专题05 函数的概念、性质与应用（考点清单 知识导图 17个考点清单 题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（沪教版2020必修第一册）

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【清单01】函数的近代定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(functin)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
【清单02】函数的单调性
（1）增函数与减函数
①增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing functin).
②减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing functin).
（2）函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
【清单03】函数的最大（小）值
（1）最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
（2）最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
【清单04】函数的奇偶性
（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
【清单05】函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
【清单06】函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
【考点题型一】求函数（含抽象函数）的定义域
【例1】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【变式1-2】.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨）若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【考点题型二】已知函数的定义域求参数
【例2】（24-25高一上·上海浦东新）已知函数的定义域为，则实数m的范围为 .
【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域，则实数的值为
【变式2-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 .
【考点题型三】求函数的值域
【例3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域是 .
【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 .
【变式3-2】（24-25高一上·上海徐汇）函数的值域为 ．
【变式3-3】（2024高一·上海·专题练习）求函数的值域 ．
【考点题型四】根据值域求参数
【例4】（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
【变式4-1】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，且为自然数，则
【变式4-2】（24-25高一上·江西·阶段练习）若函数的值域为，则实数取值范围是 .
【变式4-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数的值域为，则与的和为 ．
【考点题型五】根据函数奇偶性求解析式
【例5】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， .
【变式5-1】（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 .
【变式5-2】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【考点题型六】根据奇偶性求参数
【例6】（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ．
【变式6-1】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 .
【变式6-2】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若函数是偶函数，则 .
【考点题型七】求函数（复合函数）的单调区间
【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数，则f(x)的递减区间是 .
【变式7-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的单调减区间是 ．
【变式7-2】（2024·上海徐汇）函数的单调递增区间为 ．
【考点题型八】根据函数的单调性求参数
【例8】（24-25高三上·上海·开学考试）已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是
【变式8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 .
【变式8-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数在区间2,+∞上是严格增函数，则的取值范围是 .
【考点题型九】根据函数的单调性解不等式
【例9】（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ．
【变式9-1】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ．
【变式9-2】（23-24高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是
【变式9-3】.（23-24高一上·江苏常州·期中）若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是 .
【考点题型十】利用函数单调性求最值
【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值为 ．
【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域是 ．
【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ．
【考点题型十一】根据最值求参数
【例11】（24-25高一下·福建福州）若函数y=fx的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为 ．
【变式11-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 .
【变式11-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数 .
【考点题型十二】函数不等式恒成立问题
【例12】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知奇函数的定义域为，当时，，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式12-1】（2024高三·全国·专题练习）函数，其中是常数，若在有意义，则的取值范围是 .
【变式12-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数，其中.若对任意，恒有，则实数a的取值范围是 .
【考点题型十三】函数不等式能成立问题
【例13】（23-24高一上·广东·阶段练习）已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 .
【变式13-1】（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 .
【变式13-2】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）设，，若存在唯一的，使得关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 .
【考点题型十四】根据零点所在区间求参数
【例14】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是 .
【变式14-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为 .
【变式14-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 .
【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 .
【考点题型十五】求函数零点（方程根）的个数
【例15】（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 .
【变式15-1】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ．
【变式15-2】（23-24高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
【考点题型十六】根据零点个数求参数
【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
【例16-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【变式16-1】.（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 .
【变式16-2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 .
【变式16-3】（2024高三·全国·专题练习）已知.
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的单调区间；
(3)若函数y=fx的图象与直线有两个不同的公共点，求实数的取值范围.
【考点题型十七】求零点代数和
【例17-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为
【例17-2】（23-24高一上·北京西城·期中）函数，其中.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若函数有两个正数零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）求的最小值以及取到最小值时的值.
【变式17-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．若满足，满足，则 .
【变式17-2】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ．
【变式17-3】（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，
(1)求函数的零点；
(2) 若函数有四个零点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值．
提升训练
一、填空题
1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为 .
2．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 .
3．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
4．（24-25高一上·上海·期中）若函数 在[1，+∞）上是严格减函数，且在[1，+∞）上函数值不恒为负，则实数的取值范围是
5．（24-25高二上·上海·期中）设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高三上·上海·期中）设函数是定义在R上的奇函数，且，若，，则实数m的取值范围是 .
7．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 .
8．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 .
9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是 .
10．（2025·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ．
二、单选题
11．（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高一上·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①存在，使得；
②对任意，都有.
A．①②都正确B．①正确、②不正确C．②正确、①不正确D．①②都不正确
三、解答题
15．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，若存在，使得，求的取值范围；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数，.
(1)①判断函数的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数的单调性，无需说明理由；
(2)若恒成立，求的取值范围.
18．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，，
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
19．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数.
(1)若，解关于的方程；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式.
20．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若存在实数，使得成立，求的取值范围．