第19讲 直角三角形（3考点 22题型 7类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

这是一份第19讲 直角三角形（3考点 22题型 7类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第19讲直角三角形讲义原卷版docx、第19讲直角三角形讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共120页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第19讲 直角三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156297146" \l "_Tc156158026" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156297147" 考点一 直角三角形的性质与判定
\l "_Tc156297148" 题型01 利用直角三角形的性质求解
\l "_Tc156297149" 题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc156297150" 题型03 与直角三角形有关的面积计算
\l "_Tc156297151" 考点二 勾股定理
\l "_Tc156297152" 题型01 利用勾股定理求线段长
\l "_Tc156297153" 题型02 利用勾股定理求面积
\l "_Tc156297154" 题型03 已知两点坐标求两点距离
\l "_Tc156297155" 题型04 判断勾股数问题
\l "_Tc156297156" 题型05 利用勾股定理解决折叠问题
\l "_Tc156297157" 题型06 勾股定理与网格问题
\l "_Tc156297158" 题型07 勾股定理与无理数
\l "_Tc156297159" 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc156297160" 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
\l "_Tc156297161" 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc156297162" 题型11 勾股定理的证明方法
\l "_Tc156297163" 题型12 以弦图为背景的计算题
\l "_Tc156297164" 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题
\l "_Tc156297165" 题型14 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc156297166" 类型一 求梯子滑落高度
\l "_Tc156297167" 类型二 求旗杆高度
\l "_Tc156297168" 类型三 大树折断前高度
\l "_Tc156297169" 类型四 解决水杯中的筷子问题
\l "_Tc156297170" 类型五 选址到两地距离相等
\l "_Tc156297171" 类型六 最短路径
\l "_Tc156297171" 类型七 航海问题
\l "_Tc156297172" 题型15 勾股定理与规律探究问题
\l "_Tc156297173" 考点三 勾股定理逆定理
\l "_Tc156297174" 题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点
\l "_Tc156297175" 题型02 在网格中判定直角三角形
\l "_Tc156297176" 题型03 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc156297177" 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题
考点一 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
题型01 利用直角三角形的性质求解
【例1】（2023·山东聊城·统考二模）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°，那么∠1的度数是（ ）

A．68°B．58°C．22°D．32°
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP=4，则AD的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式1-2】（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接AC，CF，则∠ACF的度数为 °．

【变式1-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2=AC2B．AB2−BC2=AC2C．∠A+∠B=∠CD．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【变式2-2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=5,b=12,c=13B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．∠A=∠B−∠CD．a=1,b=2,c=5
【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7
题型03 与直角三角形有关的面积计算
【例3】（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kxx>0的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，垂足为P，PA交y轴于点C，AO=BO=BP，△ABP的面积是2．则k的值是（ ）

A．1B．32C．3D．2
【变式3-1】（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置，若∠BAP=30°，AB=63，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．48B．54C．81−183D．108−363
【变式3-2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，则▱ABCD的面积等于 ．

【变式3-3】（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是12cm2，则AB的长是 cm．
考点二 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，c=a2+b2,a=c2−b2,b=c2−b2.
勾股定理的证明方法（常见）：
方法一（图一）：4SΔ+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4×12ab+(b−a)2=c2，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×12ab+c2=2ab+c2
大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
方法三（图三）：S梯形=12(a+b)⋅(a+b)，S梯形=2SΔADE+SΔABE=2⋅12ab+12c2，化简得证a2+b2=c2
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.
题型01 利用勾股定理求线段长
【例1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，AB切⊙O于C，点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，运动1秒时OD=2cm，运动2秒时OD长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．22cm
【变式1-1】（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形的三边的长是连续的正整数，则这样的直角三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（2023·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，AB=2，AC=23，∠C=30°，则线段BC的长为（ ）
A．4B．22C．4或22D．2或4
题型02 利用勾股定理求面积
【例2】（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形的边长比为（ ）
A．6:1B．1:6C．3:1D．2：1
【变式2-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ）

A．64B．48C．32D．24
【变式2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）如图，大等边三角形中有n个全等的等边三角形，若大等边三角形的面积为S1，n个小等边三角形的面积的和为S2，则S1与S2之间的关系为（ ）

A．S1=n2S2B．S1=nS2C．S1=43nS2D．S1=2nS2
【变式2-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．1:8B．1:4C．1:2D．2:5
题型03 已知两点坐标求两点距离
【例3】（2023·天津南开·统考一模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为2,3，则AC长为（ ）
A．13B．7C．5D．4
【变式3-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线y=14x2与一次函数y=2x+6交于A，B两点，则线段AB的长度为（ ）
A．202B．203C．403D．20
【变式3-2】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A1,2,B−3,b，当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【变式3-3】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是3,4，则点B的坐标为（ ）
A．5,4B．5,3C．8,3D．8,4
题型04 判断勾股数问题
【例4】（2023·四川泸州·统考二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若某个此类勾股数的勾为16，则其弦是 ．
【变式4-1】（2023·河北石家庄·统考二模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．
(1)当n是大于1的整数时，2n，n2−1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
(2)当n是大于1的奇数时，若n，n2−12，x是勾股数，x>n，x>n2−12，求x(用含n的式子表示)．
【变式4-2】（2023·河北保定·统考二模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a,b,ca