湘教版九年级下册数学期中学情调研试卷（含答案）

这是一份湘教版九年级下册数学期中学情调研试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中,属于二次函数的是（ ）
A．y=2x−1B．y=x2+1x
C．y=x2(x+3)D．y=x(x+1)
2．关于二次函数y=−(x+2)2−1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标为(2,−1)
C．与y轴交点为(0,−1)D．对称轴为直线x=−2
3．在平面直角坐标系中,将抛物线y=2(x−1)2+1先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,则平移后抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=2(x+1)2+4B．y=2(x−1)2+4
C．y=2(x+2)2+4D．y=2(x−3)2+4
4．在平面直角坐标系中,⊙O的直径为10.若圆心O为坐标原点,则点P(−8,6)与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内D．无法确定
5．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的直径为2,则该正六边形的周长是（ ）
A．12B．63C．6D．33
6．如图,抛物线y=12x2+3x+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连接BC,AC,则△ABC的面积为（ ）
第6题图
A．1B．2C．4D．8
7．如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,BC//OP交⊙O于点C.若∠B=70∘ ,则∠OPC的度数为（ ）
第7题图
A．10∘B．20∘C．30∘D．40∘
8．如图,已知线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AE=2,CD=6,则OB的长为（ ）
第8题图
A．13B．134C．132D．5
9．已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的两点，现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若x1>x2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2.其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图,在以AB为直径的⊙O中,C为⊙O上的一点,BC⌢=3AC⌢,弦CD⊥AB于点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G.若H是AG的中点,则∠CBF的度数为（ ）
A．18∘B．21∘C．22.5∘D．30∘
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(1,4)，则这个函数的表达式是______________________.
12．如图,已知△ABC三边的长分别为5,12,13,那么△ABC的内切圆的半径为____.
第12题图
13．如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计）,当AB=____m时,矩形土地ABCD的面积最大.
第13题图
14．如图,四边形ABCD内接于⊙O.若∠ADC=120∘ ,则∠AOC的度数为__________.
第14题图
15．如图,在△ABC中,∠ABC=90∘ ,AB=2,AC=4,O为BC的中点,以点O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是____________.
第15题图
16．如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上,点C在x轴的正半轴上,经过点A,B的抛物线y=a(x−2)2+c(a>0)的顶点为E.若△ABE为等腰直角三角形,则a的值为________.
第16题图
17．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB⌢所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB=23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为______.（结果保留π）
第17题图
18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的外接圆⊙O的半径是________.
第18题图
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知二次函数的表达式为y=x2+4x+3.
（1） 此二次函数的顶点坐标为______________,与x轴的交点坐标为____________和____________,与y轴的交点坐标为____________;
（2） 如图,在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象.
20．（6分）如图,点O,B的坐标分别为(0,0),(3,0),将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90∘ 得到△OA'B'.
（1） 在平面直角坐标系中画出△OA'B';
（2） 点A'的坐标为____________;
（3） 求在旋转过程中,点B所经过的路径BB'⌢的长度.
21．（8分）如图,已知在⊙O中,AB⌢=BC⌢=CD⌢,OC与AD相交于点E，连接BE,CB,CD.求证:
（1） AD//BC;
（2） 四边形BCDE为菱形.
22．（8分）已知二次函数y=−x2+bx+c.
（1） 当b=4，c=3时，
① 求该函数图象的顶点坐标；
② 当−1≤x≤3时，求y的取值范围.
（2） 当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式.
23．（9分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱,全部售完后,甲种商品共盈利900元,乙种商品共盈利400元,甲种商品比乙种商品每箱多盈利5元.
（1） 求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2） 甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原来每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱.若调整价格,甲种商品每箱降价1元,则平均每天可多卖出20箱.那么当甲种商品每箱降价多少元时,该商场销售利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(−1,0)，且抛物线经过点(−3,8).
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 已知点C在y轴上，在抛物线上是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC，弦DF⊥AB于点G.
（1） 求证：E是BD⌢的中点；
（2） 求证：CD是⊙O的切线；
（3） 若sin∠BCO=35，⊙O的半径为5，求OG的长.
26．（10分）综合与实践
【问题提出】
（1） 如图①，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已跟随冲到点B，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进.请结合你所学知识，求证：∠MBN>∠MAN.
【数学理解】
德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图②，已知点A，B是∠MON的边OM上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与ON边相切于点C时，∠ACB最大，人们称这一命题为“米勒定理”.
【问题解决】
如图③，已知点A，B的坐标分别是(0,1)，(0,3)，C是x轴正半轴上的一动点，当△ABC的外接圆⊙D与x轴相切于点C时，∠ACB最大，当∠ACB最大时，求点C的坐标.
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．y=3(x−1)2+4
12．2
13．150
14．120∘
15．534−π2
16．12
17．8π
18．254
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1） (−2,−1)； (−1,0)； (−3,0)； (0,3)
（2） 解:画出二次函数的图象如答图.
第19题答图
20．（1） 解:画出△OA'B'如答图.
第20题答图
（2） (−2,4)
（3） BB'⌢的长为90×π×3180=32π .
21．（1） 证明:如答图,连接BD.
第21题答图
∵AB⌢=CD⌢,∴∠ADB=∠CBD,
∴AD//BC.
（2） 如答图,设OC与BD相交于点F.
∵AD//BC,∴∠EDF=∠CBF.
∵BC⌢=CD⌢,∴BC=CD,
∴BF=DF.
又∵∠DFE=∠BFC,
∴△DEF≌△BCF(ASA),
∴DE=BC,
∴ 四边形BCDE为平行四边形.
又∵BC=CD,∴ 四边形BCDE为菱形.
22．（1） ① 解:∵b=4，c=3，
∴y=−x2+4x+3=−(x−2)2+7，
∴ 该函数图象的顶点坐标为(2,7).
② ∵−1≤x≤3，
∴ 当−1≤x≤2时，y随x的增大而增大;当23−2，
∴ 当x=−1时，y有最小值−2，
∴ 当−1≤x≤3时，−2≤y≤7.
（2） ∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，
∴ 抛物线的对称轴直线x=b2在y轴的右侧，
∴b>0.
∵ 抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2.
又∵4×(−1)×c−b24×(−1)=3，
∴b=±2.
∵b>0，∴b=2.
∴ 二次函数的表达式为y=−x2+2x+2.
23．（1） 解:设甲种商品每箱盈利x元,则乙种商品每箱盈利(x−5)元.
由题意,得900x+400x−5=100,
解得x=15或x=3（舍去）.
经检验,x=15是原分式方程的解,且符合实际,
∴x−5=15−5=10（元）.
答:甲种商品每箱盈利15元,乙种商品每箱盈利10元.
（2） 设甲种商品每箱降价a元,利润为w元，则每天可多卖出20a箱.
由题意,得w=(15−a)(100+20a)=−20a2+200a+1500=−20(a−5)2+2000.
∵−20∠MAN，
∴∠MBN>∠MAN.
（2） 解：如答图，连接DC，过点D作DE⊥AB交y轴于点E，连接BD，
第26题答图
∴AE=BE=12AB，∠DEO=90∘ ，
∵⊙D与x轴相切于点C，∴DC⊥x轴，
∴∠DEO=∠DCO=∠COE=90∘ ，
∴ 四边形COED是矩形，
∴CD=OE，DE=OC.
∵A(0,1)，B(0,3)，∴AB=2，
∴AE=BE=1，∴BD=CD=OE=2，
∴OC=DE=BD2−BE2=22−12=3，
∴ 点C的坐标为(3,0).