特训05 利用导数证明不等式（三大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训05 利用导数证明不等式（三大题型）
利用导数证明数列不等式的常用方法：
(1)利用函数中经典不等式放缩，根据放缩的方向，将函数中经典不等式转化为数列不等式，将不可求和的数列放缩成可求和的数列
(2)结论再造，利用上一问中得到的函数结论，构造出函数不等式，进而转化为数列不等式，再进行放缩求和.
(3)数列思想求通项，通过求出不等式两侧对应数列的通项公式，进而作差构造函数.
以上办法的实质都是构建了函数不等式与数列不等式之间的关系，进而利用数列求和来解决问题.
目录：
01 ：移项构造函数证明不等式
02 ：分拆函数法证明不等式
03 ：放缩后构造函数证明不等式
01 ：移项构造函数证明不等式
例1 已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln eq \f(3,e)，且x＞0时，eq \f(ex,x)＞eq \f(3,2)x＋eq \f(1,x)－3a.
感悟提升 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
训练1已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，证明.
02 ：分拆函数法证明不等式
例2 证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞eq \f(1,ex)－eq \f(2,ex)成立.
证明 问题等价于证明xln x＞eq \f(x,ex)－eq \f(2,e)(x∈(0，＋∞)).
感悟提升 1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.
2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.
训练2 已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
03 ：放缩后构造函数证明不等式
例3 已知x∈(0，1)，求证：x2－eq \f(1,x)＜eq \f(ln x,ex).
感悟提升 某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x＋1，1－eq \f(1,x)≤ln x≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
训练3 证明：exln x＋eq \f(2ex－1,x)＞1.
方法技巧：指对同构
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，eq \f(ex,x)＝ex－ln x，eq \f(x,ex)＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln eq \f(ex,x).
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln beq \(――――――――→,\s\up17(三种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：aea≤（ln b）eln b……f（x）＝xex，,同右：ealn ea≤bln b……f（x）＝xln x，,取对：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）……f（x）＝x＋ln x，))
②商型：eq \f(ea,a)＜eq \f(b,ln b)eq \(――――――――→,\s\up17(三种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：\f(ea,a)＜\f(eln b,ln b)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,ln ea)＜\f(b,ln b)……f（x）＝\f(x,ln x)，,取对：a－ln a＜ln b－ln（ln b）……f（x）＝x－ln x，))
③和差型：ea±a＞b±ln beq \(――――――――→,\s\up17(两种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：ea±a＞eln b±ln b……f（x）＝ex±x，,同右：ea±ln ea＞b±ln b……f（x）＝x±ln x.))
例 (1)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
若f(x)≥1，求a的取值范围.
(2)已知函数f(x)＝aex－ln x－1，证明：当a≥eq \f(1,e)时，f(x)≥0.
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（ ）
A．2.5B．3.5C．4.5D．6
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
10．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（ ）
A．B．（为的二阶导数）
C．D．是函数的极大值点
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．若为减函数，则B．若存在极值，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知实数满足，则
13．（2024·四川凉山·三模）已知函数的零点为，则 ．
14．（2024·吉林·二模）若实数满足，则称为函数与 的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为 .