特训14 同构思想在解析几何的应用（五大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训14 同构思想在解析几何的应用（五大题型）
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的表达式，下面提供其理论基础：
①若实数a,b分别满足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可视为方程f(x)=0的两个根.——双切线、斜率和(积)为定值时，恒过定点问题的核心思路.
②如果A(x1,y₁),B(x₂,y₂)满足的方程结构相同，则A,B为方程所表示的曲线上的两点.
特别地，若A(x₁,y),B(x₂,y₂)满足ax1+by1+c=0,ax₂+by₂+c=0,则直线AB的方程为ax+by+c=0.——切点弦方程推导的核心思路.
思维点拨：同构思想是数学中代数处理的一种重要思想，其关键在于发现代数式子结构的相似性，对其进行代数变形的统一构造处理.同构思想在解析几何中的应用非常广泛，比如斜率和、斜率积为定值， 恒过定点，切点弦，双切线等问题，使用同构思想可以大大简化运算，实现数与形的完美结合.
目录：
01 定点问题
02 定值问题
03 定比分点问题
04 双切线问题
05 切点弦问题
01 定点问题
1．已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.
(1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.
3．阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的角平分线所在的直线的方程；
(3)过点的且斜率存在的直线分别与椭圆交于点（均异于点），若点到直线的距离相等，证明：直线过定点.
02 定值问题
4．如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
5．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
6．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，
①求证：；
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
03 定比分点问题
7．已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．
(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；
(3)若直线过点，设，求的值．
8．椭圆：的离心率，短轴的两个端点分别为、（位于上方），焦点为、，四边形的内切圆半径为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于M、N两点（M位于P与N之间），记、的面积分别为、，令，，求的取值范围.
9．已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．
(1)求C的方程；
(2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．
04 双切线问题
10．已知椭圆过点，A、B为左右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作椭圆内的圆的两条切线，交椭圆于C、D两点，若直线CD与圆O相切，求圆O的方程；
(3)过点P作（2）中圆O的两条切线，分别交椭圆于两点Q、R，求证：直线QR与圆O相切.
11．点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
12．如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．
（1）当直线与圆相切，且时，求点的坐标；
（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．
05 切点弦问题
13．已知抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求的值；
(2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点；
(3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值．
14．已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．
15．已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
16．已知椭圆.
(1)若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.
2．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦AB的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
4．（2024·福建南平·模拟预测）已知抛物线的准线与圆相切．
(1)求的方程；
(2)点是上的动点，且，过点作圆的两条切线分别与交于两点，求面积的最小值．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知分别为椭圆的左顶点和上顶点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与轴交于点，该直线与的一个交点为，与曲线的另一个交点为．
(1)若平分，求的内切圆半径；
(2)设直线与的另一个交点为，则直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
6．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．