2024九年级数学下学期期中学情评估新版试卷（山西专版北师大版）

这是一份2024九年级数学下学期期中学情评估新版试卷（山西专版北师大版），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是( )
A．sin A＝eq \f(BC,AB) B．sin A＝eq \f(AB,AC) C．sin A＝eq \f(AB,BC) D．sin A＝eq \f(BC,AC)

(第1题) (第5题) (第7题)
2．直角三角形的一条直角边长为8 cm，它所对的角为30°，则斜边长为( )
A．2 cm B．4 cm C．2 eq \r(3) cm D．16 cm
3．已知α为锐角，sin (α－20°)＝eq \f(\r(3),2)，则α的值为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．下列关于二次函数y＝－2x2－3x－1的说法正确的是( )
A．它的图象开口向上
B．它的图象的对称轴是直线x＝eq \f(3,2)
C．当x＝0时，函数值是－1
D．它的图象与x轴没有交点
5．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
6．反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象位于第二、四象限内，则二次函数y＝kx2－2x的图象可能是( )
7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，设∠ACE＝α，则tan α的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C．2 D.eq \f(3,4)
8．在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则m、n的大小关系为( )
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法比较
9．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3 m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y＝ax2＋x＋c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为( )
A．1 m B.eq \f(3,2) m C.eq \f(13,8) m D．2 m

(第9题) (第10题) (第15题)
10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，经过点(2，0)．有下列结论：①abc>0；②当x1>x2>eq \f(1,2)时，y1>y2；③2a＋c＝0；④不等式ax2＋bx＋c>0的解集是－1A．①③④ B．②③⑤
C．③④⑤ D．②④⑤
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝eq \f(2,5)，则BC＝________．
12．将二次函数y＝(x＋1)2－1的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________________．
13．一人乘雪橇沿坡度为1∶eq \r(3)的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4 s，则此人下降的高度为________m.
14．已知点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝eq \f(1,2)，CO＝BO，AB＝3，则这条抛物线的表达式是__________________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(10分)(1)cs 60°＋eq \f(,2) sin 45°＋tan 30°；
(2)2sin 30°－3tan 45°·sin2 45°＋4cs 60°.
17．(6分)如图，在△ABC中，sin B＝eq \f(1,3)，tan C＝eq \f(,2)，AB＝3，求AC的长．

