专题02 常用逻辑用语（考点清单+知识导图+ 7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【清单02】从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【清单03】充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
【清单04】全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【清单05】常用的正面叙述词语和它的否定词语
【考点题型一】充分性，必要性的判断
【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围
【例1-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据“”与“”的互相推出情况作出判断.
【详解】若，则，所以，所以，
所以“”可以推出“”；
若，取，此时不成立，所以“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【例1-2】（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可.
【详解】先分析根的情况，.
当时，方程无实数根，此时，即，
解不等式得或时，，那么.
当时，即时，方程有实数根.
设方程的两根为，由韦达定理得，.
要使，则两根都大于，所以且。
解得或，结合，得到.
综上，时或.
对于选项A：是或的真子集.
当时，一定有，但时，还可能，
所以是是真命题的一个充分不必要条件.
对于选项B：与或无包含关系.
当时，不成立，所以不是充分条件.
对于选项C：是或的一部分.
当时，成立，是充分不必要条件.
对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件.
故选：AC.
【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】由，即可判断.
【详解】由可得：，
因为，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
【变式1-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）下列不等式中，可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】由必要不充分条件的概念逐项判断即可.
【详解】对于A: 为既不充分也不必要条件；
对于B：为的必要不充分条件；
对于C: 为的充分不必要条件；
对于D：为的充分不必要条件；
故选：B
【考点题型二】根据充分性，必要性求参数
【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围
【例2】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得.
【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得；
但且两端等号不同时成立，所以，即；
因此实数m的取值范围为.
故答案为：
【变式2-1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数
【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解.
【详解】令或，，
因是的充分不必要条件，可得真包含于，
可得.
故选：D
【变式2-2】（24-25高一上·四川·期中）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】由题意转化为子集关系，即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，得.
故选：B
【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解．
【详解】，，
是的充分条件，
则，解得，
故答案为：．
【考点题型三】命题的否定
【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。
【例3-1】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定直接得解.
【详解】命题“，”的否定为“，”，
故选：D.
【例3-2】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）设命题：，，则的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】命题：，则命题的否定为：，
故选：C．
【变式3-1】（24-25高一上·北京·期中）记命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在命题的否定求解即可.
【详解】由存在命题的否定知，，则为.
故选：A
【变式3-2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）命题“”的否定是 .
【答案】
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】利用全称命题的否定直接求解即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：
【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，判别法，基本不等式等方法
【例4-1】（23-24高一上·福建宁德·期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【例4-2】（23-24高一上·福建·期中）设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得的取值范围.
【详解】由于“存在”是假命题，
所以“任意，”是真命题，
即任意，，，
令，的开口向上，对称轴为，
所以当，即时，取得最小值为，
所以 .
故选：B
【变式4-1】（2021·河南信阳·一模）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
【答案】B
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值
【分析】写出命题的否定，根据命题的否定为真，可转化为，利用均值不等式求最小值即可得解.
【详解】命题p：，x
所以：，，
由是真命题可得，，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
【变式4-2】（23-24高二上·四川眉山）已知命题：“，使”为真命题，则实数的取值范围是
【答案】或
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据一元二次方程有解的条件求解即可．
【详解】解：∵ ，使，
，
解得：或．
故答案为：或．
【考点题型五】不等式在非区间上恒（能）成立问题
【解题方法】分离变量，基本不等式，对钩函数等方法
【例5-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，使，则命题p的否定为 ；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】 ，使
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果；分析可知，结合二次函数性质分析求解.
【详解】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题，
所以命题p的否定为，使；
若命题p为真命题，等价于，
且函数的开口向上，对称轴为，
因为，可知当时，函数取得最小值，
可得，即，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：，使；.
【例5-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解.
【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题.
令,,解得.
故选:C.
【变式5-1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【知识点】根据全称命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件
【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可.
【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立，
即，因，故有：在上恒成立，
设，因，故得：，则，即得：，
依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项.
故选：ACD.
【变式5-2】（24-25高一上·重庆·开学考试）存在，使得，则的最大值为 ．
【答案】/
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】通过构造二次函数，根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置求出二次函数的最大值，结合存在命题的性质进行求解即可.
