专题01 集合及其运算（考点清单+知识导图+ 11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【清单02】集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
【清单03】子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单04】真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单05】并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单06】交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单07】全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【考点题型一】辨别元素与集合，集合与集合的关系
【解题方法】元素与集合关系：属于（）和不属于（）两个关系
集合与集合关系：包含；真包含；相等关系。
【例1】（24-25高一上·重庆长寿·期中）给出下列关系，其中正确的个数为（ ）
①；②；③；④，
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】常见集合的元素特征，判断元素与集合的关系.
【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误.
故选：B.
【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】逐个验证即可.
【详解】对于A：满足，
对于B: ，错误；
对于C: ，错误；
对于D: ，错误；
故选：A
【变式1-2】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合是16和24的公约数，则8 ．
【答案】
【知识点】判断元素与集合的关系
【详解】根据集合对元素的描述，用列举法写出集合，即可得结果.
【分析】根据题意求得集合，即可得结果.
因为是16和24的公约数，所以．
故答案为：.
【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数
【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性
【例2】（24-25高一上·北京·期中）若，则实数x的值为 .
【答案】1或5
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素和集合的关系列出等式，注意验证集合是否满足“互异性”.
【详解】∵，
，则元素重复，故舍去.
，则，符合题意；
，即，则，符合题意.
故答案为：1或5
【变式2-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（ ）
A．1B．2C．1或4D．4
【答案】C
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系、集合元素的互异性求得.
【详解】由于，所以或，
解得或，
当时，；当时，.
所以的值是或.
故选：C
【变式2-2】（24-25高一上·吉林通化·期中）若，则 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系，列出关于的方程求解即可，但是要注意集合中元素的互异性.
【详解】依题意可得或，且，
所以，.
故答案为：.
【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数
【解题方法】分类讨论+判别法
【例3】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 .
【答案】
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】分和两种情况讨论，当时，即可得解.
【详解】集合表示关于的方程的解集，
因为集合中只有一个元素，
当，即，解得，此时，符合题意；
当，则，解得或，
当时，时，符合题意；
综上可得的所有可能取值组成的集合为.
故答案为：
【变式3-1】（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得.
【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根，
因此，解得且，
所以的取值范围是.
故选：A
【变式3-2】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 .
【答案】0或
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】由方程只有一个解或两个相等的实根求解可得．
【详解】当时，得，符合题意；
当时，，得.
故或.
故答案为：或．
【考点题型四】列举法和描述法
【解题方法】抓住描述法的一般元素和共同特征
【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 .
【答案】
【知识点】列举法表示集合
【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论.
【详解】因为，
所以为的正约数，且，
所以或或或，
所以或或或，
所以.
故答案为：.
【变式4-1】（24-25高一上·四川成都·期中）用列举法可将集合表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用
【分析】将集合化简改写为列举法即可.
【详解】由题可知
故选：C
【变式4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ．
【答案】
【知识点】列举法表示集合
【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合.
【详解】
要想越小，则取值越小，
故时，；故时，；故时，；故时，；
故集合中最小的4个元素所构成的集合为，
故答案为：.
【考点题型五】子集（真子集）问题
【例5-1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（ ）
A．126B．128C．130D．132
【答案】B
【知识点】求集合的子集（真子集）
【分析】根据子集概念分析即可求解.
【详解】，
集合的所有子集有：，
，
1，3，5，7分别在子集中各出现8次，.
故选：B．
【变式5-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）集合的真子集的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由集合所包含元素个数与集合真子集个数之间的关系即可得解.
【详解】含有个元素的集合的真子集个数为，即所求为.
故选：C.
【变式5-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）满足的集合的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】集合中一定含有元素，然后写出集合的含有元素的所有子集．
【详解】满足的集合有：，，，，
，，，.共8个.
故选：A.
【考点题型六】根据集合关系求参数（重点题型）
【解题方法】数轴法，列举法，特别注意不要忽视空集
【例6-1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可.
【详解】由题意，，
又，
若，则，满足题意；
若，则，所以或.
故答案为：.
【例6-2】（多选）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（ ）
A．3B．C．3.5D．6
【答案】BCD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误.
