2024年山东省临沂市莒南县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省临沂市莒南县中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．
2．（3分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的芯片上集成12000000000个晶体管，是目前世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，请将数字12000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109B．12×109C．1.2×1010D．1.2×1011
4．（3分）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2ab3）2＝4a2b6B．3a2﹣2a3＝6a6
C．a2+a2＝2a4D．a6+a2＝a3
6．（3分）在体质健康测试中，小南从“引体向上”“立定跳远”“1000米”“50米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“引体向上”与“1000米”两个项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则的长是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
8．（3分）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（ ）
A．10B．15
C．20D．随点O位置而变化
10．（3分）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为（ ）
A．B．C．D．6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝ ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 ．
14．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 度．
15．（3分）已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝ ．
16．（3分）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数．若排在第a行b列，则a+b的值为 ．



……
三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（8分）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
19．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
20．（8分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述：
初中学生视力情况统计表
高中学生视力情况统计图
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ；
（3）分析处理：
①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．
21．（9分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
22．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠CAE；
（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．
23．（10分）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标（3，n）．
（1）请求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接PO，PM，当△POM的面积最大时，求点P的坐标．
24．（12分）【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cs∠AFB的值．
2024年山东省临沂市莒南县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜，
∴在实数1，﹣1，0，中，最大的数是，
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
2．（3分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
3．（3分）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的芯片上集成12000000000个晶体管，是目前世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，请将数字12000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109B．12×109C．1.2×1010D．1.2×1011
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．
【解答】解：12000000000＝1.2×1010，
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
4．（3分）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
【解答】解：从几何体的左边看得到的图形如下：
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握三种视图的定义是关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2ab3）2＝4a2b6B．3a2﹣2a3＝6a6
C．a2+a2＝2a4D．a6+a2＝a3
【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（﹣2ab3）2＝4a2b6，故A符合题意；
B、3a2与﹣2a3不能合并，故B不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，故C不符合题意；
D、a6与a2不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）在体质健康测试中，小南从“引体向上”“立定跳远”“1000米”“50米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“引体向上”与“1000米”两个项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择“引体向上”与“1000米”两个项目的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：设“引体向上”“立定跳远”“1000米”“50米”四个项目分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“引体向上”与“1000米”两个项目的结果数有2种，
∴选择“引体向上”与“1000米”两个项目的概率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则的长是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B＝60°，由圆周角定理得到∠AOC＝120°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴的长＝＝2π．
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（3分）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D．
【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；
由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（ ）
A．10B．15
C．20D．随点O位置而变化
【分析】根据三角形的面积公式确定出三角形ACO的面积和三角形ACF的面积相等，再根据正六边形的性质得到△ABC≌△FED，从而推出阴影部分的面积＝S正六边形ABCDEF＝15．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠AFD＝∠FDC＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
连接CF，
∵四边形ACDF是矩形，
∴S△ACF＝S△DCF
根据三角形面积公式可得：
S△ACO＝S△ACF，
∴S△ABC+S△ACO＝S△FED+S△FCD，
即：阴影部分的面积＝S正六边形ABCDEF＝15．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握多边形的内角和公式，会将不规则图形面积进行转化是解答本题的关键．
10．（3分）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为（ ）
A．B．C．D．6
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时，结合平行可得相似和平行四边形即可知AB＝2BF即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，BDEF的面积为3，
，
∵3＝2FH，
∴，
∵∠ABC＝60°，
∴，
∵此时D为BC的中点，DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴ED＝FB，
即．
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识．找到BC＝4和利用平行的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ﹣ ．
【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案．
【解答】解：由题意得：点B表示的数是﹣．
故答案为：．
【点评】此题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝ 3 ．
【分析】由直角三角形的性质可求BF＝5，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵CE＝10，F为CE的中点，