【详解】设，因为存在，使得，
所以当时，函数的最大值为非负实数，
该二次函数的对称轴为，
（1）若时，即时，
函数在上，随的增大而减小，
所以有，即函数有最大值，
即，即；
（2）若时，即时，
函数在上，随的增大而增大，
所以有，即函数有最大值，
即，而，此时没有满足条件的实数；
（3）若时，即时，
若时，即时，
此时当时，函数有最大值，则有，即；
若时，即时，
此时当时，函数有最大值，则有，即，
综上所述：，因此的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据所给的区间和二次函数对称轴的相对位置进行分类讨论求二次函数的最大值.
【考点题型六】二次函数在区间上的恒（能）成立问题
【解题方法】判别法（注意，只有二次函数+范围才可单独使用判别法，否则都是错误的）
【例6-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）命题是假命题，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解.
【详解】由题意得，命题的否定：.
∵命题是假命题，
∴命题的否定是真命题.
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，的范围是.
故选：A.
【例6-2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得.
故选：D.
【变式6-1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】利用判别式列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】由于命题“，使”是假命题，
所以，
解得.
故选：B
【变式6-2】（24-25高一上·四川绵阳·期中）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集.
【详解】若命题为真命题，则，解得：或，
所以当命题为假命题时，得到取值范围是.
故选：A
【考点题型七】常用逻辑用语中新定义题
【例7】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．
(1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；
(2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
(3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)充分不必要条件，证明见解析
【知识点】充要条件的证明、集合新定义、列举法表示集合
【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，.
（2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值.
（3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证.
【详解】（1）①集合，不符合定义，不具有性质；
②集合具有性质，对应集合，；
③集合不是整数集，所以不具有性质．
（2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个，
由，得，又当时，，则当时，，
因此集合的元素个数不超过个，
取，则中元素的个数为个，
所以中元素的个数最多为.
（3）1）当集合具有性质时，
①对于，由定义知：，又集合具有性质，则，
若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素，
所以的元素个数不多于的元素个数，即，
②对于，由定义知：，又集合具有性质，则，
若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素，
即的元素个数不多于的元素个数，即，
由①②知；
2）集合，则，
，满足，而集合不具有性质，
所以集合具有性质是的充分不必要条件.
【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
(1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集.
【答案】(1)集合是封闭集
(2)命题是假命题，命题是真命题
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系、补集的概念及运算、充要条件的证明
【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可.
（2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题.
（3）按和分类，结合反证法推理即可.
【详解】（1）对于集合，因为，所以是封闭集；
对于集合，
令，
则，所以集合是封闭集.
（2）对于命题令，，
令，
则，
所以集合是封闭集，同理集合是封闭集，
取，则，而，
因此集合不是封闭集，命题是假命题；
对于命题若，不妨令，
则有，又因为集合是封闭集，
则，同理，
因此，所以是封闭集，
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题.
（3）非空集合是封闭集合，
当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
设，在中任取一个，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，
同理当时，不是封闭集合，
所以A的补集不是封闭集.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
【变式7-2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，
(1)若，实数的取值范围；
(2)若，是假命题，求实数的取值集合；
(3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)．
(2)
(3)．
【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解；
（2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得；
（3）由题意得出，再分和进行讨论．
【详解】（1），，
若，即，则满足题意，
若，即，则，又，故无实解，
综上．
（2），是假命题，则，是真命题，即，
时，（时取等号），所以，即；
（3）若是的必要不充分条件，则，
的解是或，
，即时，满足题意，
时，，
因此，解得且．
综上，．
【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围．
提升训练
一、单选题
1．（24-25高一上·福建三明·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】先解不等式，由集合间的基本关系结合充分、必要条件判定选项即可.
【详解】不等式化为：，于是得“”所对集合为，
不等式化为：，于是得“”所对集合为，
显然是A的真子集，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：D
2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】判断选项中的范围组成的集合是否是的真子集即可.
