高考数学一轮复习：3导数及其应用-重难点突破4练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．（2023春•孝感期中）已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：由，得，
令，则，
当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
令，画出，的图象如图：
根据条件，由图象，可得，解得，．
故选：．
2．（2023春•石家庄期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：已知函数，则有且只有一个负整数解．
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
当时，取得最小值为，
设，则恒过点，
在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示：
显然，依题意得且，即且，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
3．（2023春•安徽期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点，在直线上方，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
【解答】解：点，在直线上方，即，
因为，
所以有且仅有一个正整数解．
，
则，，单调递增；
，，单调递减，
所以．
又，；，；，，故可得图象如下图，
直线过定点，
当，有无数个正整数解，不合题意，故，
又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即．
故选：．
4．（2022秋•萍乡期末）已知函数，，若关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数的取值范围为
A．，B．C．，D．
【解答】解：显然，
由，得，得，
得，
令，，则，
所以函数区间内为增函数，
所以可化为，即，即，
所以关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，
结合图形可知，满足题意的整数解只能是1和2，
所以（2）（3），即．
故选：．
5．（2023•长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：函数，不等式化为：．
分别令，．
．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
，（2）．如图所示．
不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为1，2，
，即．
解得：．
数的取值范围是，．
故选：．
6．（2023•浑南区一模）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：法：由，得，
令，则，
设，即，可得，
在单调递增，在，单调递减，
当的解中仅有2个整数为1，2，
则需满足，可得；
法：由，得，
设，，，
令，得，即在单调递增，在，单调递减，
当时，可以有无数个整数解，不满足题意；
当时，如图所示：
需满足，得，
故选：．
二．多选题（共6小题）
7．（2023春•浙江期中）对于函数，则下列说法正确的是
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．若关于的不等式有唯一的负整数解，则实数的取值范围是
D．若过点与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是
【解答】解：对于、，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，没有极大值，故错误，正确；
对于：由上可知，
时，；时，，
当时，不等式，有无数个负整数解，
当时，恒过点，
此时与交点的横坐标为正数，不妨设为
所以当时，，
所以有无数个负整数解，
当时，若不等式有唯一的负整数解，
则，解得，
综上所述，的取值范围为，，故正确；
对于：设切点的坐标为，，
所以，且，
又切线过点，
所以，
所以，
所以，
因为过点与曲线相切的直线有3条，
所以方程有三个解，
令，
，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，（1），
所以时，；时，，
所以，故正确，
故选：．
8．（2023•黄州区校级三模）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为
A．B．C．D．
【解答】解：因为定义域为，由，
可得，
即不等式有且只有三个整数解，
令，则，所以当时，
当时，则在上单调递增，在上单调递减，
又（1），
所以当时，当时，
易知函数的图象恒过点，
在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：
由题意及图象可知，要使不等式有且只有三个整数解，
则，即，解得，
故符合题意的有、．
故选：．
9．（2023•泰安二模）已知函数，，．
A．若曲线在点，处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
【解答】解：选项，，
则（1），，则，，故错误；
选项，当时，，
，
因为，则，
或在 上单调递增，
则在上单调递增，故正确；
选项，当时，令，
注意到当 时，，则，
则函数有三个零点，相当于直线与函数的图象有三个交点．
令，其中，
或，则在，上单调递增，
或或或，
则在，，，，，上单调递减，
又，，，，
则可得大致图象如下，
则由图可得，当时，直线与函数 图象有三个交点，
即此时函数有三个零点，故正确；
选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使得的图象在下方，
则，，
得在 上单调递减，在 上单调递增，
又，，，，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象，
又设过点切线方程的切点为，，
则切线方程为：，因其过，
则，解得或，
又注意到（1）（1），结合两函数图象，可知 或2．
当时，如图1，需满足，解得，
当时，如图2，需满足，解得，
综上所述，，，，故正确．
故选：．
10．（2023春•鼓楼区校级期中）已知函数，下面选项正确的有
A．的最小值为
B．时，
C．
D．若不等式有且只有2个正整数解，则
【解答】解：，，
令，解得且，
令，解得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
（2），
如图，
所以函数没有最小值，故错误；
：当时，，
即，
即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以，即，故正确；
：设，则，
又，
所以当时，，即．
令，则，得，
所以，故错误；
