专题03 幂、指数与对数（考点清单 知识导图 8个考点清单 题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（沪教版2020必修第一册）

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【清单01】根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【清单02】分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
【清单03】指数幂运算
①（，）
②（，）
③（，）
【清单04】对数概念
1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
【清单05】指数式与对数式的相互转化
当且，
【清单06】对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: （且）
【清单07】对数的运算性质
当且，,
①
②
③（）
④（）
⑤（）
【清单08】对数的换底公式
换底公式：（且，，，且）
特别的：
【考点题型一】根式的化简求值
【例1】（24-25高一上·天津）化简（其中）的结果是
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.
【变式1-2】.（2024高一·上海·专题练习）化简：
【考点题型二】指数幂的运算
【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：.
【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： .
【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 .
【考点题型三】分数指数幂与根式的互化
【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（，）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【考点题型四】指数幂的化简求值
【例4】（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 .
【变式4-2】（24-25高一上·广东广州）化简下列各式
（1）
（2）
【考点题型五】指数式与对数式互化
【例5】（24-25高一上·上海杨浦）设，满足，则的最小值为 .
【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）方程的解是 .
【变式5-2】（23-24高一·江苏·假期作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【考点题型六】对数的运算
【例6】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3).
【变式6-1】（24-25高三上·上海·期中）已知，则的最小值为 .
【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【考点题型七】对数运算性质与应用
【例7】（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 .
【变式7-1】（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（ ）
A．B．C．35D．
【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
【考点题型八】换底公式
【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 （结果用、表示）.
【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示)
【变式8-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 .
提升训练
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（ ）．
A．1B．－2
C．D．－4
2．（24-25高一上·上海徐汇）（且），则的值为（ ）
A．B．4C．1D．或1
3．（24-25高二上·黑龙江大庆）设，，都是正数，且，那么（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知且，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 .
6．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 .
7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是 ．（填序号）
①；②；③；④．
8．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 .
9．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示）
10．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，，则 .（用、表示）
11．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ．
12．（2024高一·上海·专题练习）正数 满足，则的值为 ．
13．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，，当变化时，最小值为4，则 .
14．（23-24高一上·全国·课后作业），则的值为 ．
15．（2024·广东茂名）已知实数a，b满足，则的最小值是 .
三、解答题
16．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
17．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示；
（2）已知正实数a满足，求的值．
18．（2024高一上·上海·专题练习）求值：
19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求．
（2）已知，，试用a，b表示．
20．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示;
（2）已知求b的值；
（3）已知，试用表示；
（4）已知，试用表示求.