第20讲 图形的相似与位似（3考点 25题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

这是一份第20讲 图形的相似与位似（3考点 25题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第20讲图形的相似与位似讲义原卷版docx、第20讲图形的相似与位似讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共103页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第20讲 图形的相似与位似
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156399149" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156399150" 考点一 比例线段的概念与性质
\l "_Tc156399151" 题型01 成比例线段
\l "_Tc156399152" 题型02 图上距离与实际距离
\l "_Tc156399153" 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
\l "_Tc156399154" 题型04 利用比例的性质求未知数的值
\l "_Tc156399155" 题型05 利用比例的性质求代数式的值
\l "_Tc156399156" 题型06 理解黄金分割的概念
\l "_Tc156399157" 题型07 黄金分割的实际应用
\l "_Tc156399158" 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
\l "_Tc156399159" 题型09 平行线分线段成比例（A型）
\l "_Tc156399160" 题型10 平行线分线段成比例（X型）
\l "_Tc156399161" 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
\l "_Tc156399162" 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
\l "_Tc156399163" 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
\l "_Tc156399164" 考点二 相似图形的概念与性质
\l "_Tc156399165" 题型01 理解相似图形的概念
\l "_Tc156399166" 题型02 相似多边形
\l "_Tc156399167" 题型03 相似多边形的性质
\l "_Tc156399168" 考点三 位似图形
\l "_Tc156399169" 题型01 位似图形的识别
\l "_Tc156399170" 题型02 判断位似中心
\l "_Tc156399171" 题型03 根据位似的概念判断正误
\l "_Tc156399172" 题型04 求两个位似图形的相似比
\l "_Tc156399173" 题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
\l "_Tc156399174" 题型06 求位似图形的坐标
\l "_Tc156399175" 题型07 求位似图形的线段长度
\l "_Tc156399176" 题型08 在坐标系中求位似图形的周长
\l "_Tc156399177" 题型09 在坐标系中求位似图形的面积
考点一 比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【补充】当比的内项相等时，即ab=bd或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项.
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：第一条第二条=第三条第四条），而不能写成ab=dc.
比例的性质：
1）基本性质：ab=cd⇔ad=bc ab=bc⇔b2=ac
2）变形：ab=cd⇔&ac=bd，(交换内项)&db=ca，(交换外项)&dc=ba．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc
3）合、分比性质：ab=cd⇔a±bb=c±dd
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：ab=cd⇒&b−aa=d−cc&a−ba+b=c−dc+d
4）等比性质：如果ab=cd=ef=⋯=mn=k， 那么a+c+e+⋯+mb+d+f+⋯+n=k(b+d+f+⋯+n≠0).
【补充】根据等比的性质可推出，如果ab=cd，则ab=cd=a+cb+d(b+d≠0).
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1）AC=5−12AB≈0.648AB (5−12叫做黄金分割值). 简记为：长全＝短长＝5−12
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EFDE或BCAC=EFDF或ABDE=BCEF等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以.
题型01 成比例线段
【例1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ）
A．2，5，6，8B．3，6，9，2C．1，2，3，4D．3，6，7，9
【答案】B
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【详解】解：A.∵2×8≠5×6，
∴2，5，6，8不能构成比例线段，不符合题意；
B.∵2×9=3×6，
∴3，6，9，2能构成比例线段，符合题意；
C.∵1×4≠3×2，
∴1，2，3，4不能构成比例线段，不符合题意；
D.∵3×9≠6×7，
∴3，6，7，9不能构成比例线段，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
【变式1-1】（2023·上海长宁·统考一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（ ）
A．8B．6C．4D．1
【答案】B
【分析】利用成比例线段的定义得到a:b=c:d，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得：a:b=c:d，
即1:2=3:d，
解得d=6．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段．
【变式1-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b= 厘米．
【答案】6
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到a:b=b:c，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当a:b=b:c时，线段b是线段a和c的比例中项．
【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，
∴a:b=b:c， 即b2=ac=3×12，
∴b=6cm，
故答案为：6 ．
题型02 图上距离与实际距离
【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的长度约为25cm，该路段的实际长度约为（ ）
A．3200mB．3000mC．2400mD．2000m
【答案】D
【分析】首先设它的实际长度是xcm然后根据比例尺的定义，即可得方程1:8000=25:x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【详解】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1:8000=25:x
解得：x=200000，
∵200000cm=2000m
∴该路段实际长度约为2000m
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
【变式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 cm．
【答案】5
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可．
【详解】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是250×1000×100×15000000=5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键．
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2x=3y（x≠0，y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．x2=y3D．xy=23
【答案】A
【分析】根据若ab=cd(b≠0，d≠0)，则ad=bc，进行逐一判断即可求解．
【详解】解：A.可化为2x=3y，故此项符合题意；
B. 可化为xy=6，故此项不符合题意；
C. 可化为3x=2y，故此项不符合题意；
D. 可化为3x=2y，故此项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例是性质，掌握性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．2a=3bB．a+b=5C．a+ba=52D．a+3b+2=1
【答案】C
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a:b=2:3，得a+ba=52，故本选项正确，符合题意；
D、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+3b+2=78，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
题型04 利用比例的性质求未知数的值
【例4】（2023·湖南郴州·模拟预测）若5−x:x=2:3，则x= ．
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到方程35−x=2x，再解方程即可求解．
【详解】解：∵5−x:x=2:3，
∴35−x=2x，
15−3x=2x，
解得x=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键．
【变式4-1】（2023·四川成都·统考二模）若ab=34，且a+b=7，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到3b=4a，结合a+b=7求得a的值即可．
【详解】解：由a：b=3：4知3b=4a，
所以b=43a.
所以由a+b=7得到：a+43a=7，
解得：a=3，
故答案为：3．
【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若ab=cd，则ad=bc．
题型05 利用比例的性质求代数式的值
【例5】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●−◆▲=◆●+▲，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．2:3:4B．2:4:3C．3:4:5D．3:5:4
【答案】B
【分析】可设▲●=●−◆▲=◆●+▲ =k，利用等比性质可得k的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到3个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可．
【详解】解：设▲●=●−◆▲=◆●+▲ =k，▲为x，●为y，◆为z，
∴k=x+y−z+zy+x+y+x=x+y2x+y=12，
∴x=12y,y−z=12x,z=12x+y，
∴y=2x,z=32x，
∴▲，●，◆这三种物体的重量比为2:4:3．
故选：B．
【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．
【变式5-1】（2023·上海虹口·统考一模）已知x:y=3:2，那么x−y:x= ．
【答案】1:3
【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵x:y=3:2，
∴y=23x，
∴x−y:x=x−23x:x=13x:x=1:3，
故答案为：1:3．
【变式5-2】（2023·宁夏银川·校考一模）若ba=dc=12a≠c，则2b−d2a−c= ．
【答案】12/0.5
【分析】根据等比性质、合比性质转换即可．
【详解】解：∵ba=dc=12a≠c，
∴2b2a=dc=12a≠c，
∴2b−d2a−c=12a≠c，
故答案为12．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，正确理解等比性质、合比性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江西抚州·校联考一模）解方程：
(1)xx−3=2x−6；
(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b−2c=15，求a−2b+3c的值．
【答案】(1)x1=3，x2=2；
(2)24
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解；
（2）由a:b:c=2:3:4，可设a=2k，则b=3k，c=4k，根据2a+3b−2c=15可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，进而可得出a、b、c的值，将其代入a−2b+3c中即可求出结论．
【详解】（1）解：移项得，xx−3−2x−3=0，
即x−3x−2=0，
即x−3=0或x−2=0，
解得：x1=3，x2=2；
（2）解：∵a:b:c=2:3:4，
∴设a=2k，则b=3k，c=4k．
∵2a+3b−2c=15，
∴4k+9k−8k=15，
解得：k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
∴a−2b+3c=6−18+36=24．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根据比例关系结合2a+3b−2c=15列出关于k的一元一次方程．
【变式5-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-509或6．
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，
k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k=2ab+c+d=2a−a=-2；
当k=23时，k2−3k−4=232−3×23−4=− 509；
当k=−2时，k2−3k−4=−22−3×−2−4=6．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
题型06 理解黄金分割的概念
【例6】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5−12D．ABAP=5−12
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴APAB=PBAP=5−12，
故选：A．
【变式6-1】（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（Partℎenn Temple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD:DC≈0.618，这体现了数学中的（ ）

