专题01 集合与逻辑（考点清单 知识导图 12个考点清单 题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（沪教版2020必修第一册）

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【清单01】集合
1、元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2、集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【清单02】集合的表示方法
1、自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
2、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
3描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
4、 （韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
5、区间：
数学中常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引进区间的概念．
设且．
称为开区间，记为；
称为闭区间，记为；
称为左闭右开区间，记为；
，称为左开右闭区间，记为．
以上都是有限区间，以下是无限区间：
，，，，
实数集，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
这里的实数统称为这些区间的端点．
【清单03】集合之间的关系
1、子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2、真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作AB，读作“真包含于”(或“真包含”)
（在有些资料中，集合A是B的真子集也被记作）
（2）性质：
①；
②传递性：且，则；
③若，则或；
④总规定：
【清单04】集合的运算
1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
2、交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
3、全集与补集
（1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
（2）补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作:. 读作:补. 即.
（3）补集的性质：
①； ②； ③； ④； ⑤；
⑥若，则；若，则；
【清单05】充分条件和必要条件
1、充分条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件.
2、充分必要条件：对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”.
3、从集合角度解释：若对于集合和，
若，则是的充分条件；
若，则是的必要条件；
若，则是的充要条件.
【考点题型一】辨别元素与集合，集合与集合的关系
【例1】（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（ ）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误.
②，的元素完全相同，所以，所以②正确.
③，空集是任何集合的子集，所以正确.
④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误.
⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误.
⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误.
所以正确的有个.
故选：B
【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.
【详解】当均为负数时，代数式的值为；
当两负一正时，代数式的值为；
当均为正数时，代数式的值为；
∴，故只有B正确.
故选：B.
【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下列各式中，正确的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥
A．1B．3C．4D．6
【答案】B
【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系
【分析】由元素与集合，集合与集合的关系的定义判断其关系即可.
【详解】对于①，点集和数集不相等，结论错误；
对于②，不是中的元素，结论错误；
对于③，由集合中元素的无序性，两个集合中元素完全相同，这两个集合相等，结论正确；
对于④，是任何集合的子集，结论正确；
对于⑤，任何一个集合都是它本身的子集，结论正确；
对于⑥，元素与集合不相等，结论错误.
则有③④⑤正确.
故选：B
【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数
【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解.
【详解】根据题意可知集合，且，
所以当时满足，且当时满足，
联立，解之可得或.
实数的取值范围是或.
故答案为：
【变式2-1】（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】由，列不等式组即可求解.
【详解】因为，，
则有，解得，
故答案为：
【变式2-2】（24-25高一上·上海闵行）已知集合，如果且，那么
【答案】或1或
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系,可得关于的方程,解方程且满足且,即可求得的值．
【详解】集合,且
所以若,解得
若,解得
所以的值为或1或
故答案为: 或1或
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.
【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数
【例3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求，
当时，需要，解得，
综上，或.
故答案为：或
【变式3-1】（24-25高一上·上海虹口·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 ．
【答案】0或
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．
【详解】的子集只有两个，有一个元素，
①时，，满足题意；
②时，，解得，
或．
故答案为：0或．
【变式3-2】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 .
【答案】2
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，
则方程有两个不相等的实数根，则，
所以.
故答案为：2.
【考点题型四】列举法和描述法
【例4】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ．
【答案】
【知识点】列举法表示集合
【分析】利用列举法来求得正确答案.
【详解】依题意，，所以和都是自然数，
所以.
故答案为：
【变式4-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 .
【答案】
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据，对列举求解即可.
【详解】，
，
，
故答案为：.
【变式4-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 ．
【答案】
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合
【分析】根据集合描述列举出集合元素，即可得答案.
【详解】由且，则,或，
解得的值为，所以.
故答案为：
【考点题型五】子集（真子集）问题
【例5】（24-25高一上·重庆·期中）定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ．
【答案】
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数.
【详解】由题设中新集合的定义可得：
，，故，
故其子集个数为，
故答案为：.
【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ．
【答案】5
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】先根据，确定集合的个数，再排除不满足条件的集合即可.
【详解】首先：因为，所以集合的个数为：个，
其中：，，不满足条件：“若则”.
故满足条件的集合的个数为：5.
故答案为：5
【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个.
【答案】3
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数．
【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，
所以或或，
所以满足条件的M个数为3.
故答案为：3.
【考点题型六】根据集合的包含关系求参数
【例6】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】先解方程得集合A，再根据集合的基本关系计算即可.
【详解】解方程得或，即，
又，所以，即的取值范围是.
故答案为：
【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合的包含关系，讨论、求对应参数范围，即可得答案.
