2024年山东省临沂市联盟中考数学一模试卷

这是一份2024年山东省临沂市联盟中考数学一模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2022的相反数是
A．B．C．2022D．
2．（3分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，图中所示的几何体为一桶快餐面，其俯视图正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为
A．B．C．D．
9．（3分）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是
A．9B．12C．15D．18
10．（3分）抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根为，．正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数自变量的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解： ．
13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 分钟．
14．（3分）如图，在中，弦半径，，则的度数为 ．
15．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．（3分）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点在反比例函数的图象上，则经过点的函数图象表达式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）（1）计算：
（1）；
（2），其中，．
18．（8分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在和的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在和中各一名的概率．
19．（8分）知识再现
如图1，在中，，，，的对边分别为，，．
，，
，．
．
拓展探究
如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离．
20．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍．
（1）求每支钢笔和每支笔记本的价格；
（2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过200元．请问至少要买多少支钢笔？
21．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当，时，求的值．
22．（10分）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）直线在直线的上方，满足，求直线的解析式；
（3）若是线段上一点将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
23．（12分）和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．
（1）如图1，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，当点、不与点，重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
24．（12分）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省临沂市联盟中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）2022的相反数是
A．B．C．2022D．
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于，
故选：．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
【点评】考查了科学记数法表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法的形式时，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
3．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
4．（3分）如图，图中所示的几何体为一桶快餐面，其俯视图正确的是
A．B．C．D．
【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的上面看可得，
故选：．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
5．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用网络比网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是
A．B．
C．D．
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
【解答】解：选项和带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项能折叠成原几何体的形式；
中的图形不是这个几何体的表面展开图．
故选：．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
8．（3分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为
A．B．C．D．
【分析】作直径，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．
【解答】解：作直径，
，
点在轴上，
在中，，，
则，
，
由圆周角定理得，，
则，
故选：．
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（3分）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是
A．9B．12C．15D．18
【分析】作轴于．证明，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点坐标即可解决问题．
【解答】解：作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．（3分）抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根为，．正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据表格中，的值的变化，判断①；令，，即可判断②；再根据当和时，的值相等，求出对称轴判断③；最后根据表格知当或时，，判断④，即可得出答案．
【解答】解：由表格可知当逐渐增大时，的值先减小后增大，
抛物线开口向上，即，故①正确；
由表格知当时，，即，故②正确；
由表格知当和时，的值相等，
抛物线的对称轴为直线，故③正确；
由表格知当或时，，
方程的两个根满足，，故④正确．
可知正确的有4个．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数，，为常数，，当时，开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数自变量的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：
【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．
12．（3分）因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：，
，
．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 70 分钟．
【分析】根据众数的定义即可解决问题．
【解答】解：分钟出现了6次，它的次数最多，
众数是70分钟．
故答案为：70．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14．（3分）如图，在中，弦半径，，则的度数为 ．
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【解答】解：半径，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．
15．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 且 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且，
所以的取值范围是且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
16．（3分）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点在反比例函数的图象上，则经过点的函数图象表达式为 ．
【分析】作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
【解答】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）（1）计算：
（1）；
（2），其中，．
【分析】（1）依据题意，根据整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值进行计算可以得解；
（2）依据题意，根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入计算可以得解．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
又当，，
原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值、整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
18．（8分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空： 40 ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在和的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在和中各一名的概率．
【分析】（1）根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
（2）先求频数，再补全频数分布直方图；
（3）用组中值代表数据求解；
（4）利用树状图求概率．
【解答】解：（1）；
；
故答案为：40，0.25；
（2）频数分布直方图如图示：
（3），
所以这名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用，表示成绩在的学生，用，表示成绩在的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在和中各一名的概率为：．
【点评】本题考查了频数分布表和频数分布直方图及概率，掌握各组人数、总人数与各组的百分数间关系是解决本题的关键．
19．（8分）知识再现
如图1，在中，，，，的对边分别为，，．
，，
，．
．
拓展探究
如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离．
【分析】拓展研究：作于点，于点，根据正弦的定义得，，，，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知，，代入计算即可．
【解答】解：拓展探究
如图，作于点，于点，
在中，，
同理：，
，
，
，，，，
，，
；
解决问题
在中，，
，
，
，
点到点的距离为．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．
20．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍．
（1）求每支钢笔和每支笔记本的价格；
（2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过200元．请问至少要买多少支钢笔？
【分析】（1）设每支钢笔元，则每本笔记本元，根据数量总价单价结合小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设要买支钢笔，则要买本笔记本，根据总费用单价数量结合总费用不超过200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每支钢笔元，则每本笔记本元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，．
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
（2）设要买支钢笔，则要买本笔记本，
根据题意得：，
解得：．
答：至少要买25支钢笔．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当，时，求的值．
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，证出，再由已知得出，即可证出是的切线；
（2）连接、，由圆周角定理得出，即，，由等腰三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，证出，由平行线得出，证出，由等腰三角形的性质得出，即可得出的长；
（3）由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，由三角函数求出，得出，再由勾股定理求出，由平行线得出，得出对应边成比例求出，在中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，如图1所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接、，如图2所示：
是的直径，
，
即，，
，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
在中，，
．
【点评】此题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
22．（10分）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）直线在直线的上方，满足，求直线的解析式；
（3）若是线段上一点将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【分析】（1）将代入反比例函数解析式即可求出，再根据、两点坐标即可求出直线的解析式；
（2）根据，构造三角形全等，在上找到令一点的坐标即可求出直线的解析式；
（3）根据题意数形结合，利用三角形全等表示出和的坐标再代入反比例函数解析式中即可求出点坐标．
【解答】解：（1）将点代入函数中得：
，
设直线的解析式为，经过，两点，将其代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）在上截取，使得，则：
在和中，
，
，
，
在中，令，则，
设，
，，
，
解得：或（舍去），
点坐标为，
设直线的解析式为：，经过点，点，将其代入得：
，
解得：，
直线的解析式：，
解法二：直线的解析式为：；
，
，
，，
，
坐标为，
接下来同上．
（3）设绕点逆时针旋转得到，则，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，
在△和中，
，
△，
，，
设，则：，，
点在第二象限，
且在上，
，
解得：，，
经检验符合题意，
坐标为或．
【点评】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
23．（12分）和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．
（1）如图1，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，当点、不与点，重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
【分析】（1）利用等边三角形的性质解决问题即可；
（2）证明，推出，，再证明是等边三角形，可得结论；
（3）当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
【解答】解：（1），都是等边三角形，
，，
，
故答案为：，；
（2）结论成立．
理由：如图2中，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
；
证法二：先证，得到，
再证明，
即可得四边形是平行四边形，
即可得出结论平行且相等．
（3）当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．此时四边形是菱形．
理由：如图3中，连接．
由（2）可知，是等边三角形，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
连接．，，
是等边三角形，
是等边三角形，
四边形是菱形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）根据，分在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【解答】解：（1）在直线中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由题意，，
，
当四边形是平行四边形时，，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得：，
直线的解析式为，
又过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
，
，
解得 （不合题意，舍去），；
当为时，四边形是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
对称轴为，
设点坐标为，
点横坐标为：，
，，
①如图1，
，即是的中点，点在对称轴上，
，，
又点在直线，代入得：
，
解得：或（舍去），
故此时的值为．
②如图2，设点坐标为，，，
，
①，
②，
联立①②并解得：（舍去）或，
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和 方程思想解题是关键．
0
1
2
3
6
3
0
0
作业时长（单位：分钟）
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
成绩分
组中值
频率
78
0.05
83
88
0.375
93
0.275
98
0.05
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