重庆市鲁能巴蜀中学、育才中学2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题（Word版附解析）

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数学
(本试卷共 150 分， 考试时间 120 分钟.)
注意事项:
1. 答卷前， 请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号:
2. 选择题必须使用 铅笔填涂；非选择题必须使用 黑色签字笔答题；
3. 请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角大小为（ ）
A B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5. 在四面体 中，棱 长度相等且两两互相垂直，棱 中点为 ，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为双曲线两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（ ）
A. 8B. 6C. D.
7. 在平面直角坐标系 中，点 ，动点满足 ，则 面积的最大值为（ ）
A. B. 6C. D.
8. 若椭圆上存在四个点到的距离相等，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 和直线 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线 过定点B. 直线 的一个方向向量是
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 在直三棱柱 中， . 点 为线段 AB 中点，点 为棱 上的动点. 则下列选项正确的是（ ）
A. 平面
B. 四棱锥的体积为
C. 的最小值为
D. 直线 AB 与平面 所成角的正弦值为
11. 直线 与 轴的交点 为抛物线 的焦点，若点 为坐标原点， 与 交于 两点. 则（ ）
A.
B.
C. 重心横坐标的最小值为 43
D. 以线段 AB 为直径圆被 轴截得的弦长为定值
第II卷
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为_____
①中心在原点，焦点在 轴上; ②两条渐近线互相垂直; ③焦距大于 2 .
13. 已知四点共面，则 _____.
14. 已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时，_____；当时，的最小值为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.
15. 已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且.
（1）求焦点的坐标；
（2）若过点的直线与只有一个交点，求的方程.
16. 已知点在圆 上，点关于直线的对称点在圆内.
（1）求圆的圆心坐标和半径；
（2）求实数取值范围.
17. 如图，在四棱锥 中， 为正三角形， .
（1）求证:
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹满足： ，为过点的两条互相垂直的直线， 与交于两点(点在第一象限)，与交于两点(点在第一象限). 记点 分别为线段的中点，点为直线与BD的交点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设 .
(i) 求实数的取值范围；
(ii) 从下列三个问题中选择一个问题作答 (作答时答题卡上注明所选问题番号，若选择多个问题作答，则以第一个作答计分).
① 求 ；
②记直线 与直线 的斜率分别为 ，求 ；
③记与四边形的面积分别为，求 .
19. 已知曲线.
（1）点在曲线上，求点的横坐标的取值范围；
（2）为坐标原点，直线与曲线交于两点.
(i)若，求面积的最大值；
(ii)若，求证:与圆心为的定圆相切.