第01讲 实数（6考点 28题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第01讲 实数
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc150257711" 考点一 实数的分类（高频考点）
\l "_Tc150257712" 题型01 实数的分类
\l "_Tc150257713" 题型02 无理数估值
\l "_Tc150257714" 题型03 相反意义的量
\l "_Tc150257715" 考点二 实数的相关概念（高频考点）
\l "_Tc150257716" 题型01 用数轴上的点表示数
\l "_Tc150257717" 题型02 求数轴上两点之间的距离
\l "_Tc150257718" 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
\l "_Tc150257719" 题型04 数轴上的动点问题
\l "_Tc150257720" 题型05 求一个数的相反数
\l "_Tc150257721" 题型06 多重符号化简
\l "_Tc150257722" 题型07 相反数的应用
\l "_Tc150257723" 题型08 求一个数的绝对值
\l "_Tc150257724" 题型09 化简绝对值
\l "_Tc150257725" 题型10 绝对值非负性的应用
\l "_Tc150257726" 题型11 利用几何意义化简绝对值
\l "_Tc150257727" 题型12 乘方运算
\l "_Tc150257728" 题型13 乘方的应用
\l "_Tc150257729" 考点三 科学记数法与近似数（高频考点）
\l "_Tc150257730" 题型01 用科学记数法表示数
\l "_Tc150257731" 题型02 求一个数的近似数
\l "_Tc150257732" 考点四 实数比较大小
\l "_Tc150257733" 题型01 利用数轴法比较实数大小
\l "_Tc150257734" 题型02 利用类比法比较实数大小
\l "_Tc150257735" 题型03 利用作差法比较实数大小
\l "_Tc150257736" 题型04 利用作商法比较实数大小
\l "_Tc150257737" 题型05 利用平方法比较实数大小
\l "_Tc150257738" 题型06 利用其它方法比较实数大小
\l "_Tc150257739" 考点五 平方根、算术平方根、立方根
\l "_Tc150257740" 题型01 求一个数的算术平方根
\l "_Tc150257741" 题型02 利用算术平方根的非负性解题
\l "_Tc150257742" 题型03 求一个数的平方根
\l "_Tc150257743" 题型04 已知一个数的平方根，求这个数
\l "_Tc150257744" 题型05 求一个数的立方根
\l "_Tc150257745" 考点六 实数的运算（高频考点）
\l "_Tc150257746" 题型01 实数的运算
考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：53100 QUOTE ?−3100 ）、1.333333…（分数形式：43）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，π3（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223⋅⋅⋅C．π3D．2
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．−2023C．12023D．0
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在−2,12,3,2中，是无理数的是（ ）
A．−2B．12C．3D．2
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．3B．2.1C．0D．−2
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．−5元B．0元C．+5元D．+10元
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上126°C，记作+126°C，夜间平均温度零下150°C，应记作（ ）
A．+150°CB．−150°CC．+276°CD．−276°C
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：2、35 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，π3等.
具有特定结构的数，如0.10100000（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．−2023C．12023D．−12023
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数7的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
题型02 求数轴上两点之间的距离
【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2B．﹣2C．2D．4或﹣4
【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为（ ）
A．−3B．0C．3D．−6
【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．

题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A．−c−cC．a−b=b−aD．c−a=a−c
【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．c(b−a)0
【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．ab>1B．−a0D．−ab>0
【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 0.(用“>”“0，ab；②a-b=0a=b；③a-bb
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/bb
3)任意负实数a，b，a/b>1a”“=”或“”，“=”或“