江苏省扬州市朱自清中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省扬州市朱自清中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 一元二次方程的根的情况是， 根据下面表格中的对应值， 在比例尺为1等内容，欢迎下载使用。
（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 32cm
【答案】A
【解析】
【分析】由是的比例中项可得再代入数据解方程即可.
【详解】解：是的比例中项，且



（负根舍去）
故选A
【点睛】本题考查的是线段的比例中项的含义，掌握“线段的比例中项的含义”是解本题的关键.
2. 已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系；
根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案．
【详解】解：∵的半径为3，点P在外，
∴，
∴的长可能是4，
故选：D．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断．
【详解】解：将原方程可变形为：，
∵，
∴原方程没有实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法．
4. 一个圆锥侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 3B. 4C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得
，
解得，
即该圆锥的母线长是9．
故选：C．
5. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. b＜0，c＞0B. b＞0，c＞0C. b＞0，c＜0D. b＜0，c＜0
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴当x=0时，y=c＞0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．
6. 根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
7. 如图，的弦AB，的延长线相交于点E，，为，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；连接，根据圆周角定理得出，，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．

8. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，过点P作轴于点，轴于点，求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定A的位置，再进行求解即可．
【详解】解：连接，过点P作轴于点，轴于点，

∵，
∴，
∵与x轴相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的横坐标为9，，
∴P、B在平行于x轴的直线上，即：，
∴，
∴的长为，
当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，
∴此时P点的坐标为：，
∵沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变，
∴点A位置转动到如图所示的位置：

∵，
∴，
∴，即：，
故选B．
【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在x轴上时，点P和点A的位置．
二．填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
10. 在比例尺为1：20000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为___________km．
【答案】1
【解析】
【分析】设A，B两地间的实际距离为x cm，根据比例尺为1：20000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为5cm，得：1：20000=5：x，求出x即可．
【详解】解：设A，B两地间的实际距离为x cm，根据题意列方程得，
1：20000=5：x，
解得x=100000，
∵100000cm=1000m=1km，
∴A、B的实际距离为1km．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例线段，比较简单，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
11. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设的长为，则，
根据黄金分割的定义可知：，即，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的长为；
故答案为：．
12. 若两个相似四边形的面积比是，则它们的周长比是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质可进行求解．
【详解】解：若两个相似四边形的面积比是，则它们的周长比是；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
13. 如图，是半圆的直径，P是延长线上一点，切半圆于点C，若，则________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆的切线的性质以及圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧或所对的圆周角等于圆心角的一半”；连接，根据圆周角定理得出，根据切线性质得出，根据直角三角形的两锐角互余得出．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴．
故答案为：28．
14. 现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15. 在中，弦的长为4，，交于点D，交于点C， ，则半径长________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．连接，在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴设，
∴，
∵弦的长为4，，
∴，
∴，即，解得：（负值舍去），
∴，
∴半径长为，
故答案为：．
16. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则关于的方程的根为________．

【答案】，
【解析】
【分析】观察函数图象当时，，由二次函数对称轴为直线，则当时，，据此即可得出方程的解．
【详解】解：根据二次函数图象可得：当时，，
又因为二次函数关于直线对称，
所以当时，，
所以关于的方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据关于原点位似的关系和位似比，结合点B与点C位于位似中心的异侧，即可将点B的坐标都乘以即可．
【详解】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．掌握点在坐标系中位似变换的规律是解题关键．
18. 如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像，根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查直线与函数图像交点问题，根据图像直接求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，当直线与的图像交于4个点，即可得到4个不同的实数根，
即当，有四个不相等的实数根，
故答案为：．
三．解答题（共10小题，共96分）
19. 解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）本题可以用直接开平方法求解，也可以用因式分解法求解；
（2）本题可以用公式法求解，也可以用配方法求解．
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。熟练掌握各种解法，并且能选择正确的解法是解题的关键．
【小问1详解】
方法一：
解：
．
方法二：
解：
即
或者
．
【小问2详解】
方法一： 解：
．
方法二： 解：