【详解】因是的真子集，
若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
故需使或，解得或；
综上所述：或；
故选：BCD.
【变式6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．0,2D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据，通过数轴即可求解.
【详解】因为，
所以由数轴可得，
故实数的取值范围为.
故选：B.
【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ．
【答案】或或
【知识点】求集合的子集（真子集）、根据元素与集合的关系求参数
【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可
【详解】由于，所以或，
解得：或；
当时，不满足元素的互异性，故舍去；
当时，满足题意.
又因为集合是集合的子集且有两个元素，
所以或或.
故答案为：或或.
【变式6-3】（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，若，则的取值集合为 .
【答案】{1}
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】利用集合间的基本关系分类讨论即可.
【详解】因为，所以，所以或，即或，
当时，，，满足；
当时，，，不满足；
综上，1.
故答案为:.
【考点题型七】集合的综合运算
【解题方法】并交补定义，请特别注意区分交集（）并集（）符合的区别
【例7-1】（24-25高一上·重庆·期中）若全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据补集和交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
【例7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）设全集，已知集合， 集合.求：
(1)，；
(2) .
【答案】(1)，
(2)或
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】运用交集，并集，补集概念计算即可.
【详解】（1）解：因为， ，
则，；
（2）解：因为全集，，，
则 或，或，
因此，或 .
【变式7-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算
【分析】运用集合交集概念计算即可.
【详解】，则.
故选：B.
【变式7-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合，再由交集运算即可得出结果.
【详解】根据题意由可得;
所以.
故选：C
【变式7-3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）设集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的交集运算即可得答案.
【详解】因为集合，集合，
所以.
故选：A.
【考点题型八】根据集合的运算结果求参数
【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数
【例8-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知：，
(1)，求a的取值范围；
(2)，求a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】（1）求出集合，再由给定交集的结果，结合集合包含关系求出范围.
（2）由（1）中信息，由并集的结果，结合集合包含关系求出范围.
【详解】（1）依题意，，由，得，
当时，，解得，
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得，
所以a的取值范围是或.
（2）由，得，而集合是一元二次方程的解集，因此，
由（1）知，，解得，
所以a的取值范围是.
【例8-2】（24-25高一上·北京·期中）记全集，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，求a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算
【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；
（2）根据题意可得到有关的一个方程组，求解即可；
（3）分和两种情况求解即可.
【详解】（1）若，则，又或，
则，；
（2）集合，或，，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
（3）因为，则，
，或，
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
综上,若，求a的取值范围为或.
【变式8-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）设集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算
【分析】（1）运用补集交集概念求解即可；
（2），得到.分类讨论，比较端点即可.
【详解】（1），
或x>7}，
.
（2），.
①时，得.
②时，则，
综上，实数的取值范围为.
【变式8-2】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，.
(1)当时，求，，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)或.
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算
【分析】（1）当时，写出集合，利用并集和交集的定义可得出集合、；
（2）由题意可得，分、两种情况讨论，在时，可得出关于实数的不等式，；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，且，
则，.
（2）因为，所以.
当时，，解得；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是或.
【变式8-3】（24-25高一上·天津河北·期中）已知全集，集合，或x≥4.
(1)若，求，；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2).
【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算
【分析】（1）利用集合交集、并集与补集的定义求解即可；
（2）由可列出不等式组，解不等式组即可得出答案.
【详解】（1）将代入集合中的不等式得，
因为或，
所以或；
又因为，
所以；
（2）因为，或，
又因为，则，所以A不是空集，
因为，所以
解得.
【考点题型九】实际问题中的集合问题
【解题方法】利用图解
【例9】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人.
A．3B．9C．19D．14
【答案】C
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示：
则由韦恩图得：
，解得，
所以只参加一项比赛的有人.
故选：C.
【变式9-1】（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某高中为了迎接元旦的到来，在元旦前一周举办了主题为“迎元旦，向未来”的趣味运动会，其中共有20名同学参加拔河､四人足球､羽毛球三个项目，其中有12人参加拔河，有10人参加四人足球，有8人参加羽毛球，拔河和四人足球都参加的有3人，拔河和羽毛球都参加的有4人，四人足球和羽毛球都参加的有5人，则（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加拔河的有6人
C．只参加四人足球的有4人D．只参加羽毛球的有1人
【答案】ACD
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】韦恩图法解集合问题.
