人教版数学九上同步讲练第22章第05讲 二次函数压轴专题训练（2份，原卷版+解析版）

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第05讲 二次函数压轴专题知识点01 二次函数的图像与系数的关系与开口方向的关系。对称轴与的关系；对称轴在轴左边或右边与的符号的关系；对称轴与±1的关系可得以及的关系。函数与轴交点坐标与的关系。函数与轴的交点个数与的关系。是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。【即学即练1】1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【即学即练2】2．如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（　　）A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤【即学即练3】3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练4】4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（　　）①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③；④8a+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点02 二次函数的最值问题求线段最值问题：求图形的面积最值问题： 将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。【即学即练1】5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝3x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（　　） 第5题 第6题A．2 B．4 C． D．【即学即练2】6．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy＝，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值为（　　）A． B． C． D．【即学即练3】7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．【即学即练4】8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．【即学即练5】9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．（1）求证：AB⊥BC；（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，点P，Q分别是线段AD，BC上的点，BQ＝2AP，过点P作PR∥AB交BD于R，记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度．如果在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°，那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，写出表示变量y与x关系的关系式．（3）当x＝　 　时，y取得最大值 　 　．【即学即练6】10．如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），点P为直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式：（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标．知识点03 二次函数的存在性问题存在等腰三角形：设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式表示出三角形的三边，分别选取其中两边为腰，利用腰相等建立方程求解。存在直角三角形：设出所求点的坐标，利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边的平方，在利用各自为斜边的平方等于两直角边的平方的和建立方程求解。存在平行四边形： 设出所求点的坐标，结合已知点讨论各自为对角线时的情况。利用中点坐标公式，平行四边形对角线的性质——相互平分建立方程求解。即两条对角线两边端点求得的中点坐标相等。【即学即练1】11．​如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在线段EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使四边形CEMN是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值．【即学即练2】12．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4．（1）请分别求出k，m，a，b的值；（2）如图2，点Q是线段BC上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．​【即学即练3】13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）点N在第四象限的抛物线上，且△NAB是以AB为底的等腰三角形，求N点的坐标；（3）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，当点P在何处时，点P到直线AB的距离最大，并求出最大距离．【即学即练4】14．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为直线AB上的动点，当点P绕原点O旋转180°的对应点Q在抛物线上时，求点P的坐标；（3）M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以点O，A，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【即学即练5】15．如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转90°，得到矩形ODEF．抛物线y＝ax2+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y＝x﹣上，直线L：y＝kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上第一象限任意一点，过点P作x轴的垂线交直线L于点M．（1）求abc的值；（2）设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由．题型01 二次函数的图像与系数的关系【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；其中正确的结论是（　　）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【典例2】抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③点P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在抛物线上，且y1＞y2，则t＞﹣2021；④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④（其中）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（　　）个．A．2 B．3 C．4 D．5【典例4】如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（　　） 典例4 典例5A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【典例5】如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型02 二次函数的综合应用【典例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．【典例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线OD为，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【典例3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．【典例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C．且直线y＝mx+n过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）连接MB、MD，当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【典例5】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣32．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：下列各选项中，正确的是（　　）A．这个函数的图象开口向下 B．abc＞0 C．这个函数的最大值为10 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解3．已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y14．一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（　　）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2| C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0 D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD7．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4个结论中正确的是（　　）A．①② B．①④ C．②③ D．①③④8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＜．其中结论正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y1＜y2，写出一个符合条件的a的值 　 　．10．关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　 　．11．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　米．12．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中结论正确的是 　 　.（填序号）13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．课程标准学习目标①二次函数的图像与系数之间的关系②二次函数的最值问题③二次函数的存在性问题能通过二次函数的图像与系数的关系解决二次函数选择填空的压轴题目。能够利用二次函数的顶点式求实际问题中的最值问题。以及三角形四边形的面积最值问题。利用二次函数与几何的关系，解决二次函数中的存在性问题。x…01234…y…212510…