18．(7分)如图，抛物线y1＝x2＋bx－c经过直线y2＝x－3与坐标轴的两个交点A，B.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当y1＜y2时，求x的取值范围．
19．(8分)有一个抛物线型拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m．现将它放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)求这个拱形桥洞所在抛物线的表达式．
(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船，能否顺利通过此桥洞？
20．(9分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠DAF；
(2)若AE＝4，AF＝6，tan∠BAE＝eq \f(3,4)，求CF的长．
21．(10分)为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向(如图)．测量方案与数据如下表：
(1)哪个小组的数据无法计算出河宽？
(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，sin 35°≈0.57，tan 70°≈2.75，tan 35°≈0.70)
(3)计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议．
22．(12分)阅读与思考：
阿尔·花拉子米，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解，具体做法如下：
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，如图所示，面积就是x2＋2·x·1＋12，即x2＋2x＋1.而由原方程x2＋2x－35＝0变形得x2＋2x＋1＝35＋1，即边长为x＋1的正方形的面积为36.所以(x＋1)2＝36，则x＝5.
(1)上述求解过程中所用的解题方法是________；
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
(2)所用的数学思想是________；
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数思想
(3)山西某特产专卖店销售某品牌的枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现：每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋．若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，每袋的售价为x元，求y与x的函数表达式，再利用(1)中方法求出当x是多少时，利润y有最大值，最大利润是多少？
23.(13分)综合与探究：
如图，抛物线y＝ax2＋eq \f(3,2)x＋c与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点E的坐标．
答案
一、1.D 2.D 3.D 4.C 5.A
6．A 7.D 8.A 9.D 10.C
二、11.4 12.y＝x2＋1
13．36 14.y1＝y2＞y3
15．y＝x2－x－2 点拨：∵tan ∠ACO＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(OA,OC)＝eq \f(1,2)，
∴OC＝2OA.
∵CO＝BO，
∴BO＝2AO.
又∵AB＝AO＋BO，AB＝3，
∴AO＝1，BO＝2，CO＝2，
∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(2，0)，(0，－2)．
把(－1，0)，(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－b＋c＝0，,c＝－2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－1，,c＝－2，))
∴抛物线的表达式是y＝x2－x－2.
三、16.解：(1)原式＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋1
＝2.
(2)原式＝2×eq \f(1,2)－3×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋4×eq \f(1,2)
＝1－eq \f(3,2)＋2
＝eq \f(3,2).
17．解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，AB＝3，
∴AD＝1.
在Rt△ACD中，∵tan C＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(\r(2),2)，AD＝1，
∴CD＝eq \r(2)，
∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3).
18．解：(1)对于y2＝x－3，当y2＝0时，x＝3，
当x＝0时，y2＝－3，
∴A(3，0)，B(0，－3)．
将A(3，0)，B(0，－3)的坐标代入y＝x2＋bx－c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9＋3b－c＝0，,－c＝－3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝3，))
∴该抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)当y119．解：(1)由题图可知，抛物线的顶点坐标为(6，4)，且过点(12，0)，
设抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
则0＝a(12－6)2＋4，
解得a＝－eq \f(1,9).
即这个拱形桥洞所在抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,9)(x－6)2＋4.
(2)当x＝eq \f(1,2)×(12－4)＝4时，y＝－eq \f(1,9)×(4－6)2＋4＝eq \f(32,9)＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
20．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠B＋∠BAE＝90°，∠DAF＋∠D＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF.
(2)解：∵AE⊥BC，
∴tan∠BAE＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(3,4).
∵AE＝4，∴BE＝3，
∴AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝5.
∵∠BAE＝∠DAF，
∴tan∠DAF＝eq \f(3,4)，
在Rt△ADF中，DF＝AF·tan∠DAF＝6×eq \f(3,4)＝eq \f(9,2)，
∴CF＝CD－DF＝eq \f(1,2).
21．解：(1)第二小组的数据无法计算出河宽．
(2)(任选其一即可)选择第一小组的方案及其数据的解法：
∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，
∴BC＝BH＝60 m，
∴AH＝BH·sin 70°≈60×0.94＝56.4(m)．
选择第三小组的方案及其数据的解法：设AH＝x m，
易知CA＝eq \f(AH,tan 35°)，AB＝eq \f(AH,tan 70°).
∵CA＋AB＝CB，BC＝101 m，
∴eq \f(x,tan 35°)＋eq \f(x,tan 70°)＝101，
解得x≈56.4.
答：河宽约为56.4 m.
(3)可以通过多次测量取平均值的方法．(合理即可)
22．解：(1)C
(2)B
(3)根据题意得，
y＝(x－20)[200－10(x－30)]
＝－10x2＋700x－10 000
＝－10(x－35)2＋2 250，
∴当x＝35时，y有最大值，最大值为2 250，即最大利润为2 250元．
23．解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋6＋c＝0，,c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,c＝2，))
∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2.
(2)存在．由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，m)).
∵C(0，2)，
∴CD2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋22＝eq \f(25,4).
当CP＝CD时，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(m－2)2＝eq \f(25,4)，
解得m＝0(舍去)或m＝4，
即点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))，
当DP＝DC时，则m2＝eq \f(25,4)，
解得m＝±eq \f(5,2)，
综上所述，满足条件的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(5,2))).
(3)点E的坐标为(1，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5＋\r(41),2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5－\r(41),2)，0))或(7，0)．
点拨：设点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h，－\f(1,2)h2＋\f(3,2)h＋2))，
当BC是对角线时，易得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝x＋h，,2＝－\f(1,2)h2＋\f(3,2)h＋2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,h＝3，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,h＝0，))(舍去)
即点E的坐标为(1，0)；
当BE是对角线时，易得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4＝h，,－\f(1,2)h2＋\f(3,2)h＋2＋2＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(－5±\r(41),2)，,h＝\f(3±\r(41),2)，))
即点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5＋\r(41),2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5－\r(41),2)，0))；
当BF是对角线时，易得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h＋4＝x，,－\f(1,2)h2＋\f(3,2)h＋2＝2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h＝3，,x＝7，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h＝0，,x＝4，))(舍去)
即点M的坐标为(7，0)．
综上，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5＋\r(41),2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5－\r(41),2)，0))或(7，0)或(1，0)．
x
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
y
－14
－7
－2
2
m
n
－7
－14
－23
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
示意图
说明
点B，C在点A的
正东方向
点B，D在点A的
正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量
数据
BC＝60 m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°
BD＝20 m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°
BC＝101 m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°