【详解】设三项比赛都参加的有人，根据题意，参加各个项目的人数如图所示.
由，且，解得，
所以三项比赛都参加的有2人，A选项正确；
只参加拔河的有7人，B选项错误；
只参加四人足球的有4人，C选项正确；
只参加羽毛球的有1人，D选项正确.

故选：ACD.
【变式9-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人．
【答案】12
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】利用Venn图求解.
【详解】解：由题意得：设语文合格的为集合A，英语合格的为集合B，
由题意画出Venn图，如图所示：
则，
所以，
即两项比赛中都评定为优秀的同学最多为人，
故答案为：12
【变式9-3】（24-25高一上·重庆·期中）某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票．
【答案】32
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合
【分析】根据要写条件，利用韦恩图即可求出总人数.
【详解】依题意，得如图所示的韦恩图，
参加数理化竞赛的学生有人，所以需预购32张车票.

故答案为：32
【考点题型十】集合中的新定义题（选填题）
【例10】（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 .
【答案】 5 80
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义、并集的概念及运算
【分析】根据给定定义直接求出的“小和数”；求出集合的所有非空子集中含有每个元素的子集个数即可求出的“大和数”.
【详解】依题意，的“小和数”为；
集合的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集，
因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为，
所以的“大和数”为.
故答案为：5；80
【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（ ）
A．0对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【知识点】集合新定义
【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可.
【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，
除以3的余数是0，除以3的余数是0；
除以3的余数是1，除以3的余数是1；
除以3的余数是2，除以3的余数是2；
除以3的余数是1，除以3的余数是2；
除以3的余数是2，除以3的余数是0；
除以3的余数是0，除以3的余数是1；
除以3的余数是2，除以3的余数是1；
除以3的余数是0，除以3的余数是2；
除以3的余数是1，除以3的余数是0；
所以满足条件的数对有，共3对，
故选：C.
【变式10-2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ）
A．128个B．127个C．256个D．255个
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数.
【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，
一般地，设集合中有个元素，则它有个子集，
我们对所有子集按元素个数分类为：，
则集合不同的全子集族个数为个，
从而集合不同的子集族个数为个，
若集合B中有3个元素，
从而B的不同子集族有个.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解.
【变式10-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”， ，则集合
【答案】
【知识点】集合新定义
【分析】中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合，注意元素的互异性．
【详解】，
中的元素有，
所以.
故答案为：.
【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题）
【例11-1】（24-25高一上·北京·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
(1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）；
(2)，判断是否能“任意双拆”，并证明；
(3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)7.
【知识点】集合新定义
【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论.
（2）不妨设，利用反证法，通过讨论集合中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；
（3）分析可知集合中每个元素均为奇数，且集合中所有元素都为奇数，分析可知，当时，，根据“任意分拆”的定义可判断集合可“任意分拆”，即可得出结论.
【详解】（1）对于集合，，且，因此集合可双拆，
若在集合中去掉元素，因为，，，则集合不可“任意分拆”；
对于集合，，，
因此集合可双拆，
，在集合中，任意一个数与其它3个数的和都不等，
任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，因此集合不可“任意分拆”.
（2）集合不能“任意双拆”，
不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，①，或，②，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，③，或，④，
由①③可得，矛盾；由②③可得，矛盾；
由①④可得，矛盾；由②④可得，矛盾.
因此，当时，集合一定不能“任意双拆”.
（3）设集合，由，，，
得均为偶数，因此均为奇数或偶数,
若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数；
如果为偶数，则也均为偶数，
此时设，则也是可“任意分拆”的，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，
因此集合中元素个数为奇数，
当时，显然集合不可“任意分拆”；
当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，则，
当时，取集合，
，，，
，，，
则集合可“任意分拆”，
所以集合中元素个数的最小值为.
【点睛】方法点睛：处理集合有关的新定义问题时，关键在于审清题意，合理将所给定义转化为元素与集合、集合与集合之间的关系来处理，本题在证明（2）中的结论时，要充分利用题中定义，结合反证法推出矛盾，进而得出结论成立.
