第06讲 分式方程（2考点 11题型 8类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第06讲 分式方程
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc151980822" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151980823" 考点一 解分式方程
\l "_Tc151980824" 题型01 判断分式方程
\l "_Tc151980825" 题型02 分式方程的一般解法
\l "_Tc151980826" 题型03 分式方程的特殊解法
\l "_Tc151980827" 类型一 分组通分法
\l "_Tc151980828" 类型二 分离分式法
\l "_Tc151980829" 类型三 列项相消法
\l "_Tc151980830" 类型四 消元法
\l "_Tc151980831" 题型04 错看或错解分式方程问题
\l "_Tc151980832" 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
\l "_Tc151980833" 题型06 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc151980834" 题型07 根据分式方程有解或无解求参数
\l "_Tc151980835" 题型08 已知分式方程有增根求参数
\l "_Tc151980836" 题型09 已知分式方程有整数解求参数
\l "_Tc151980837" 考点二 分式方程的应用
\l "_Tc151980838" 题型01 列分式方程
\l "_Tc151980839" 题型02 利用分式方程解决实际问题
\l "_Tc151980840" 类型一 行程问题
\l "_Tc151980841" 类型二 工程问题
\l "_Tc151980842" 类型三 和差倍分问题
\l "_Tc151980843" 类型四 销售利润问题
考点一 解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型01 判断分式方程
【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+31−x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2−3=x5B．12x−13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1−2x
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程，不符合题意；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
题型02 分式方程的一般解法
【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1x−1+3=3x1−x去分母，两边同乘x−1后的式子为（ ）
A．1+3=3x1−xB．1+3x−1=−3x
C．x−1+3=−3xD．1+3x−1=3x
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解：1x−1+3=3x1−x，
两边同乘x−1去分母，得1+3x−1=−3x，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1x+2+x+6x2−4=1的解为 ．
【答案】x=4
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．
【详解】解：∵1x+2+x+6x2−4=1，
方程两边同时乘以x+2x−2得，x−2+x+6=x+2x−2，
∴2x+4=x2−4，
∴x2−2x−8=0，
∴x−4x+2=0，
∴x=4或x=−2．
经检验x=−2时，x2−4=0，故舍去．
∴原方程的解为：x=4．
故答案为：x=4．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程：4x2+x−3x2−x=0．
【答案】x=7
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘xx+1x−1，得4x−1−3x+1=0，
解得x=7，
检验：当x=7时，xx+1x−1≠0，
所以，原分式方程的解为x=7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，
∴3x+2=2x−1，
去分母
3x−1=2x+2，
去括号号
3x−3=2x+4，
解得x=7，
检验：当x=7时，x+2x−1≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2x+1xx−2=52x的解为 ．
【答案】x=4
【分析】根据方程两边同时乘以2xx−2，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以2xx−2，
2×2x−2+2=5×x−2
4x−8+2=5x−10
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
【例3】解方程：3x−2−4x−1=1x−4−2x−3
【详解】解:原方程可变形为，
5−x（x−2）（x−1）=5−x（x−4）（x−3）
当5-x≠0时，x−2x−1=（x−4）（x−3）解得x1=52
当5-x=0时，解得x2=5
经检验，x1=52，x2=5都是原方程得解.
类型二 分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
【例4】解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【答案】x=−52.
【分析】先将原方程变形1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
【详解】解:原方程可变形为，
1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，
化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，
即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，
∴2x+5=0，
解得，x=−52,
检验，把x=−52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=−52.
