沪科版（2024）七年级下册8.4 因式分解达标测试

这是一份沪科版（2024）七年级下册8.4 因式分解达标测试，文件包含沪科版数学七下同步讲义专题84因式分解原卷版doc、沪科版数学七下同步讲义专题84因式分解解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

【知识点1 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 因式分解的定义】
【例1】（2021秋•岱岳区校级月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．18a3bc＝3a2b⋅6ac
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解答】解：A．右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D．左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2021•唐山一模）下列各式：①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），②（a+b）2＝a2+2ab+b2，③a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．2B．①②C．①③D．②③
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：①是因式分解；
②是整式的乘法；
③是因式分解；
故选：C．
【变式1-2】（2021•黄山区二模）下列因式分解正确的是（ ）
A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b）B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣y）2D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2
【分析】将各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A.2ab2﹣4ab＝2ab（b﹣2），分解不完整，故错误；
B．a2+b2不能分解因式，而（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故错误；
C．x2+2xy﹣4y2不能分解因式，而（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故错误；
D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2，故正确．
故选：D．
【变式1-3】（2021春•青川县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）
B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5）
C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2
【分析】利用平方差、完全平方公式先判断A、C、D，再利用提公因式与完全平方公式判断B．
【解答】解：∵x2y2﹣z2＝（xy+z）（xy﹣z）≠x2（y+z）（y﹣z），故选项A不符合题意；
﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x﹣5）＝﹣y（y+5）（x﹣4），分解不彻底，故选项B不符合题意；
（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1），故选项C符合题意；
9﹣12a+4a2＝（3﹣2a）2≠﹣（3﹣2a）2，故选项D不符合题意．
故选：C．
【题型2 分解因式】
【例2】（2021春•鄄城县期末）因式分解：
（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）用提取公因式法分解因式；
（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）
＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]
＝2x（a﹣b），
（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【变式2-1】（2021•汉寿县模拟）分解因式：x2y2﹣16x2＝（ ）
A．x2（y2﹣16）B．x2（y+4）（y﹣4）
C．y2（x2﹣4）D．y2（x+4）（x﹣4）
【分析】原式提取公因式x2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（y2﹣16）
＝x2（y+4）（y﹣4）．
故选：B．
【变式2-2】（2021春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝ （a﹣b）（a+b﹣ab） ．
【分析】先分组，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；
【解答】解：a2﹣b2+ab2﹣a2b
＝（a2﹣b2）+（ab2﹣a2b）
＝（a+b）（a﹣b）﹣ab（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b﹣ab）．
故答案为（a﹣b）（a+b﹣ab）．
【变式2-3】（2020秋•红山区期末）分解因式：
①8m2n+2mn；
②2a2﹣4a+2；
③3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
④x4﹣2x2+1．
【分析】①利用提取公因式法进行因式分解；
②先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
③先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
④先根据完全平方公式，再根据平方差公式进行因式分解．
【解答】解：①原式＝2mn（4m+1）；
②原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2；
③原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]
＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；
④原式＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【题型3 因式分解的应用（求代数式的值）】
【例3】（2021春•高新区期末）若a＝b+1，则代数式a2﹣2ab+b2+2的值为 3 ．
【分析】把a＝b+1变形得a﹣b＝1，然后两边平方得到（a﹣b）2＝1，利用完全平方公式得a2﹣2ab+b2＝1，再整体代入所求的代数式中即可得到答案．
【解答】解：∵a＝b+1，
∴a﹣b＝1．
∵a2﹣2ab+b2+2，
＝（a﹣b）2+2
＝3，
∴代数式a2﹣2ab+b2+2的值为3．
故答案为3．
【变式3-1】（2021•苍溪县模拟）若2a﹣3b＝﹣3，则代数式4a2﹣6ab+9b的值为（ ）
A．﹣1B．9C．7D．5
【分析】由已知字母a、b的系数为2、﹣3，代数式中前二项的系数4、﹣6，提取此二项的公因式2a后，代入求值变形得﹣6a+9b，再提出﹣3，整体代入即可．
【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣3，
∴4a2﹣6ab+9b
＝2a（2a﹣3b）+9b
＝2a×（﹣3）+9b
＝﹣6a+9b
＝﹣3（2a﹣3b）
＝﹣3×（﹣3）
＝9，
故选：B．
【变式3-2】（2021•内江）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝ 2020 ．
【分析】由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，再整体代入计算可求解．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，
x3﹣2x2+2021
＝x（x+1）﹣2x2+2021
＝x2+x﹣2x2+2021
＝x﹣x2+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案为2020．
【变式3-3】（2021春•诸暨市期末）已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，则x2+2xy+y2的值为 4 ．
【分析】联立方程，通过因式分解求出x+y的值，再将x2+2xy+y2因式分解得（x+y）2，将x+y的值代入求解．
【解答】解：，
①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，
（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，
（x﹣y）（x+y+2）＝0，
∵x≠y，
∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．
故答案为：4．
【题型4 因式分解的应用（求系数的值）】
【例4】（2021春•南山区校级期中）若多项式x2+mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝ ﹣4 ．
【分析】先用多项式乘多项式法则先计算（x+3）（x﹣7），再根据乘法与因式分解的关系求出m．
【解答】解：∵（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x﹣21，
又∵x2+mx﹣21＝（x+3）（x﹣7），
∴x2﹣4x﹣21＝x2+mx﹣21．
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【变式4-1】（2021•碑林区校级开学）若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（ ）
A．8B．﹣6C．﹣8D．﹣10
【分析】根据题意可得4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），再根据多项式乘多项式的运算法则求解即可．
【解答】解：∵2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，
设4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（kx+b），
∴2kx2+（2b﹣5k）x﹣5b＝4x2+mx﹣5，
∴2k＝4，5b＝5，
解得k＝2，b＝1，
∴4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），
∵（2x﹣5）（2x+1）＝4x2﹣8x﹣5，
∴m＝﹣8．
故选：C．
【变式4-2】（2021春•聊城期末）已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则p+q＝ 7 ．
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），
∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，
故p＝﹣8，q＝15，
则p+q＝﹣8+15＝7．