【例11-2】（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则.
(1)若，直接写出中一定包含的元素；
(2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求；
(3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值.
【答案】(1);
(2);
(3)674
【知识点】集合新定义
【分析】（1）由数集的属性求出中一定包含的元素；
（2）令，求出中的3个元素，进而求出值，得数集；
（3）求出数集中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出的元素个数的最大值.
【详解】（1）由题意可得：，则，于是，则，
则，则，则，
所以中一定包含的元素为.
（2）因为，则,
令，则,,,
因为，，，可都化为，
因为，故无解，
故为中的三个元素，
因为所有元素之和为，所以，
整理得：，即，
解得或或，
所以.
（3）当，则，，，，
而无解，所以，，，均无解.
所以数集以形式出现,4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，,
而数集以形式出现,3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，,
于是数集,的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，，
而4和3互素，因此数集,中各组最多只能有1个公共元素，
设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足，
由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内，则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，，
显然，
解得，当时，符合条件的整数，
所以的元素个数的最大值是674个.
【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式.
【变式11-1】（24-25高一上·浙江·期中）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质.
(1)试判断集合，是否具有性质？并说明理由；
(2)若集合，证明A不可能具有性质；
(3)若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值.
【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)455个.
【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义
【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将集合中的元素分为10个集合，进行求解即可；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，然后求出集合A中共有455个元素，即可.
【详解】（1），不具有性质.
，，，具有性质；
（2）将集合中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，.
所以从集合中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，不可能具有性质；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为，，，，，，7个集合，
①，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，；选6则不选2，；选7则不选3，；则只剩4，.故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
②，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，…11中属于集合A的元素个数不超过5个.
③，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为，
则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个.
给出如下选取方法：从1，2，…，11中选取1，4，6，7，；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.
此时集合A的元素为：1，4，6，7，；，15，17，18，；，26，28，29，；；，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单.
【变式11-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
(1)设，求；
(2)证明：对，有，且；
(3)证明：对，，，三个数中至少有一个是偶数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义、集合综合
【分析】（1）由题中的定义计算即可；
（2）由题中的定义首先证明：，有，然后证明即可．
（3）结合（2）中的结论和奇数偶数的性质即可证得题中的结论．
【详解】（1）因为，
所以，得，
于是．
（2）证明：设，，，
因为，，
从而，
又，
由题意知，
当时，，
当时，．
所以．
（3）证明：设，，，
，，，
记，
由（2）可知：，
所以中1的个数为k，
中1的个数为l，
设t是使成立的i的个数．
则，
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中至少有一个是偶数．
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一、单选题
1．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】由元素与集合的关系判断A，根据集合中的元素判定BCD.
【详解】由于元素与集合的关系是属于或不属于，不是包含关系，故A错误；
因为，
所以BC错误，D正确.
故选：D
2．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合，再由交集运算即可得出结果.
【详解】根据题意由可得;
所以.
故选：C
3．（24-25高一上·福建漳州·期中）设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】由阴影部分表示的集合求解.
【详解】解：阴影部分表示的集合为：，
故选：A
4．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满，则集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【知识点】根据并集结果求集合或参数
【分析】根据集合并集运算的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以必有，因此集合可以是，
因此集合的个数为4，
故选：D
5．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．12B．15C．31D．32
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.
【详解】∵，
∴满足“，则”的的集合是的子集，
但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.
故选：B.
6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案.
【详解】因为，
所以，
故其非空真子集的个数为．
故选：B.
7．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】若，则，结合数轴分析即可.
【详解】若，则，画出数轴可得，.
故选：B
8．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（ ）
A．0B．3C．D．3，0
【答案】D
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】根据，可得，分类讨论即可.
【详解】因为，所以，
当时，此时，，符合题意；
当时，解得或，
当时，，符合题意；
当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意，
综上：或，
故选：D.
9．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ）
A．集合中至多有2个元素
B．集合中至多有3个元素
C．集合中有且仅有4个元素
D．集合中至少有5个元素
【答案】C
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点.