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
类型三 列项相消法
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1nn+1 =1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12−13，112=13−14；120=14−15，16=12−13，……，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程解是多少？
【答案】x=4
【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10
原方程化简为：2x−2x+1+2x+1−2x+2+…+2x+9−2x+10=5x+10，
即2x−2x+10=5x+10，
方程两边同乘x(x+10)，
得：5x=20，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解，
∴原方程的解为x=4．
【变式5-1】因为11×2=1−12,12×3=12−13,…,119×20=119−120，
所以11×2+12×3+…+119×20=1−12+12−13+…+119−120=1−120=1920．解答下列问题：
(1)在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是______________；第n项是______________．
(2)解方程：1x+1x+2+1x+2x+3+…+1x+2001x+2002=1x+2002．
【答案】(1)19×10，1nn+1
(2)x=2000
【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解；
（2）根据（1）的规律化简方程为1x+1−1x+2002=1x+2002，解分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是19×10；第n项是1nn+1；
故答案为 19×10;1nn+1．
（2）原方程可化简为：1x+1−1x+2002=1x+2002
方程两边同时乘x+1x+2002，得：x+2002−x+1=x+1，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
【变式5-2】探索研究：
请观察：
①1x2+3x+2=1x+1x+2=1x+1−1x+2；
②1x2+5x+6=1x+2x+3=1x+2−1x+3；
③1x2+7x+12=1x+3x+4=1x+3−1x+4；
④1x2+9x+20=1x+4x+5=1x+4−1x+5；
……
(1)请写出第n个等式；
(2)解方程：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8；
(3)当m为正整数时，12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72= ．
【答案】(1)1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n−1x+n+1
(2)x=8
(3)m+8m+9
【分析】（1）根据所给4个等式总结规律写出第n个等式即可；
（2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算；
（3）由（1）所得规律变形计算即可．
【详解】（1）解：∵①1x2+2×1+1x+1×1+1=1x+1x+1+1=1x+1−1x+1+1；
②1x2+2×2+1x+2×2+1=1x+2x+2+1=1x+2−1x+2+1；
③1x2+2×3+1x+3×3+1=1x+3x+3+1=1x+3−1x+3+1；
④1x2+2×4+1x+4×4+1=1x+4x+4+1=1x+4−1x+4+1；
…，
∴第n个等式为：1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n−1x+n+1；
（2）解：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8，
1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+1x+3−1x+4+⋯+1x+7−1x+8=1x+8，
1x−1x+8=1x+8，
1x=2x+8，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解；
（3）解：12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1m+8m+9
=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1m+8−1m+9
=1−1m+9
=m+8m+9．
故答案为：m+8m+9．
【点睛】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程．理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此规律计算是解题关键．
【变式5-3】探索发现：
11×2=1−12;12×3=12−13;13×4=13−14……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5＝ ，1n×(n+1)＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2⋅+12×3+13×4+⋯⋯+1n×(n+1)
（3）利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+4)(x+5)=2x−1x(x+5)
【答案】（1）14−15,1n−1n+1；（2）nn+1；（3）见解析．
【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到14×5和1n×(n+1)
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】解：（1）14×5=14−15， 1n(n+1)=1n−1n+1 ；
故答案为14−15,1n−1n+1
（2）原式＝1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 ;
（3）已知等式整理得： 1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+4−1x+5=2x−1x(x+5)
所以，原方程即： 1x−1x+5=2x−1x(x+5) ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
类型四 消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.
【例6】用换元法解分式方程xx2−1+2x2−2x=35时，若设xx2−1=y，则原方程可以化为整式方程 .
【答案】5y2−3y+10=0
【分析】将xx2−1=y代入到原方程中，再进行整理即可．
【详解】解：设xx2−1=y，
则方程xx2−1+2x2−2x=35可以化为y+2y=35，
整理得：5y2−3y+10=0，
故答案为：5y2−3y+10=0．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
【变式6-1】阅读与思考
问题：
(1)若在方程中x−12x−xx−1=0，设y=x−1x，则原方程可化为________________．
(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．
【答案】(1)12y−1y=0
(2)x=−72或x=−54
【分析】（1）设y=x−1x，则x−12x=12y,xx−1=1y，据此求解即可；
（2）先把方程变形为x−1x+2−9(x+2)x−1=0，再用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设y=x−1x，原方程可化为12y−1y=0，
故答案为：12y−1y=0
（2）解：∵x−1x+2−27x−1−9=x−1x+2−(27x−1+9)=x−1x+2−9(x+2)x−1，
∴原方程为x−1x+2−9(x+2)x−1=0。
设y=x−1x+2，原方程可化为y−9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2−9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x−1x+2=3，解得：x=−72，
当y=−3时，有x−1x+2=−3，解得：x=−54，
经检验：x=−72或x=−54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−72或x=−54．
【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
【变式6-2】用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．
【答案】答案见解析．
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=x+12x−1，原方程化为y−1y=0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．
【详解】解：设y=x+12x−1，则原方程化为y−1y=0．
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
