2023年山东省临沂市费县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省临沂市费县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家若零上记作，则零下可记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放吨，数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  根据三视图，求出这个几何体的侧面积(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国古代数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们的选择恰好不是同一个主题的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  要使分式无意义，则的取值范围是______ ．

15.  如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为，则的长为______．

16.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则其中正确结论的有______ 填写正确结论的序号

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
今年是中国共产主义青年团成立周年，某校为了了解九年级名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩满分分进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，．
【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】
根据以上信息，可以求出：______分，______分；
若规定测试成绩分及以上为优秀，请估计参加本次测试的名学生中成绩为优秀的有多少人；
根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由理由不少于两条．

19.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．
 

20.  本小题分
如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
请同学们结合探究一次函数，反比例函数，二次函数图象和性质的过程，继续探究函数的图象和性质．
第一步：列表；

第二步：描点；
第三步：连线．
计算表中和的值：：______：______，并将该函数在直线左侧部分的图象描点画出；

试着描述函数的性质：
的取值范围：______；的取值范围：______；图象的增减性：______；图象的对称性：______；
已知一次函数与相交于点，，结合图象直接写出关于的不等式的解集．

22.  本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图，连接，，．

当时，求证：；
如图，当时，延长交于点，求的度数；
在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．
若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最小值．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，当时，求函数的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若零上记作，则零下可记作：．
故选：．
零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用科学记数法表示数据的方法解答即可．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
两直线平行，内错角相等，
平分，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线及角平分线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、，不符合题意；
选项B、，不符合题意；
选项C、，符合题意；
选项D、，不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法和除法及积的乘方运算法则、完全平方公式分别进行计算，再与各选项对比即可得到答案．
本题考查的是幂的相关运算法则及乘法公式，掌握其运算公式及法则是解决此题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】
解：由，得，
由，得，
不等式组的解集是，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：．
故选：．
首先根据三视图得出这个几何体是圆柱，再根据圆柱的侧面积公式列式计算即可．
本题考查了三视图，圆柱的侧面积，主要培养学生的理解能力和空间想象能力，题型较好，是一道比较好的题目．
 

7.【答案】 

【解析】解：头牛，只羊共两银子，
；
头牛，只羊共两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，

解得：，．
故选：．
先将方程左边分解因式，即可解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，属于基础题，因式分解法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有种，
小明和小亮选择恰好不是同一个主题的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：是内接四边形，
，
等边的顶点在上，
，
，
故选：．
根据圆的内接四边形对角互补及等边的每一个内角是，求出．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故选：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

在中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，取得最小值，此时，
故选：．
如图见解析，先利用直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，由此可得出当时，取得最小值，此时．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行线间的距离等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：分式无意义，
，
解得．
故答案为：．
根据分式无意义，分母等于列方程求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
 

15.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，为中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得的长是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故正确；
，
，
；故正确；
由菱形的面积可得，故不正确，
四边形是菱形，
，
又，

四边形是矩形，
，
，
，
，
故正确；
综上所述：正确的结论是．
故答案为：．
根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断，进而根据等边对等角即可判断，根据菱形的性质求面积即可求解．判断，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含度角的直角三角形的性质可得，由即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式，
；
当，时，原式． 

【解析】先化简各式，再进行加减运算即可；
先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项进行化简，再代值计算即可．
本题考查实数的混合运算，整式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：甲班名学生测试成绩出现次数最多，
众数是分，则；
把乙组个数按从小到大排列，则中位数是第个数，
即中位数出现在这一组中，故；
故答案为：，；

根据题意得：
人，
答：估计参加本次测试的名学生中成绩为优秀的有人；

甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定答案不唯一，合理均可．
根据众数和中位数的定义求解可得；
用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

19.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
是的直径，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】        当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小  该图像是中心对称图形，对称中心是 

【解析】解：把代入得，，解得，
把代入得，，
，，
故答案为：，；
如图所示，
；
观察图象：
的取值范围：；
的取值范围：；
图象的增减性：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；
图象的对称性：该图象是中心对称图形，对称中心是；
故答案为：；；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；该图象是中心对称图形，对称中心是；
由图象得：关于的不等式的解集是：或．
把，分别代入解析式即可求得、的值；
观察函数图象，得出函数的性质即可；
根据图象得出结论．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图象、增减性，熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
为等边三角形，
，
根据解析可知，≌，
，
，
，
．
解：存在；；面积的最小值为；
中，边的长是定值，则边上的高取最小值时的面积有最小值，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆上，
垂线段最短，
过点作于点，交于点，当点在点时，点到的距离最小，
根据解析可知，为等边三角形，
，，
，，
，，
此时旋转角，
，
，
的最小值为．
 

【解析】利用“”证得≌即可得到结论；
先证明为等边三角形，得出，由≌，得出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；
根据中，边的长是定值，得出边上的高取最小值时的面积有最小值，根据点在以点为圆心，以为半径的圆上，根据垂线段最短，过点作于点，交于点，当点在点时，点到的距离最小，根据等边三角形的性质和勾股定理，利用三角形的面积公式求出结果即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂线段最短，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，正确寻找全等三角形，利用性质求解．
 

23.【答案】解：由题意，二次函数是常数经过，，
，
解得，
抛物线的解析式．
图象的对称轴是直线．
由题意，得，
又，
，
，
当时，的最小值是．
当时，函数在上时，随增大而增大，当时，函数的最小值为，
当时，函数图象在有最低点，当时，函数的最小值为：，
当时，函数在时，随增大而增小，当时，函数的最小值为． 

【解析】利用待定系数法计算即可．
根据等式的性质，构造以为函数的二次函数，求函数最值即可．
分、、进行讨论，根据图象的性质得出结论．
本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．