重庆市铜梁中学、江津中学等七校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
2. 已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ）
A B. C. D.
4. 在平行六面体中，，，， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线斜率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9. 已知是椭圆的左、右焦点，是左、右顶点，为上异于的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率B. 的最小值为
C. 的周长为D. 的面积的最大值为
10. 已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）
A. 方程为
B. 面积最大值为
C. 最大时，
D. 设，则的最小值为
11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点，使得
B. 存点，使得
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线：，则直线恒过定点_______.
13. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为____________.
14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知、、、四点.
（1）求经过、、三点的圆的方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程.
16. 如图，已知平面，底面为正方形，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程.
18. 如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段
上的动点（包含端点）.
+
（1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
（2）是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由.
19. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①证明：直线过定点；
②设的面积为，求的最大值.