A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵AD:DC≈0.618，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为5−12≈0.618是解本题的关键．
【变式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC．若AC=6 cm，则AB的长为 cm．
【答案】35+3/3+35
【分析】利用黄金比例列出方程解答即可．
【详解】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴ACAB=5−12，
∴6AB=5−12，
∴AB=35+3．
故答案为：35+3．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．
题型07 黄金分割的实际应用
【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5−12
C．AC=8−25D．矩形ABCD的周长C=25+2
【答案】C
【分析】计算得出AB=5−1，根据矩形的性质求得各项，即可判断．
【详解】解：∵ABBC=5−12，且BC=2，
∴AB=5−1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故选项A正确，不符合题意；
∴S△AOB=14S矩形ABCD=14×2×5−1=5−12，故选项B正确，不符合题意；
∴AC=5−12+22=10−25≠8−25，故选项C错误，符合题意；
∴矩形ABCD的周长C=25−1+2=25+2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2B．S12（舍去）或x=3−5，
检验，当x=3−5时，原分式方程有意义，
∴x=3−5，即AC=3−5，
∴BC=2−3−5=5−1，
∴该雕像的下部设计高度为5−1m，
故答案为：5−1．
【点睛】本题主要考查比例，解比例方程，理解题意，掌握比例的性质，解比例方程是解题的关键．
【变式7-3】（2023·江西鹰潭·统考二模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、我们知道：如图1，如果BCAC=ACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是___________；
(2)【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AEAC的值；
(3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点．
【答案】(1)5−12
(2)5−12
(3)见解析
【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB⋅AB=AC2，由AB=AC+CB，代入后整理得到CBAC2+CBAC−1=0，解方程即可得到答案；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由BD=BC=1得到AD=AB−BD=5−1，则AE=AD=5−1，即可得到AEAC的值；
（3）设EC与MN相交于点P，作PQ⊥EN于点Q，由MN∥AB，MN=AB，且M为AE的中点得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=MP=12AC，设PQ=MP=12AC=x，则PN=4−x，由勾股定理得到EN=25，由sin∠ENM=PQPN=EMEN得到x4−x=225，解得x=5−1，则AC=25−2，求出ACAB=5−12，BCAC=5−12，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵BCAC=ACAB，
∴CB⋅AB=AC2，
∵AB=AC+CB，
∴CB⋅AC+CB=AC2，
整理得，CB2+CB⋅AC−AC2=0，
两边同除以AC2得，CBAC2+CBAC−1=0，
解得CBAC=5−12，CBAC=−5−12（不合题意，舍去），
∴CB与AC的比值是5−12，
故答案为：5−12
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∵BD=BC=1，
∴AD=AB−BD=5−1，
∴AE=AD=5−1，
∴AEAC=5−12，
即AEAC的值为5−12；
（3）设EC与MN相交于点P，作PQ⊥EN于点Q，

