特训03 三角函数选填题两大解题技巧（四大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训03 三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.
2.解题技法：
一画：画一个直角三角形；
二用：用勾股定理求出各条边长；
三求：求出当角α为锐角时的三角函数值；
四定：利用α所在象限确定符号.
二、整体代换法
题型特征：当题目中有特殊角(等)与单倍角(a,β,x等)的和差=a,ma角的三角函数值，要求二倍角(2a,2β,2x等)或，等形式的三角函数值时，可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
解题技法：
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧
目录：
01 ：任意角的三角函数
02 ：同角三角函数的基本关系
03 ：诱导公式
04 ：三角恒等变换
01 ：任意角的三角函数
1．设角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
【解析】.
故选：C.
2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.
【解析】点是第二象限的角终边上的一点，则，
由，得，所以.
故选：C
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.
【解析】因为，即，
即角的终边经过点，所以，，
所以.
故选：D
4．已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，利用三角函数定义得出，再由倾斜角和斜率的关系得出，最后利用得出答案.
【解析】记为坐标原点，因为，所以，
所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上.
连接，取的中点，连接，则，
不妨设，则，
所以.
故选：D.
5．已知角满足，，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.
【解析】由，，得出为第四象限角，
所以，
则为第二象限角或第四象限角，又因为，
所以，则为第二象限角.
故选：B.
02 ：同角三角函数的基本关系
6．已知点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.
【解析】由题意，，
所以.
故选：B.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得，再由正切的二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【解析】因为，则，
所以.
故选：B
8．若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【解析】因为，即，
则．
故选：A
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
10．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【解析】由，得，
即，解得或（舍），
所以.
故选：D.
11．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.
【解析】因为，
又，即，则，
所以，
故.
故选：D
12．已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找出和的关系，求出和即可求解.
【解析】，
，
①，，，
②，由①②解得或，
，，
，.
故选：C.
03 ：诱导公式
13．已知，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【解析】由，得
.
故选：B
14．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性.
【解析】函数，当时，
，
则为奇函数，所以充分性不成立，
当为偶函数时，，所以必要性不成立，
故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
15．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【解析】.
故选：C
16．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，根据诱导公式及二倍角公式可得，根据诱导公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
【解析】设，则，，
所以，，
所以.
故选：D
17．在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
【答案】
【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得.
【解析】由三角函数的定义，得，所以
.
故答案为：
18．已知且，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.
【解析】，
则
又，
即，
即，
故，即.
故答案为：.
04 ：三角恒等变换
19．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解析】由，
得，
故
所以
.
故选：C.
20．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解.
【解析】
，
故选：D．
21．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解.
【解析】由题意，得角是第四象限角，则，
故，则为二､四象限角，则，
又因为，
所以（舍去）或，
所以.
故选：B.
22．若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将用替换后，解方程解出即可.
【解析】因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
23．已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得函数在时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
【解析】因为满足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因为，，
所以，所以，，
，
因为，所以.
故选：D.
24．已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
【解析】因为，
，，由正弦函数在上递增知：，
故选：A.
25．已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据方程，求出，，，再逐项验证即可得到答案.
【解析】由题意：，得：，
所以或，，
又，所以，，.
故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
.故D正确.
故选：B
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解析】易知，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
2．（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，再由的单调性，求得，利用两角差的余弦公式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【解析】由与均为锐角，且，所以，
因为，可得，，
又因为在上单调递减，且，所以，
因为，所以，
所以，
则.
故选：A.
3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11B．C．10D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得的值，代入计算即可.
【解析】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，
即，解得或，
因为，所以，
所以．
故选：D
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【解析】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
6．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解.
【解析】因为，所以，所以，
所以
，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
7．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由正弦定理得，再通过两角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.
【解析】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故选：B.
8．（2024·湖南·二模）在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【解析】由余弦定理得，
即，
，
所以或，
又，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可.
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
【答案】AC
【分析】根据同角关系即可求解，，即可判断AB,根据三角函数的性质即可求解CD.
【解析】由可得，所以，故，
对于A, ，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，则，由于，，
所以在上单调递减，故C正确，
对于D，，当时取最大值，
故，故D错误，
故选：AC
10．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.
【解析】对于A，因为，，则，，故，
所以，正确；
对于B，因为，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，错误；
对于C，由得，，所以，
即，因为，，所以，
则或，即或（不合题意，舍去），错误；
对于D，，
因为，所以，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：AD
11．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
【答案】ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
【解析】，A正确；
，B正确；
函数的定义域为，C错误；
，
当时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【解析】因为，所以，
所以
.
故答案为：
13．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ．
【答案】/
【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出.
【解析】由题可知，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，故，
所以，
两边平方后得，故，
．
故答案为：
14．（2020·江苏南京·模拟预测）在锐角三角形中，已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到取值范围，利用三角函数的恒等变换化简为，构造函数利用导数研究其值域即可.
【解析】由题意可得，，
即.不妨设
则
由得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值，，
所以在上的值域为，
所以 ,又△为锐角三角形，
所以，
则 ，故 .

,
令，故在 上单调递增，
所以的值域为
故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.