【详解】对于A，因为不是的真子集，
所以命题不是命题的充分条件，故A错误；
对于B，因为不是的真子集，
所以命题不是命题的充分条件，故B错误；
对于C，因为是的真子集，
所以命题是命题的充分不必要条件，故C正确；
对于D，因为不是的真子集，
所以命题不是命题的充分条件，故D错误.
故选:C.
3．（24-25高一上·广西·期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
4．（24-25高一上·四川成都·期中）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得出答案．
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：D.
5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件
【分析】根据题意可得⫋，根据必要不充分条件的概念可得结果.
【详解】∵4与10的最小公倍数为20，
∴是4与10的公倍数，
∵，
∴⫋，即由得不到，由能得到，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
6．（24-25高一上·重庆·期中）设，用x表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】取，则，则，故“”推不出“”.
若，设，其中，，
此时，故成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
7．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据全称命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围.
【详解】由命题“”为假命题，得为真命题，
而，则，
，因此，所以实数a的取值范围为.
故选：D
8．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可.
【详解】由题意知“，”是真命题，
所以，解之可得,
所以的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】CD
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以.
故选：CD
10．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个x，使成立B．对任意的x，都有成立
C．对任意的x，都有不成立D．存在x，使成立
【答案】BC
【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题
【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可.
【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误；
BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确；
D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（24-25高一上·江西南昌·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断
【分析】写出原命题的否定，根据真假性列不等式来求得的取值范围.
【详解】命题“”为假命题，
命题“”为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
12．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根；
乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是 .
【答案】甲
【知识点】判断命题的真假
【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断.
【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，，
则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题.
若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾.
故甲命题为假命题；
若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意.
故答案为：甲
四、解答题
13．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A.
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据必要不充分条件求参数、已知命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】(1)由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
(2)结合题意推出，且，讨论是否为空集，列出相应不等式(组)，求得答案.
【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，解得.
综上，的取值范围为.
14．（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，．
(1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据全称命题的真假求参数、必要条件的判定及性质
【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
（2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，集合.
若“”是“”的必要条件，则，
当时，，不符合题意.
当时，，
所以，解得.
当时，，
所以，此不等式组无解.
综上所述，的取值范围是.
（2）依题意，，，
当时，，符合题意.
当时，，
则，解得.
当时，，
则，解得.
综上所述，的取值范围是.
15．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】（1）根据存在量词命题的真假性列不等式来求得的取值范围，从而求得集合.
（2）根据充分不必要条件、对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，命题p：“”为假命题，
所以，解得，
所以.
（2）由于是的充分不必要条件，所以，
当，即时，，满足.
当，即时，要使，
则需且两个等号不能同时成立，
解得，所以的取值范围是.
16．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且.
(1)若命题，是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题，是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数
【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可；
（2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可.
【详解】（1）由命题为真命题可得，且
则，解得.
即实数的取值范围为.
（2），是假命题
，是真命题，即
，解得，
即实数的取值范围为.
17．（24-25高一上·北京·期中）已知集合
(1)分别判断、、是否属于集合；
(2)写出所有满足集合的不超过的正偶数；
(3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件.
【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析
(2)、、
(3)证明见解析
【知识点】列举法表示集合、充分条件的判定及性质、判断元素与集合的关系
【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可；
（2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数；
（3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立.
【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合.
（2）解：集合，，
①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数；
②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合的偶数为．
因此，满足集合的不超过的正偶数有、、.
（3）证明：集合，则恒有，
所以，，即一切奇数都属于，
又，而，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
18．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
【答案】(1)集合B是，集合C不是，理由见解析；
(2)p假q真，理由见解析；
(3)证明见解析.
【知识点】集合新定义、充要条件的证明
【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可.
（2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题.
（3）按和分类，结合反证法推理即可.
【详解】（1）对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，
所以集合不是封闭集.
（2）对命题：令，
令，则，
因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集，
取，则，而，
因此集合不是封闭集，命题是假命题；
对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集，
则，同理，因此，
所以是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题.
（3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
设，在中任取一个，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合，
所以A的补集不是封闭集.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有