特训01 函数的周期性与对称性及应用（九大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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一 、函数图象的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域 要关于对称轴(或对称中心)对称。
2.函数图象对称性的结论
(1)函数f(x)满 足f(a+x)=f(b-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=
(2)函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)的图像关于点对称
二 、函数奇偶性与对称性间的关系
(1)若函数y=ʃ(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
一般的，若对于R上的任意x 都有f(a-x)=f(a+x), 则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=ʃ(x+a)是奇函数，即ʃ(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 对称.
一般的，若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b, 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。
三、函数的周期性
1.周期函数的定义
对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,能使得当x取定义域内的所有值时，都有f(x+T)=ʃ(x),则函数y=f(x)叫做以T为周期的周期函数.
函数周期性的结论
(1)若函数f（x）恒满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(2)若函数f（x）恒满足f（x+a）= -f（x），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足/(x+a)= -f（x+b）(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(3)若函数f（x）恒满足f（x+a）= (a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f (x+a)=(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(4)若函数f（x）恒满足f（x+a）= - (a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f (x+a)= -(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(5)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.
(6)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等价于(x)=-f(x-3a),则f(x)为周期函数，且是它的一个周期.
四、函数的对称性与周期性间的关系(多对称性产生周期性)
(1)若函数f(x)是偶函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期
推论：若函数f(x)关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.
(2)若函数f(x) 是奇函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x) 是周期函数，是它的一个周期
推论：若函数f(x)关于点(a,0)、直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数， 是它的一个周期.
(3)若函数f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a≠0) 对称，则f(x) 是周期函数 是它的一个周期
推论：若函数关于点(a,0),(b,0)(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期
目录：
01 函数周期性的定义与求解
02 由周期性求函数的解析式
03 判断证明抽象函数的周期性
04 由函数的周期性求函数值
05 判断或证明函数的对称性
06 由对称性求函数的解析式
07 由对称性研究函数的单调性
08 由对称性求参数
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
01 函数周期性的定义与求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A．B．3C．6D．9
2．（2021高一·上海·专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ．
3．（20-21高二上·广东汕头·期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 .
4．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数B．
C．D．
02 由周期性求函数的解析式
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高三·全国·对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上奇函数，且满足,当时，，则当时的最大值为
A．B．C．1D．0
9．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 .
10．（2021·新疆巴音郭楞·模拟预测）设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f (x)＝则f (2019)＝ .
03 判断证明抽象函数的周期性
11．（2022高三·全国·专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
12．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时，
(1)求；
(2)证明：为周期函数；
(3)判断并证明在区间上的单调性．
13．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
14．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知函数，其导函数记为，有以下四个命题：
①若为偶函数，则为奇函数；
②若为偶函数，则为奇函数；
③若为周期函数，则也为周期函数；
④若为周期函数，则也为周期函数.
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
04 由函数的周期性求函数值
15．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ）

A．B．0C．D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（ ）
A．0B．4C．2023D．2024
05 判断或证明函数的对称性
18．（2024·山西临汾·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．，方程都有两个不等的实根
D．不等式恒成立
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称B．y＝0对称C．x＝1对称D．y＝1对称
20．（2024·浙江温州·二模）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称B．的图象关于对称
C．在单调递增D．有最小值
06 由对称性求函数的解析式
21．（2023·新疆·二模）设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·河南·模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
23．（2023高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数是周期为4的周期函数B．
C．当时，D．不等式的解集为
07 由对称性研究函数的单调性
24．（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A．B．
C．D．
25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．
D．
26．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ）
A．在区间上是增函数，且有最小值为
B．在区间上是减函数，且有最大值为
C．在区间上是增函数，且有最大值为
D．在区间上是减函数，且有最小值为
08 由对称性求参数
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1B．2C．D．
28．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
29．（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是 .
30．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为
31．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ．
32．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
33．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 .
34．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 .
35．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
36．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．0B．-1C．2D．1
3．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A．B．C．3D．4
4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数满足：，，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．若，则D．是奇函数
6．（2024·山东聊城·三模）设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8B．6C．4D．2
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（ ）
A．2B．14C．18D．25
二、多选题
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A．是周期4的周期函数B．图象关于点对称
C．D．图象关于点对称
11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
13．（2023·海南海口·一模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 .
14．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为
四、解答题
15．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）