．
20. 已知关于的方程．
（1）当该方程有实数根时，求的范围；
（2）若该方程的两个根满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据，解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出和的值，再代入求解即可．
【小问1详解】
解：关于的方程有实数根，
，
解得：．
故的取值范围是．
【小问2详解】
解：
，，
，
，
解得，，
又，
．
21.
如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）根据面积比等于相似比的平方，即可得，问题随之得解．
【小问1详解】
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方，是解答本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．

（1）点M的坐标是 ；
（2）判断与y轴的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）相交，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键．
（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心；
（2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系．
【小问1详解】
连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：

根据网格的特征可得：点M的坐标为，
故答案为：．
【小问2详解】
相交．
根据网格特征可得：
的半径
圆心M到y轴的距离
∴
∴与y轴相交．
23. 已知二次函数，请结合函数图像回答下列问题：
（1）其图象与x轴的交点坐标为 ；
（2）当x满足 时，；
（3）当时，函数y的取值范围是 ．
【答案】（1）和
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
（1）令求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点；
（2）根据二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点即可求得；
（3）先把该二次函数的解析式化为顶点式，求出函数图象的开口方向和顶点坐标，即可求得函数的最小值，再求得x=-1时的函数值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，，
解得：或，
∴它与x轴的交点坐标为和；
小问2详解】
解：∵抛物线开口向上，与x轴的交点坐标为和；
∴当时，；
【小问3详解】
解：∵
∴顶点坐标为，
∴时，有最小值，
当时，
当时，，
∴当时，y的范围是．
故答案为：．
24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）∠DAC＝40°；（2）4
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出ADOC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD，则可得出答案．
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AC的长．
【详解】解：（1）如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴ADOC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°；
（2）连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD＝6，AB＝8，
∴，
∴AC＝4．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
25. 如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三形ABC．
（1）求该圆锥形粮堆的侧面积．
（2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程． (结果不取近似数)
【答案】（1) 18πm2；（2）3m.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面积公式是π×底面圆半径×圆锥的母线长；扇形的面积公式是，进行计算即可；
（2）根据两点之间，线段最短．首先要展开圆锥的半个侧面，再连接BP．发现BP是直角边是3和6的直角三角形的斜边．根据勾股定理即可计算．
试题解析：（1）根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得：
πrl=π×3×6=18π．
（2）圆锥的底面周长是6π，则6π=，
∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．
∴在圆锥侧面展开图中BP=m．
故小猫经过的最短距离是m．
26. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元，
（1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）求其最大利润．
【答案】（1），
（2）元
（3）
【解析】
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案．
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出等式；
（3）设利润为，由（2）可得利润表达式为，利用二次函数的性质得到最大值，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
故则每天销售量增加件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，
依题意得，
整理得，
解得，，
由于要对顾客更有利，
．
故答案为：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1200元．
【小问3详解】
解：设利润．
由（2）可得利润的表达式为，
化简得，
当时，有最大值．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键．
27. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．

（1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
【答案】（1）3；
（2）点M到地面的距离为2.25米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解．
【小问1详解】
由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴点，
当时，，
故答案为：3；
【小问2详解】
设抛物线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点是抛物线顶点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
（1）这个二次函数的表达式为______．
（2）设直线的解析式为，则不等式的解集为______．
（3）连结，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）当四边形的面积最大时，求出此时P点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
（4），四边形的最大面积是
【解析】
【分析】此题考查二次函数的综合知识，顶点式解析式法，不规则图形的面积，二次函数的图象和性质，最值问题，菱形的性质，
（1）直接利用顶点式求出解析式即可；
（2）先确定B，C的坐标，再利用图象得到不等式的解集；
（3）利用菱形的性质得到，即可得到点P的纵坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（4）利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值．
【小问1详解】
∵点是抛物线的顶点，
∴；
【小问2详解】
令，则，
∴或，
∴；
令，则，
∴C0,−3，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
存在，如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∵C0,−3，
∴点P的纵坐标为，
∵P在抛物线上，
∴，
∴或 ，
∴；
【小问4详解】
过点P作轴，交于E，
设，
∵，C0,−3，
∴直线解析式为，
∴，
∴
∵，，C0,−3，
∴
当时，最大，最大值为，
此时，，
∴，四边形的最大面积是．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09