江苏省扬州市2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省扬州市2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ）
A. 方差B. 众数C. 平均数D. 中位数
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．
2. 若a是一个根，则的值是（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】把代入方程求出，把它代入计算即可求出值．
【详解】解：把代入方程得：，即，
则原式，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3. 如图，，直线与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F．若，则DE的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出的长度即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式．
4. 如图，要使∽，需补充的条件不能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以添加一组角相等或添加角的两边对应成比例即可．
【详解】∵
∴当或或时，∽，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的性质以及三角形相似的判定方法是解答本题的关键．
5. 如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，
∴对应点到位似中心的距离比值为1：2，
∴A对应点为：点．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．
6. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则整数最大是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个不等的实数根，则根的判别式△=＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，还要注意二次项系数不为0；
【详解】∵ 有两个不等的实数根，
∴△==4-4a＞0，且a≠0，
解得：a＜1且a≠0，
则a的最大整数为-1；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．
7. 如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可．
【详解】解：连接、、、，如图所示，

∵的直径为26，
∴，
∵点M、N分别是弦的中点，，，
∴，，，，
∴，，
当时，M、O、N三点共线，
当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，
当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，
∴线段的长度的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8. 如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案．
【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆，
∵四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上，
连接交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线过圆心O时，最短，
∵，，
∴，
∴，
∵．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对 圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
二、填空题（本大题共10小题，共30．0分）
9. 一组数据：8，，，5的极差为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据极差的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴数据：8，，，5的极差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求极差，熟知极差的定义是解题的关键：一组数据中的最大值与最小值的差为极差．
10. 一只蚂蚁在如图的方格地板上随机爬行（每个小方格形状、大小完全相同）．则当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 _____．
【答案】
【解析】
分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
【详解】解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键是熟练掌握概率＝相应的面积与总面积之比．
11. 方程是关于的一元二次方程，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为4米，则线段的长为__________米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】根据建立方程即可求解．
【详解】解：
设则
（舍去），
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键．
13. 某药品经两次降价，从每盒90元下调至72.9元，则平均每次降价的百分率是 _____．
【答案】10%
【解析】
【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，利用，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，依题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）．
即平均每次降价的百分率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 的圆心是原点，半径为，点在上，如果点在第一象限内，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，可得，，运用勾股定理可以求得的长，即为的值．
【详解】解：如图
由题意得：，
由勾股定理可得：,
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键．
15. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是__________°．
【答案】48
【解析】
【分析】根据圆周角定理推出∠ACB=90°，再由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=48°．
【详解】解：连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=42°，∴∠B=90°-∠CAB=48°，∴∠D=∠B=48°．故答案为：48．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，准确找到辅助线的添加方法．
16. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17. 如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
【答案】cm
【解析】
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
【点睛】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．
18. 如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为______．

【答案】7：8
【解析】
【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值．
【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x
连接DE、DF，如图所示

∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°
由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°
∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120°
∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120°
∴∠ADE=∠DFB
∴△ADE∽△BFD
∴
即CE：CF=7：8
故答案为：7：8
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】(1)采用配方法解此方程，即可求解；
(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由原方程得：，
得，
得，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，；
【小问2详解】
解：由原方程得：，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：关于x的一元二次方程，
；
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
解得，
∵此方程恰有一个根小于，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键．
21. 加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1时以下；B．时（包含1时）；C．时（包含2时）；D．3时以上（包括3时）．
图（1）、图（2）是根据调查结果绘制两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．
（1）填空：本次问卷调查一共调查了____________名学生；图（2）中D部分所对应的圆心角度数是____________
（2）请将图（1）的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2时以上（包含2时）．
【答案】（1）200，；
（2）见详解 （3）360
【解析】
【分析】（1）用B组频数除以B组百分比求出样本容量为200，用200分别减去A、B、C三组频数求出D组频数为10，根据扇形圆心角计算公式即可求解；
（2）根据D部分的频数为10即可补全条形统计图；
（3）用全校人数1800乘以C、D两组频数之和所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解：（名）；
（名），．
故答案为：200，；
【小问2详解】
解：D部分的频数为10，图（1）的条形统计图补充完整如图：
【小问3详解】
解：（名），
答：估计全校大约有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2时以上（包含2时）．
【点睛】本题为条形统计图和扇形统计综合题，考查了用样本估计总体，扇形统计圆心角计算，条形统计图画法等知识，综合性较强，根据题意找出条形统计图与扇形统计图关联的信息是解题关键．
22. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出人车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出人闸口，分别记为A、B、C、D．

（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A闸口通过的概率；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2），作图见解析
【解析】
【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率为．
【小问2详解】
解：根据题意画出画树状图如下：

由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
∴两名乘客选择相同闸口通过的概率．
【点睛】本题主要考查了运用树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图、正确确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数是解答本题的关键．
23. 如图，是的内接三角形，直径，平分交于点D，交于点E，连接、．

（1）若，求的度数；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的定义可得，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【解析】
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
25. 如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．
（1）求证：．
（2）当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）存在，的值为或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）分情况讨论 ：①当时，则得到四边形为矩形，从而求得x的值；②当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
【小问1详解】
证明：∵矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解： ①若，如图1，
则，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，即．
②如图2，若，
则，
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴点为的中点，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查动点问题，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解．
26. 数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据，可得关于的方程组，解方程组即可求得．
【详解】设 ，，
，，，，
，，
，
又，
即
．
答：树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．
27. 阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ；
（2）求满足的x的值；
（3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；
（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；
（3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可．
【详解】解：（1）把x=1代入方程得，
两边平方得 3-a=1，
解得a=2，
经检验，a=2是方程的解，
故答案为：a=2；
（2）
两边平方得：
解得：，
经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根
∴原方程的根是x=3；
（3）不能．
，
原方程变形得，
两边平方得
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
【点睛】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．
28. 定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为，这个倍腰三角形的周长为________；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“”；错误的打“”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（ ）
（2）如图，依次连接倍腰三角形各边的中点，则图中共有个倍腰三角形（ ）
性质应用：如图，倍腰三角形是的内接三角形，且，若的半径为，求倍腰三角形的面积；
拓展应用：如图，是的外接圆，直径于点，与相交于点，与相交于点，是倍腰三角形，其中，请直接写出的长．

【答案】理解定义：5或10；性质探究：（1）；（2）；性质应用：；拓展应用：
【解析】
【分析】理解定义，由三角形的两边之和大于第三边可知倍腰三角形的腰是底边的2倍，当底边是2时，周长为10；当腰是2时，周长为5；
性质质探究：（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形；
（2）图1中共有5个倍腰三角形，分别是，，，，；
性质应用：根据倍腰三角形的性质及勾股定理可求出倍腰三角形的高及底，可求出其面积；
拓展应用：通过倍腰三角形的性质及垂径定理求出的半径，直径，设的长为，再通过相似三角形将，用含的代数式表示出来，由直径的长度可列出方程，解方程即可．
【详解】解：理解定义，
当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；
当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；
故答案为：5或10；
性质探究，
（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案为；
（2）如图1，图中共有5个倍腰三角形，分别是，，，，，
故答案为；

性质应用，
如图2，

过顶点作于点，连接，
设为，根据性质则有，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
，，
，
倍腰三角形的面积为；
拓展应用，
如图3，

过点作于，连接，，
则，
是倍腰三角形，，，
，
，
是倍腰三角形，
，
，
，，
垂直平分，经过圆心，
设半径为，
在中，
，
，
解得，，
，
在中，
，
，，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
解得，
的长为．