答案：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17.计算：．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方，立方根，绝对值，负整数指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：．
18.先化简，再求值：，其中从不等式中进一个整数．
【答案】，当时，原式=．
【解析】【分析】本题考查分式化简求值．
先根据分式混合运算法则计算，将分式化简，再把符合题意的x值代入计算即可．
【详解】解：原式．
分式有意义，且，，，，
当时，原式．
19.如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条______的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
【答案】（1）④ （2）是直角三角形．理由详见解析
【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质解答即可．
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
【小问1详解】解：∵加油站P到三个城A、B、C的距离相等，
∴，∴点P在线段的垂直平分线上，
同理，点P在线段的垂直平分线上，∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，故答案为：④．
【小问2详解】解：是直角三角形．
理由：∵，，∴
∴∴是直角三角形．
20.如图．三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若与关于轴成轴对称，则三个顶点的坐标分别为_____，_____，______；
（2）若为轴上一点，则的最小值为______；
（3）求点到边的距离．
【答案】（1），，； （2）； （3）．
【解析】【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．
（1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置，则的最小值，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】解：如图所示，即为所求，
由图知，的坐标为、的坐标为、的坐标为；

【小问2详解】解：作出点的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置，如图所示：

则的最小值，
，的最小值为；
【小问3详解】解：∵的面积，
由勾股定理得，∴，∴ ．
21.已知，，求下列各式的值：
（1）；（2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】【分析】本题考查了求代数式的值；
（1）由已知条件可求，，因式分解得，代入计算，即可求解；
（2）由已知条件可求，将原式化简为 ，代入计算，即可求解；
利用因式分解，用整体代换法进行运算是解题的关键．
【小问1详解】解：，，
，，
；
【小问2详解】解：，，，
．
22.为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是80米，40米； （2）10天．
【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，然后根据甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天列出方程求解即可；
（2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，根据总费用不超过65万元列出不等式求解即可．
【小问1详解】解：设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米．
由题意得，解得，，经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是80米，40米．
小问2详解】解：设安排甲队工作天，则安排乙队工作天．
由题意得，至少安排甲队工作10天
答：至少安排甲队工作10天．
23.如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的值；
（3）若．求的面积．
【答案】（1）证明详见解析； （2）； （3）．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形；
（2）连接，根据代数求解即可；
（3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
又长方形，
，
，
是等腰三角形
【小问2详解】如图所示，连接，

，
【小问3详解】设，则，
在中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
24.新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；③（ ）；
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
（3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】（1）①×；②√；③× （2）； （3）．
【解析】【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“方程数对”定义分别判断即可；
（2）根据“方程数对”定义计算即可；
（3）根据“方程数对”定义计算即可．
【小问1详解】解：当，时，分式方程为，方程无解，
∴①不是关于的分式方程的“方程数对”；
当，时，分式方程为，解得，
，
②是关于的分式方程的“方程数对”；
当，时，分式方程为，解得，
，
③不是关于的分式方程的“方程数对”；故①×；②√；③×；
【小问2详解】解：数对是关于的分式方程的“方程数对”，
，，
，解得；
【小问3详解】解：数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，
，，
，
解得．
∵可化为
∴，
解得：．
方程有整数解，
整数，即
又，，
．．
25.如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点．
（1）填空：①______（填写“＞”“＜”或“”）；②______；
（2）证明：；
（3）①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值；
②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值．
【答案】（1）①＝；②90； （2）证明详见解析； （3）．
【解析】【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接，先证明，得出，，继而证得 ，即可由勾股定理得出结论；
（3）①先证明，，得出；然后过作于点，证明，得出，即可求解；
②过点作于点，连接，先证明，得，再证明，得到，即可代入计算求解．
【小问1详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，90．
【小问2详解】
证明：连接，
，
，
在和中，
，
，，，
是的中垂线，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：①且，
，，
①，
同理，②，
①＋②得：，
可化为，
即
，，
；
过作于点，
故，
，
又由（2）知，
，
在等腰中，由，
∴
∴，
②如图，过点作于点，连接，
由（2）知
平分，，
又是的中垂线，
，
∴
又由（2）知，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．本题属三角形综合题目，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．