∵MN∥AB，MN=AB，且M为AE的中点，
∴MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，
∵EC平分∠AEN，
∴PQ=MP=12AC，
设PQ=MP=12AC=x，
则PN=MN−PM=4−x，
∵EN=EM2+MN2=22+42=25，
∴sin∠ENM=PQPN=EMEN，
∴x4−x=225，
解得x=5−1，
经检验x=5−1是分式方程的根，
∴AC=2x=25−2，
∴ACAB=25−24=5−12，
BCAC=4−25−225−2=5−12，
∴BCAC=ACAB=5−12，
∴C是AB的黄金分割点．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理、正方形的性质、解方程等知识，正确做出辅助线是解题的关键．
【变式7-4】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．

(1)应用：如图1，若点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=1，则AC的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线．求证：点D是AC的黄金分割点．
(3)如图3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．BC=1，请你直接写出CM的长为__________．
【答案】(1)5−12
(2)证明见解析
(3)CM=5+12
【分析】（1）设AC=a，则BC=1−a，根据黄金分割的含义可得：BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，再解方程即可；
（2）证明△CBD∽△CAB，推出CDBC=BCAC，推出CDAD=ADAC，可得结论．
（3）如图，连接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，证明ME⊥AB，MB=MA，∠CAM=72°−36°=36°=∠BAC，可得C是BM的黄金分割点，且BCBC)，AB=1，
设AC=a，则BC=1−a，
∴BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，
∴a2=1−a，
∴a2+a−1=0，
解得：a=5−12（负根舍去），
∴AC=5−12；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴AD=BD，BC=BD， 即AD=BD=BC，
又∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴ CDBC=BCAC ，
∴CDAD=ADAC ，
∴D点是AC的黄金分割点．
（3）如图，连接AM，
同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，
∴AF=BF=BC=1，
∵E为AB的中点，AF=BF，
∴ME⊥AB，
∴MB=MA，

∴∠ABM=∠BAM=72°，∠AMB=36°，
∴∠CAM=72°−36°=36°=∠BAC，
同理可得C是BM的黄金分割点，且BC