∴BF＝CE＝5，
∴BF＝BG＝5，
∴AG＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 12 ．
【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
14．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 45 度．
【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B＝∠BAE＝108°，
由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，
∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．
15．（3分）已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝ 8 ．
【分析】根据函数图象上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，
∴﹣（m﹣h）2+2040＝2024，﹣（m+n﹣h）2+2040＝2024，
∴（m﹣h）2＝16，（m+n﹣h）2＝16，
∴m﹣h＝±4，m+n﹣h＝±4，
即：或，
解得：n＝8或n＝﹣8，
∵n取正数，
故：n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16．（3分）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数．若排在第a行b列，则a+b的值为 2062 ．



……
【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．
【解答】解：观察表得：每一行分子与分母的和为定值，（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列，
∴分数所在的行数是：2023+20﹣1＝2042，即a＝2042，b＝20，
∴a+b＝2042+20＝2062，
故答案为：2062．
【点评】本题主要考查了 数字变化类规律问题，解题的关键是观察数表得到a，b的值．
三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：．
（2）化简：．
【分析】（1）先计算特殊角三角形函数值，再计算负整数指数幂，化简二次根式和去绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝3．
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，负整数指数幂．
18．（8分）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据“买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1280元，即可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要30元，购买一份乙种快餐需要20元．
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，
依题意得：30（55﹣m）+20m≤1280，
解得：m≥37．
答：至少买乙种快餐37份．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴OG＝≈≈21.8（m），
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF•cs60°＝24×＝12（m），
∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述：
初中学生视力情况统计表
高中学生视力情况统计图
（1）m＝ 68 ，n＝ 23% ；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 320 ；
（3）分析处理：
①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．
【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1.1及以上的人数除以总人数可得n的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；
②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【解答】解：（1）由题意可得：初中样本总人数为：200人，
∴m＝34%×200＝68（人），n＝46÷200＝23%；
（2）由题意可得：14+44+60+82+65+55＝320，
∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320；
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”
小胡的说法合理；
初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组，
而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组，
而1.0＞0.9，
∴小胡的说法合理．
②由题意可得：26000×（1﹣34%﹣23%）＝11180（人），
∴该区有26000名中学生，估计该区有11180名中学生视力不良；
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．
【点评】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
21．（9分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（4，2）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
22．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠CAE；
（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠CAE；
（2）解：∵∠ADE＝30°，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴BE＝＝＝3，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠D＝30°，
在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，
∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，
∴BF的长为2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
23．（10分）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标（3，n）．
（1）请求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接PO，PM，当△POM的面积最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）先由（3，n）在一次函数上求出b，再由（3，n）在二次函数求出n．
（2）联立两解析式，可求出交点M的坐标．
（3）根据点M的坐标求得直线OM的解析式，设，，求得，，即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可知，，
解得：b＝3，n＝4.5；
（2）联立得，
解得x1＝0，x2＝5，
当x＝0时为原点，舍去，
将x＝5代入得，
∴点M的坐标为；
（3）过P点作y轴的平行线，交线段OM于Q．
∵M的坐标为，
∴直线OM的解析式为：，
∴设，，（0＜m＜5），
，
＝，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，△POM的面积最大．此时点P的坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（12分）【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cs∠AFB的值．
【分析】（1）①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
（2）过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
（3）过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cs∠AFB的值．
【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD；
②解：AD＝BD+DF．
理由如下：
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE，
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD＝DF，
∵AD＝AE+DE，
∴AD＝BD+DF；
（2）BD+DF＝AD．
理由如下：
如图1，过点B作BE⊥AD于E，
∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC＝∠ADB，
又∵CD⊥BD，
∴∠ADC＝∠ADB＝45°，
又∵BE⊥AD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，CD＝DF，
∴DF＝AE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝，
∴BD+DF＝，
即：BD+DF＝AD．
（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，
又∵∠ADB＝45°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
又∵AD＝4，
∴AG＝DG＝4，BD+DF＝AD＝8，
∵BD＝3CD，CD＝DF，
∴DF＝2，
又∵DG＝4，
∴FG＝DG﹣DF＝2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：，
∴cs∠AFB＝．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%