【详解】因为若，则，所以，，
则，
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合中有且仅有4个元素，
故选：C
二、多选题
10．（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．23B．68C．128D．233
【答案】ACD
【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算
【分析】依题意可知整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2；对选项逐一验证即可得出结论.
【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数；
对于A，可知，即A正确；
对于B，可得，不合题意，即B错误；
对于C，可得，即C正确；
对于D，易知.可知D正确.
故选：ACD
11．（24-25高一上·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（ ）
A．，
B．，
C．，，，则
D．，
【答案】BCD
【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假
【分析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.可以用特殊值法，举例判断.
【详解】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误；
对于B，x取1，，，B正确；
对于C，设，，若，则，因此，故C正确；
对于D，设，当时，，，
所以，当时，，，所以，即D正确.
故选：BCD.
12．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设，
而，即A错误，C正确；
，即B正确；
，即D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 .
【答案】1012
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
即，整理得，所以，
故或（舍去），则，
所以，
令，得，
又，，所以符合要求的集合的个数为.
故答案为：1012.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可.
14．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据并集结果求集合或参数
【分析】根据并集的运算进行求解即可.
【详解】由或，
则，解得，
故答案为：12,1.
15．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，若，则 ．
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可；
【详解】因为，
若时，，不符合元素的互异性；
若，即或2时：
当时，集合，不符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性；
若，即或2时：
当时，由以上可知不符合题意；
当时，，符合；
所以，所以，
故答案为：.
16．（24-25高一上·北京·期中）已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①；
②；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是 ；
（ⅱ）有序集合对的个数是 ．
【答案】 5 10
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法求集合中元素的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】由集合A中只有1个元素，且集合满足①②③，集合满足①②④可得第一空；分别讨论集合中元素个数结合题意可得第二空；
【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有5个元素，则，所以；
当集合中有一个元素时，由以上可得，只能为5，此时，有序集合对为1个；
当集合中有两个元素时集合中有4个元素，，所以，此时四种情况，对应的，有序集合对为4个；
当集合中有三个元素时，此时集合中也有三个元素，，不符合题意；
当集合中有四个元素时，集合中有两个元素，，故，此时四种情况，对应的，有序集合对为4个；
当集合五个元素时，集合中有一个元素，此时，故；有序集合对为1个；
当集合中有六个元素时，，与A中的元素个数不是A中的元素矛盾，不符合题意；
综上，共有个，
故答案为：5；10.
【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于分集合中元素个数讨论.
四、解答题
17．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算
【分析】（1）先求得，进而求得；
（2）按分类讨论，列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）时，，
则，
故或
（2）若，则，
当即时，，满足；
当即时，，
则由，可得，解之得，
综上，实数的取值范围为
18．（24-25高一上·上海·期中）设集合，.
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示；
(3)若全集，，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或．
(2)
(3)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意；
（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；
（3）根据集合元素情况分类求解即可．
【详解】（1）由题意得，因为，所以，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，,，满足，
所以或．
（2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根，
所以且，，
所以．
（3）因为，且，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当,时，则，无解，
综上，的范围为．
19．（24-25高一上·上海·期中）已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素.
(1)当时，列出，，；
(2)当时，求出的最大值并说明理由.
【答案】(1)，，
(2)，理由见解析
【知识点】集合的应用、集合新定义
【分析】（1）由已知求解可得；
（2），一方面，考虑为的非空子集，另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类，讨论可得结论.
【详解】（1），，；
（2），
一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求，
.
另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类，
类：最大元素为，1任取，：最大元素为，1到取法与互补.
两类集合一一对应，且不能同时取.
举例：，，因此.
综上所述.
20．（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”.
(1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
(2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”；
(3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”.
【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析
(2)证明见解析
(3)且
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论；
（2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论；
（3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可.
【详解】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”；
对于集合，不妨令，
当时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”.
（2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，，
，，，，有限集合是“坏集”.
（3）当且时，，，是“超级好集”；
下面证明：集合中不可能存在其他元素.
由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素，
若，且为中大于的元素中最大的元素，
此时，，不是“超级好集”；
若，且为中小于的元素中最大的元素，
此时，，不是“超级好集”；
中不可能存在其他元素.
满足题意的“超级好集”且.
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