故答案为：7．
【变式4-3】（2021•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
【分析】（1）由A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，得A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）+4，那么（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4．，从而求得a．
（2）由A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）+6，得x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3），进而解决此题．
【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，
∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4．
∵A+B＝（x+2）2，
∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4．
∴3+a＝4．
∴a＝1．
（2）由（1）得：A＝x2+3x+5．
∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6．
∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6．
∴3﹣a＝﹣5．
∴a＝8．
∴A+B＝x2+11x+4．
【题型5 因式分解的应用（判定三角形的形状）】
【例5】（2020秋•中山市期末）已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是 等腰 三角形．
【分析】先把等式左边进行因式分解可化为a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），移项提取公因式可得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，根据三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，可得a﹣b＝0，即可得出答案．
【解答】解：由a2﹣b2＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c，
∴a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
即△ABC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【变式5-1】（2020秋•嘉鱼县期末）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】根据完全平方公式即可求解．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
即a＝b＝c，△ABC是等边三角形．
故选：D．
【变式5-2】（2020秋•卫辉市期末）若△ABC的三边长是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则这个三角形形状是 等边 三角形．
【分析】利用完全平方公式，将等式转化为（a﹣b）2（b﹣c）2（c﹣a）2＝0，利用偶次方的非负性即可解答．
【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴（a﹣b）2（b﹣c）2（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
【变式5-3】（2021春•滕州市期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y；
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）x2﹣2xy+y2﹣2x+2y，利用完全平方公式因式分解，先将x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，得到（x﹣y）2﹣2（x﹣y），再利用提取公因式即可得到（x﹣y）﹣（x﹣y﹣2），
（2）已知a2﹣b2﹣ac+bc＝0先为两组，a2﹣b2和ac﹣bc，分别提公因式a+b与c，得 （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0再提公因式得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0因此a＝b或a+b﹣c＝0，三角形任意两边之和大于第三边，即a+b﹣c≠0，根据等腰三角形的判定得△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣2x+2y
＝（x2﹣2xy+y2）﹣2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y﹣2），
（2）a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
a﹣b＝0或a+b﹣c＝0，
∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴a+b﹣c≠0，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型6 因式分解的应用（整体思想）】
【例6】（2021春•福田区校级期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣2a＝A，
原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）
＝A2+2A+1（第二步）
＝（A+1）2（第三步）
＝（a2﹣2a+1）2（第四步）
＝（a﹣1）4
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C （填代号）．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49．
【分析】（1）利用完全平方公式的意义，即可求解；
（2）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）∵A2+2A+1＝（A+1）2，
∴第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，
故答案为：C；
（2）设x2﹣4x＝A，
（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49
＝（A﹣3）（A+11）+49
＝A2+8A+16
＝（A+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4．
【变式6-1】（2021春•江都区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （x﹣y+1）2 ；
（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；
（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）把（x﹣2）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（3）令A＝x2﹣6x，因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2，
令x﹣y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x﹣y＝m代入，得原式＝（x﹣y+1）2，
故答案为：（x﹣y+1）2；
（2）9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1，
令x﹣2＝n，
则原式＝9n2﹣6n+1＝（3n﹣1）2．
再将x﹣2＝n代入，得原式＝（3x﹣6﹣1）2＝（3x﹣7）2；
（3）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4．
【变式6-2】（2021春•金台区期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），如：（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2+2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16；
②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）将x2+2x﹣24写成x2+（6﹣4）x+6×（﹣4），根据材料1的方法可得（x+6）（x﹣4）即可；
（2）①令x﹣y＝A，原式可变为A2﹣8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B＝m（m﹣2）＝m2﹣2m，原式可变为B（B﹣2）﹣3，即B2﹣2B﹣3，利用十字相乘法可分解为（B﹣3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣24＝x2+（6﹣4）x+6×（﹣4）＝（x+6）（x﹣4）；
（2）①令x﹣y＝A，则原式可变为A2﹣8A+16，
A2﹣8A+16＝（A﹣4）2＝（x﹣y﹣4）2，
所以（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16＝（x﹣y﹣4）2；
②设B＝m2﹣2m，则原式可变为B（B﹣2）﹣3，
即B2﹣2B﹣3＝（B﹣3）（B+1）
＝（m2﹣2m﹣3）（m2﹣2m+1）
＝（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2，
所以m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3＝（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制
【变式6-3】（2021春•南山区校级期中）先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ （x+y﹣1）2 ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将（x+y）看作一个整体进行因式分解；
（2）将（m+n）看作一个整体进行因式分解；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看作整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【解答】解：（1）令x+y＝M，
则（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案为：（x+y﹣1）2；
（2）令A＝m+n，
则（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
则原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整数，
∴n2+3n+1也为正整数．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．