经检验：y=±1都是y−1y=0的解．
当y=1时，
x+12x−1=1，
解得x=2．
当y=−1时，
x+12x−1=−1，
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
题型04 错看或错解分式方程问题
【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程1x+1=2x3x+3−1的过程下．
解：去分母，得 3=2x−(3x+3)．①
去括号，得 3=2x−3x+3．②
移项、合并同类项，得 −x=6．③
化系数为1，得 x=−6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
【详解】解：1x+1=2x3x+3−1，
去分母，得 3=2x−(3x+3)，
去括号，得 3=2x−3x−3，
移项，得−2x+3x=−3−3，
合并同类项，得 x=−6，
∴以上步骤中，开始出错的一步是②．
故选：B
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
【答案】5
【分析】根据题意得到方程3−xx−4+1=−1，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：3−xx−4+1=−1，即3−xx−4+2=0，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得2x−3=x−2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式7-3】（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x−2+3=12−x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x−2)得
5+3(x−2)=−1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x−2)得
m+3(x−2)=−1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2−2)=−1
m=−1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（ ）
A．x=1B．x=−1C．x=−12D．x=12
【答案】D
【分析】根据新定义得出方程1+1x+x+1=32，再解分式方程，求出其解即可．
【详解】解：由题意，得
1+1x+x+1=32，
∴12x+1=12，
解得：x=12，
经检验，x=12是方程的根，
故选：D．
【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3=11−32=−18，则方程x⊗2=2x−4−1的解是（ ）
A．x=4B．x=5C．x=6 D．x=7
【答案】B
【分析】根据题目中定义的新运算，将x⊗2=2x−4−1转换为分式方程，求解即可．
【详解】解：根据题意∵x⊗2=2x−4−1，
即1x−22=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
将x=5代入公分母x−4≠0，
∴x=5是原分式方程的解，
故选：B．
【点睛】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关键．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
【答案】−12/−0.5
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2x+1x解方程即可．
【详解】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+1+xxx+1=2x+1x2+x，
又∵(x+1)⊗x=2x+1x，
∴2x+1x2+x=2x+1x，
∴x2+x2x+1−x2x+1=0，
∴x2+x−x2x+1=0，
∴x22x+1=0，
∵(x+1)⊗x=2x+1x即x≠0，
∴2x+1=0，
解得x=−12，
经检验x=−12是方程2x+1x2+x=2x+1x的解，
故答案为：−12．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a−1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【答案】56
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
12x−1−12＝1，
等式两边同时乘以2(2x−1)得，
2−2x+1=2(2x−1)，
解得：x＝56，
经检验，x＝56是原方程的根，
∴x＝56，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
题型06 根据分式方程解的情况求值
【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程3xx−2＝m2−x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得3x=−m+5(x−2)，
解得x=m+102，
由方程的解为正数，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，
则m的范围为m>−10且m≠−6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=5−m2，
∵分式方程的解为非负数，
∴5−m2≥0且5−m2≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
【变式9-2】（2023盐城市二模）关于x的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a0，
解得：a4，
又∵当m=5时，该分式方程的左边两项分母为0，
∴m≠5，
故答案为：m>4且m≠5．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
【变式9-4】（2023齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程x+1x+2−xx−1=a(x+2)(x−1)的解是正数，a的取值范围是 ．.
【答案】a0即2m+1>0
∴m>−1
∵x−1≠0
∴x≠1
即2m+1≠1
∴m≠1
∴m=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键．
【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式结3x−12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y−ay−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式3x−12≤x+3，解得x≤7，
∴不等式组整理的x≤7x≤a，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝a+23，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x的不等式组x−m2≥0x+33，且关于y的分式方程3−y2−y+my−2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A．−4B．−3C．−1D．−7
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤3；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到m≥−3且m≠1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
【详解】解：解不等式x−m2≥0得x≥m，
解不等式x+33，
∵关于x的不等式组x−m2≥0x+33，
∴m≤3；
3−y2−y+my−2=3
去分母得：y−3+m=3y−2，
去括号得：y−3+m=3y−6，
移项得：y−3y=−6+3−m，
合并同类项得：−2y=−3−m，
系数化为1得：y=3+m2，
∵关于y的分式方程3−y2−y+my−2=3有非负整数解，
∴3+m2≥0且3+m2≠2，
∴m≥−3且m≠1，
综上所述，−3≤m≤3且m≠1，
∴符合题意的m的值可以为−3，−2，−1，0，2，3，
−3+−2+−1+0+2+3=−1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键．
【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y的分式方程9−ayy−3+2=213−y有整数解，且关于x的不等式组5x≥3x+2x−x+32≤a16有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ．
【答案】22
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
【详解】解：由9−ayy−3+2=213−y可得：y=24a−2，
∵y−3≠0，即y≠3，
∴24a−2≠3，
解得a≠10，
由5x≥3x+2x−x+32≤a16可得：3≤x≤a+248，
∵关于y的分式方程9−ayy−3+2=213−y有整数解，
∴a的取值有−22，−10，−6，−4，−2，−1，0，1，3，4，5，6，8，14，26；
∵关于x的不等式组5x≥3x+2x−x+32≤a16有且只有两个整数解，
∴4≤a+248