：作出函数图象和直线，如图，
由不等式有两个正整数解知，（3）（1），
即，故正确．
故选：．
11．（2022秋•揭阳期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数的可能取值为
A．B．C．D．
【解答】解：令，可得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
如图，
分别作出函数与的图象，
其中直线恒过定点；
由可知，，，
需满足：，
故实数的取值范围是，
其中，，
故选：．
12．（2023春•玉林期中）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值可能是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
若有且只有一个整数，使得，则存在唯一的整数，使得在直线的上方，
因为，（1）（1），另外恒过定点且斜率为，
所以，即，
所以实数的取值范围为，，对比选项，可知正确．
故选：．
三．填空题（共10小题）
13．（2023•洪山区校级模拟）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：若，则，
所以，
所以，
令，
则，
令，
则在上单调递增，且，（1），
所以存在，当，则，，单调递减，
当，时，，，单调递增，
因为（1），
所以只需且且（2），
所以，
解得，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
14．（2023春•建华区校级月考）已知不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：原不等式等价于，
设，，令，得
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，取极大值，又，且时，，
因此的图像如下，
直线恒过点．
当显然不满足条件；
当时，只需要满足，即，解得．
则实数的取值范围为．
故答案为：．
15．（2023•云南模拟）设函数，，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 ．
【解答】解：由函数，，
设和，
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中，
所以且，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
16．（2023•南关区校级模拟）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：由函数，则不等式，即，
因为，则可化为，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，
又由，（1），
所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减；
当，时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，
所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
17．（2023•河南模拟）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，
所以不等式有且仅有1个整数解．
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
又（1），则当时，；当时，．
设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，
要使不等式有且仅有1个整数解，
则，解得，实数的取值范围为．
故答案为：．
18．（2023春•浦东新区校级期末）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：设，，则，
，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
时函数取极大值即最大值，
又，（1），（3），
直线恒过定点且斜率为，
要使有且仅有两个整数满足，
即有且仅有两个整数满足，
（1）（1）且，
解得，即．
故答案为：．
19．（2023春•工业园区校级月考）已知函数恰有三个正整数，2，，使得，，2，3，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：的定义域为，
由可得
（1）显然时，不等式在上无解，不符合题意；
（2）当时，不等式为，
令，，则当时，，
故不等式没有正整数解，不符合题意；
（3）当时，不等式为为增函数，
，令，则，
当时，，故在上单调递减，
而，
存在使得，
当，时，，当时，，
即当，时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，
又（1），且时，，
故不等式的三个正整数解为1，2，3，
，即，解得：．
故答案为：．
20．（2023春•永春县校级期末）已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：已知，即，
令，，，
则，易知在上单调递增，
又（1），（2），所以存在实数，使得，
且当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又（1）（2），是过定点的直线，
所以画出函数和的大致图象如图所示，
令，，，
由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，，
而，所以，
因为，所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
21．（2023•河南模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由，，
化为，
分别令，，
则（2）（2），
，
可得函数在上单调递增，在，上单调递减．
由存在唯一的整数，使得，
，即，
解得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
22．（2023•重庆模拟）已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：若时，在上单调递增，不合题意，则，
由题意可得：，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得有唯一极值点，
若函数在区间内存在极值点，则，解得，
又因为在上恰好有唯一整数解，且，则有：
①当，即时，则当时，则在，上单调递增，可得，
所以在上恰好有唯一整数解为，
则，解得；
②当，即时，则在，上单调递增，在上单调递减，可得，不合题意；
③当，即时，则当时，则在，上单调递减，可得，
所以在上恰好有唯一整数解为1，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为：．