【详解】若时，满足，此时只需；
若时，则，可得；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
【变式6-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合且，，且，则实数a的取值范围为
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】首先要理解绝对值不等式的求解方法，对于，可以通过去掉绝对值符号来求解集合.然后根据子集的概念，如果，那么中的元素都要满足集合的条件，从而确定实数的取值范围.
【详解】对于不等式，根据绝对值的性质，解得，可得，
即.
因为且，所以且，
由，得到.由，
又集合中的元素与不同，所以，
综合可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
【考点题型七】集合的运算
【例7】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 .
【答案】
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】先求出，再求出，从而可求.
【详解】因为，故，
而且两两相交为空集，
故，故，
故答案为：
【变式7-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ．
【答案】
【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算
【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解.
【详解】由题意得，，
∵
∴，
∴.
故答案为：.
【变式7-2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知全集，集合，，则 ．
【答案】
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】求出，由此能求出．
【详解】全集，
集合，且，
，
．
故答案为：
【变式7-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合满足:①每个集合都恰有3个元素;②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为 .
【答案】
【知识点】集合新定义
【分析】由集合中最小值1与最大值9构成集合中两个元素，若使取得最大值，则将，从而依次确定、、，同理求最小值，从而解得．
【详解】解：因为集合中最小值为1，最大值为9，
若使取得最大值，
不妨设，，
则，则，2，，
则剩余的数中最小值为3，最大值为8，
令，4，，则，
则，6，，，
则的最大值为，
②若使取得最小值，
则，8，，则，
则剩余的数中最小值为2，最大值为7，
令，6，，则，
则，4，，，
则此时的最小值为，
故的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
【考点题型八】根据并集、交集、补集的结果求参数
【例8】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合.
(1)若，求实数的值.
(2)若，求实数的取值范围.
(3)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可；
（2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解；
（3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
整理得，解得或，
因为，
当时，，满足；
当时，，满足；
故a的值为或.
（2）因为，所以，又，
当时，关于x的方程没有实数根，
所以，即，解得，满足题意；
当时，若集合B中只有一个元素，则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合B中有两个元素，则，
即是方程的两根，
所以，无解，
综上，可知实数a的取值范围为.
（3）因为，所以，则，
所以，即，所以.
综上，实数a的取值范围为.
【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求；
（2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值.
【详解】（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因为，所以，
所以或，所以或；
（2）因为，所以，
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上，实数m的取值范围是.
【变式8-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知.
(1)若方程有两个实数根，，且，求实数的值；
(2)若集合，，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】（1）由韦达定理得到，根据题意，转化为，代入得到，求得的值，结合，即可得到答案.
（2）求得，，由，可得，分，，和，四种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，令，即，
因为方程有两个实数根，可得，
又因为，可得，
即，即，
将代入，可得，解得或，
又由，即，解得或，
所以，即实数的值为.
（2）解：由集合，
集合
因为，可得，
若时，即方程无实数根，
则满足，解得；
若时，把代入方程，解得，
当时，方程，解得或，此时，舍去；
当时，方程，解得，此时，符合题意；
若时，把代入方程，解得或，
当时，方程，解得或，此时，舍去；
当时，方程，解得或，此时，舍去；
若时，可得，解得，符合题意，
综上可得，实数满足或，即实数的取值范围为.
【变式8-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，.
(1)若，求实数的值；
(2)若全集为R，，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)且且且
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解；
（2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，且，
则是方程的根，
所以，，解得或，
当时，，此时，，合乎题意；
当时，，此时，，合乎题意.
综上所述，或.
（2）对于方程，，
因为全集为R，，则，分以下几种情况讨论：
当时，则，可得，此时，，合乎题意；
当时，则，可得，
因为，则、都不是方程的根，
所以，，
解得且且且，
此时，或或或.
综上所述，实数的取值范围是且且且.
【考点题型九】命题
【例9】（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】判断命题的真假
【分析】直接取特殊值验证即可.
【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题.
故答案为：假
【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 .
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则
【答案】②③④
【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假
【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断.
【详解】①若，①错误，
②，②正确，
③，③正确，
④，④正确，
⑤若，⑤错误.
故答案为：②③④
【变式9-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知命题的真假求参数、方程与不等式
【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可.
【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根，
设两根为，则有，解得；
命题乙为真时，则关于的方程没有实数根，
有，解得.
若甲、乙有且只有一个是真命题，
当甲真乙假时，则有，解得；
当甲假乙真时， 则有，解得 .
实数的取值范围是.
故答案为：.
【考点题型十】判断命题的充分，必要性
【例10】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可.
【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立；
所以“”是“”的不充分条件；
再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件.
综上：“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
【变式10-1】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】由集合的包含关系即可判断.
