第04讲 二次根式（3考点 10题型 10技巧）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第04讲 二次根式
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151373383" 考点一 二次根式的相关概念
\l "_Tc151373384" 题型01 二次根式有意义的条件
\l "_Tc151373385" 题型02 判断最简二次根式
\l "_Tc151373386" 题型03 判断同类二次根式
\l "_Tc151373387" 考点二 二次根式的性质与化简
\l "_Tc151373388" 题型01 利用二次根式的性质化简
\l "_Tc151373389" 题型02 常见二次根式化简的10种技巧
\l "_Tc151373390" 技巧一 数形结合法
\l "_Tc151373391" 技巧二 估值法
\l "_Tc151373392" 技巧三 公式法
\l "_Tc151373393" 技巧四 换元法
\l "_Tc151373394" 技巧五 拆项法
\l "_Tc151373395" 技巧六 整体代入法
\l "_Tc151373396" 技巧七 因式分解法
\l "_Tc151373397" 技巧八 配方法
\l "_Tc151373398" 技巧九 辅元法
\l "_Tc151373399" 技巧十 先判断后化解
\l "_Tc151373400" 考点三 二次根式的运算
\l "_Tc151373401" 题型01 二次根式的乘除运算
\l "_Tc151373402" 题型02 二次根式的加减运算
\l "_Tc151373403" 题型03 二次根式的混合运算
\l "_Tc151373404" 题型04 二次根式的化简求值
\l "_Tc151373405" 题型05 二次根式的应用
考点一 二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4
- 9 都是二次根式.
2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式a有意义.
3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．
4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12是同类二次根式.
式.
题型01 二次根式有意义的条件
【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 ．
【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若a−4有意义，则a的值可以是（ ）
A．−1B．0C．2D．6
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x−1+1x−2中，自变量x的取值范围是 ．

解决二次根式有无意义的关键：
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
题型02 判断最简二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．0.2B．8C．6D．12
【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
题型03 判断同类二次根式
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27
【变式3-2】下列各式中，能与2合并的是（ ）
A．4B．24C．12D．8

判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
【变式3-3】若最简根式−2m+9与5m−5是同类二次根式，则m= ．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab =a•b （a≥0，b≥0），ab =ab （a≥0，b＞0）
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
1.根据二次根式的性质化简时，a前无“-”, a化简出来就不可能是一个负数.
2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
题型01 利用二次根式的性质化简
【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算(−2)2等于（ ）
A．±2B．2C．4D．2
【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23B．3C．22D．2
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.
【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【变式2-1】实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m−2)2= ．

【变式2-2】（2022遂宁中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2= ．
技巧二 估值法
方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.
【例3】（2023·重庆·中考真题）估计28+10的值应在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间
C．9和10之间D．10和11之间
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设m=515−45，则实数m所在的范围是（ ）
A．m3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5−3x的值．
(2)已知a=12+3，求a2−9a−3−a2−4a+4a2−2a的值．

1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽.
2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简.
3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简.
考点三 二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab =a•b （a≥0，b≥0）.
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a−b=a+b(a−b)(a+b)=a+ba−b；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
1.在使用ab =a•b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制.
2.在使用ab=ab（a≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0的条件限制.
3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．
4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．
5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．
6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.
题型01 二次根式的乘除运算
【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=ab．该运算法则成立的条件是（ ）
A．a>0,b>0B．a0时，有a+b2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，x+1x的最小值为_________；当x0时，求y=x2+3x+16x的最小值；
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
【变式5-4】（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且2023(a−b)+2023(b−c)+(c−a)=0，求证：(c−b)(c−a)(a−b)2−2023=2023．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和2023 ．
利用根与系数的关系得：1+2023= _____；1×2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
【变式5-5】（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究a+b2与ab的大小关系．
(1)观察猜想：a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab．
(2)计算验证：当a=8,b=8时，a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab；当a=2,b=6时，a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab．
(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作CD⊥AB于点D，设AD=a，BD=b．先用含a，b的式子表示出线段OC，CD，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．

(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．
考点要求
新课标要求
命题预测
二次根式的相关概念
了解二次根式、最简二次根式的概念
中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
二次根式的性质与化简
掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简
二次根式的运算
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算