第22章 二次函数小结第1课时 知识结构与要点-2024-2025学年九年级数学上册教材配套同步课件（人教版）

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知识结构与要点第22章 小结与复习| 第1课时|知识结构实际问题二次函数数量列式数形结合图形建系解析式性质解决问题检验图象一、二次函数解析式一般式 y = ax² + bx + c (a≠0) 任意三点坐标 顶点式y = a(x-h)² +k (a≠0) 顶点、对称轴、最值等性质交点式y = a(x-x1)(x-x3) (a≠0) 抛物线与x轴交点配方法公式法因式分解解方程展开二、二次函数的图象与性质类比 特殊 y = kx(k≠0)一次函数 一般 y = kx+b(k≠0) 描点法二次函数y = ax² + bx + c y = ax² 平移实例y = ax² +k y = a(x-h)² +h 特殊y = a(x-h)² 上下平移左右平移左右平移上下平移配方法公式法1.二次函数 y = ax2 的图和性质开口向上，a 越大，开口越小 y 轴(直线 x＝0)原点(0，0)当 x = 0 时，y最小值 = 0当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大.开口向下，a 越大，开口越大y 轴(直线 x＝0)原点(0，0)当 x = 0 时，y最小值 = 0当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大.2.顶点式 y = a(x-h)² +h(a≠0) 的图和性质开口向上，a 越大，开口越小 x＝h原点(h，k)当 x = h 时，y最小值 =k当 x < h 时，y 随 x 增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 增大而增大.开口向下，a 越大，开口越大x＝h原点(0，k)当 x = h 时，y最小值 =k当 x < h 时，y 随 x 增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 增大而增大.y = a(x-h)2+k ( a ≠ 0 )(顶点式)转化y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )(一般式)顶点：(h, k)对称轴：x=h二次函数一般式与顶点式转化3.一般式 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图和性质 a> 0a< 0三、二次函数与一元二次方程的关系抛物线与 x 轴的交点一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根数形结合 y = ax2 + bx + cx1x2 y >0 y >0 y <0有两个公共点有两个不相等的实数根Δ ＞0有一个公共点有两个相等的实数根Δ = 0没有公共点没有实数根Δ ＜0四、二次函数解实际问题实际问题二次函数二次函数的图象和性质解决实际问题最值问题 y = a(x − h)2 + k 已知 y，求 x 令y，解一元二次方程 已知 x，求 y 把 x 代入解析式，求 y建系数形结合列式针对练习1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 (　　)A．−2 B．2 C．±2 D．0B2. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( )A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小C3.二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2B4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3B5 已知关于 x 的二次函数，当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式．解：∵ 当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2.∴ 顶点为 (1，2).设二次函数解析式为 y = a(x − 1)2 + 2，把 (−2，−16) 代入得 −16 = 9a + 2，解得 a = −2.∴ y = −2(x − 1)2 + 2.∴ 二次函数解析式为 y = −2x2 + 4x.6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2 − 1( m 为常数).求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.证明：(−2m)2 − 4(m2 − 1) = 4＞0，故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) C8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.(1) 求一次函数的解析式；(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.解得 k = -1，b = 120.(2) 解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87.∴当 x = 87 时，W 有最大值，此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.