【详解】由可得，
显然，
所以“”是“必要不充分条件.
故选：B
【变式10-2】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得.
【详解】当时，取，，得不到 “且”
故“”不是“且”的充分条件，
当且时，取，，得不到，
故“”不是“且”的必要条件，
故“”是“且” 既不充分也不必要条件，
故选：D
【考点题型十一】根据充分性（必要性）求参数
【例11】（24-25高一上·上海·期中）若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数
【分析】由是的充分非必要条件，由集合的包含关系列出不等式组，解之即可.
【详解】不等式，即，解得，
若是的充分非必要条件，
所以集合是集合的真子集，
则有，不同时取等号，解得，
实数m的取值范围是.
故答案为：
【变式11-1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围.
【详解】由于是的一个充分不必要条件，
所以，
所以.
故答案为：
【变式11-2】（24-25高一上·上海·期中）已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】利用题给条件列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】由p是q的充分非必要条件， p：，q：，
可得，即，则实数a的取值范围是
故答案为：
【考点题型十二】反证法
【例12】（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）设a，b，c均为正数，则，，（ ）
A．都不大于6B．都不小于6
C．至多有一个不大于6D．至少有一个不小于6
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、反证法证明
【分析】结合基本不等式判断出正确选项.
【详解】因为①，
当且仅当时等号成立.
如果，，都小于，则不符合①，
所以，，至少有一个不小于6．
故选：D
【变式12-1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，集合的积集
B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个
C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个
D．存在4个正实数构成的集合，使其积集
【答案】C
【知识点】反证法证明、集合新定义
【分析】利用积集的定义可判断A，设，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断B和C，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断D.
【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有，
即，故A错误；
对于B，设，不妨设，
因为，
所以中元素个数小于等于10个，
如设，则，
所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误；
对于C，因为，
所以中元素个数大于等于7个，
如设，
此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确；
对于D，假设存在4个正实数构成的集合A=a,b,c,d，使其积集，
不妨设，则集合的积集，
则必有，其4个正实数的乘积，
又或，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，
使其生成集，故D错误.
故选：C.
【变式12-2】（23-24高二下·河南郑州·期末）已知x，y，，且，，，则a，b，c三个数（ ）
A．都小于B．至少有一个不小于
C．都大于D．至少有一个不大于
【答案】B
【知识点】反证法证明
【分析】应用反证法，假设a，b，c三个数都小于，利用得到矛盾结论，即可确定答案.
【详解】若a，b，c三个数都小于，
则，即，
显然不等式不成立，
所以a，b，c三个数至少有一个不小于，排除A，而C、D不一定成立.
故选：B
【变式12-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明）
（2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、反证法证明
【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案；
（2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解.
【详解】（1）假设都是非负数，
因为，，所以，
又，
故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立；
（2）若的充分非必要条件为，则是的真子集，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上所述，的取值范围是.
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一、填空题
1．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数
【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解.
【详解】由是的充分条件，且：，：，
可得：是的子集，
所以：.
故答案为：.
2．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是
【答案】或
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解.
【详解】因为，又有且仅有个子集，
所以有两个元素，则，
若时，，此时满足题意，
若，则，此时满足题意，
所以，
故答案为：或.
3．（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个.
【答案】16
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】分析集合中的元素个数，由于，则符合的集合个数即可确定.
【详解】，则当时，；
当时，；
当时，；
所以
又，集合中有4个元素，为子集，
故符合这样的集合有.
故答案为：16.
4．（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 .
【答案】30
【知识点】集合新定义
【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组．
【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足，
可得
消去，并整理得，
所以（舍去），，于是有．
在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对，
所以必为2的倍数，且，，
故这样的数对共30组．
故答案为：．
5．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个．
【答案】32
【知识点】集合新定义
【分析】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果．
【详解】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，
再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，
于是，其中为奇数，．由条件知，
若，则等价于为偶数；
若，则等价于为奇数．
于是是否属于由是否属于确定．
设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数．
当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或，
所以，
所以，2，3，4，5，6，7，8，9，，
即同时满足三个条件的集合的个数为．
故答案为：32
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
6．（24-25高三上·上海·期中）设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是 ．
【答案】
【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数
【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，并得到中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足．
【详解】因为,，
所以元素个数为4，所以中元素个数至少个,
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故答案为：.
7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则集合A的非空真子集的个数为 ．
【答案】6
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、列举法求集合中元素的个数
【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果.
【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是；
此时，即可得，
所以集合A的非空真子集的个数为个.
故答案为：6
8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ．
【答案】或
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得.
【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根，
当时，方程可化为得，符合题意，
当，方程只有一个实数根时，，
得，
故或.
故答案为：或
9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合 .
【答案】
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】先由条件求出，，得到或，若，则，不合题意；若时，则，由中各元素的和为256，且得到，，从而求出集合.
【详解】由，且，
得到只可能，即或，
由知，当时，，
而，则，故舍去，
则，∴，且，
∴或，
①若时，，不合题意；
②若时，此时，，
因，从而，
又，则，当时，无整数解，
当时，，所以.
故答案为：.
10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为
【答案】
【知识点】判断元素与集合的关系、根据集合中元素的个数求参数
【分析】若，此时，为的根，再分和两种情况，求出相应的，
得到两个三元数对，若，即，此时为的根，同理可得到两个三元数对，得到答案.
【详解】由题意得为方程的一个解，
是的一个解，
若，即，此时为的根，
故是的根，将代入得①，
若②，
式子①②联立得，此时中也只有两个元素，
故一个三元数对为，
若，则是的另一个根，
故③，
式子①③联立得，此时中也只有两个元素，
故一个三元数对为，
若，即，此时为的根，
故为的根，即④，
若⑤，
式子④⑤联立得，此时中只有两个元素，
故一个三元数对为，
若，则是的另一个根，
故⑥，
式子④⑥联立得，此时中只有两个元素，
故一个三元数对为，
故答案为：
二、单选题
11．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（ ）
①
②
A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断命题的真假
【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假.
【详解】①因为，，所以，真命题，
②当时，，此时，假命题.
故选：B
12．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解.
【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合，
同样指图（2）中阴影部分构成的集合，
，
故选：A.
13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（ ）
①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集；
②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集；
③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集；
④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可.
【详解】对于集合，，
任意，即，则，即有，
因此对任意a，是的子集，命题③④错误；
对于集合，，
当时，，，则是的子集，
当时，，，
则不是的子集，命题①③错误，
所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1.
故选：B
【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可.
14．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合
【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断.
【详解】若，
对于①，，①正确；
对于②，当中时，，所以，②正确；
对于③，若，不妨设，
则，，所以，③正确；
对于④，若且，不正确，
例如，，④不正确；
对于⑤，存在且，满足，
例如，，
若，
则，故，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.
故选：C.
15．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【知识点】集合新定义
【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可.
【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确；
对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确；
对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误
对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”，
必要性：若是“封闭集”，令,
假设且．
则存在,,同时,
因为是“封闭集”，
所以,，分两类情况讨论
若,又则所以，这与假设矛盾；
若,又则所以，这与假设矛盾；
故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确；
故选：D
三、解答题
16．（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集.
(1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由；
(2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集.
【答案】(1)为封闭集，不是封闭集，理由见解析.
(2)证明见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可.
（2）结合反证法推理即可.
【详解】（1）对于集合，，，故为封闭集，
对于集合，，，故不是封闭集.
（2）证明：非空集合是封闭集，
易得，假设是封闭集，
设，在中任取一个元素，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集，
同理当时，不是封闭集，
所以不是封闭集.
17．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，，
(1)试求实数a的取值范围，使；
(2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)或；
(2)不存在,理由见解析；
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）解不等式可得集合，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可得出论；
（2）由（1）中的结论并根据交集结果分类讨论即可求得结果.
【详解】（1）解不等式可得，
解不等式可得或，
因此可得；
当时，，不合题意；
当时，解得，
若，可得，解得；
当时，解得，
若，可得，解得；
综上可知，实数a的取值范围为或；
（2）由（1）可知或，
显然，且；
因此只需满足即可，
又因为a为正数，
可知时，，因为
可得，解得，此时无解；
因此不存在满足题意的
18．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，
(1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
(3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数
【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解；
（2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解；
（3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解.
【详解】（1）因为，又，
所以，解得，
所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为.
（2）因为，且，则或集合中元素是非正数，
又，所以中元素是方程的解，
当时，，解得，
当集合中元素是非正数时，设是方程的根，
因为，则且，解得，
所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为.
（3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到，
当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到，
所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或.
19．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围.
【答案】答案见解析
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可．
【详解】由于且，故，
当时，，此时，不合题意，故，
由于得，，
①若，若，则，不合题意，所以，则，
当时，解得，此时，
又因为，所以，解得；
当时，解得，此时，
又因为，所以，解得；
②若，时，即，
当时，，联立解得，此时，
又因为，则，解得；
当时，，联立解得，此时，
又因为，所以，解得；
③若，时，即，
由，得，由根与系数关系得，，解得，
此时，，符合题意，
又因为，所以，解得，
综上所述，当，，则；
当，，则；
当，，则；
当，，则；
当，则．
20．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件的判定及性质
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）由，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
（2）因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.