第33讲 统计（2考点+18题型+5类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第33讲 统计
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158641572" \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158641573" 考点一 数据的收集、整理与描述
\l "_Tc158641574" 题型01 调查收集数据的过程与方法
\l "_Tc158641575" 题型02 判断全面调查与抽样调查
\l "_Tc158641576" 题型03 总体、个体、样本、样本容量
\l "_Tc158641577" 题型04 抽样调查的可靠性
\l "_Tc158641578" 题型05 用样本估计总体
\l "_Tc158641579" 题型06 统计表
\l "_Tc158641580" 类型一 条形统计图
\l "_Tc158641581" 类型二 扇形统计图
\l "_Tc158641582" 类型三 折线统计图
\l "_Tc158641583" 类型四 频数分布直方图
\l "_Tc158641584" 类型五 频数分布折线图
\l "_Tc158641585" 题型07 频数与频率
\l "_Tc158641586" 题型08 借助调查结果做决策
\l "_Tc158641587" 考点二 数据分析
\l "_Tc158641588" 题型01 与算术平均数有关的计算
\l "_Tc158641589" 题型02 与加权平均数有关的计算
\l "_Tc158641590" 题型03 与中位数有关的计算
\l "_Tc158641591" 题型04 与众数有关的计算
\l "_Tc158641592" 题型05 与方差有关的计算
\l "_Tc158641593" 题型06 与极差有关的计算
\l "_Tc158641594" 题型07 与标准差有关的计算
\l "_Tc158641595" 题型08 根据已知数据，判断统计量是否正确
\l "_Tc158641596" 题型09 利用合适的统计量做决策
\l "_Tc158641597" 题型10 根据方差判断稳定性
考点一 数据的收集、整理与描述
1. 全面调查与抽样调查
【使用抽象调查时的注意事项】抽样时注意样本的代表性和广泛性．
【小技巧】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．所以要根据调查目的、调查对象等因素，合理选择调查方法，不能凭主观臆想随意选择．
2. 总体、个体、样本及样本容量
3. 几种常见的统计图
1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个数（频数）之比.
2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少.
3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致.
4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据.
题型01 调查收集数据的过程与方法
【例1】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序：
①得出结论，提出建议；
②分析数据；
③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示．
合理的排序是（ ）
A．③②④①B．③④②①C．③④①②D．②③④①
【答案】B
【分析】直接根据调查收集数据的过程与方法分析排序即可．
【详解】解：统计的主要步骤依次为：
从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
利用统计图表将收集的数据整理和表示；
分析数据；
得出结论，提出建议，
故选：B．
【点睛】本题主要考查调查收集数据的过程与方法，熟练掌握调查的过程是解答此题的关键．
【变式1-1】（2023·四川南充·统考一模）垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是( )
A．②→③→①B．②→①→③C．③→①→②D．③→②→①
【答案】A
【分析】根据统计数据收集处理的步骤即可得出结果．
【详解】解：按照统计步骤，先②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，然后③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，最后得出①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，
∴正确的步骤为：②→③→①，
故选：A．
【点睛】题目主要考查统计数据收集处理的步骤，理解题意是解题关键．
【变式1-2】（2023·云南昆明·云大附中校考三模）每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动，
(1)有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是________；（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表
三、分析数据，解答问题：
(2)表中m=______，n=_______，调查视力数据的中位数所在类别为_____类；
(3)该校共有学生1600人，请估计该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的一共有多少人?
【答案】(1)方案三
(2)64，120，B
(3)704人
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）根据A类求出总人数，再根据B类的占比求出m，再结合总人数求出n，根据中位数的定义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可；
【详解】（1）解：根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）由题意可得，调查的总人数为：160÷40%=400（人），
由题意可知，m=400×16%=64（人），
n=400−160−64−56=120，
第200位和第201位均为B类，则调查视力数据的中位数所在类别为B类；
故答案为：64；120；B；
（3）1600×56+120400=704（人），
所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
题型02 判断全面调查与抽样调查
【例2】（2023·浙江嘉兴·统考一模）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
【答案】A
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
【变式2-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【变式2-2】（2022·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）下列说法中正确的是（ ）
A．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
B．为调查某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，采用普查的方式
C．为了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
D．了解小米手机的使用寿命，采用抽样调查的方式
【答案】D
【分析】根据抽样调查和全面调查的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项A不正确；
为调查某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式，故选项B不正确；
为了解全市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故选项C不正确；
了解小米手机的使用寿命，采用抽样调查的方式，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握抽样调查和全面调查的性质，从而完成求解．
题型03 总体、个体、样本、样本容量
【例3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ）
A．总体是该校4000名学生的体重B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的400名学生的体重D．样本容量是400
【答案】B
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体是指所要考查对象的全体；个体是指每一个考查对象；样本是指从总体中抽取的部分考查对象称为样本；样本容量是指样本所含个体的个数(不含单位)．
【详解】解：A、总体是该校4000名学生的体重，此选项正确，不符合题意；
B、个体是每一个学生的体重，此选项错误，符合题意；
C、样本是抽取的400名学生的体重，此选项正确，不符合题意；
D、样本容量是400，此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体和样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数量，不能带单位．
【变式3-1】（2023·江苏无锡·统考二模）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300
C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体
【答案】B
【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐一判断即可解答．
【详解】解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是300，故此选项符合题意；
C、2000名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式3-2】（2023·福建龙岩·统考一模）某市有3万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．3万名考生是总体B．每名考生的数学成绩是个体
C．2000名考生是总体的一个样本D．2000名是样本容量
【答案】B
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A、3万名学生的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名考生的数学成绩是个体，故B符合题意；
C、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、2000是样本容量，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了个体，总体，样本，样本容量等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
题型04 抽样调查的可靠性
【例4】（2022·河南南阳·统考一模）为了解游客在开封、洛阳和安阳这三个城市旅游的满意度，数学小组的同学商议了几个收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在洛阳调查1000名游客；方案三：在开封调查1000名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客．其中最合理的是（ ）．
A．方案一B．方案二C．方案三D．方案四
【答案】D
【分析】采取抽样调查时，应能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏差的可能性是极小的，样本对总体的代表性很强．
【详解】解：方案一、方案二、方案三选项选择的调查对象没有代表性．
方案四在三个城市各调查1000名游客，具有代表性．
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性．抽样调查是实际中经常用采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体情况．否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况．
【变式4-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）抽样调查放学时段，学校附近某路口车流量情况的样本中，下列最合适的是（ ）
A．抽取一月份第一周为样本B．抽取任意一天为样本
C．选取每周日为样本D．每个季节各选两周作为样本
【答案】D
【分析】根据样本是总体中所抽取的一部分个体，样本要具有代表性，可得答案．
【详解】A：样本容量太小，不具代表性，故A错误；
B：样本容量太小，不具代表性，故B错误；
C：样本不具代表性，故C错误；
D：春夏秋冬各选两周作为样本，样本具代表性，故D正确；
故选D
【点睛】本题考查了样本，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本要具有代表性．
【变式4-2】（2022·河南新乡·统考二模）小明、小红、小亮三名同学想要了解本市老年人的健康状况，他们各自进行了如下调查．
小明；周末去医院随机询问了100个老年人的健康状况．
小红：放学之后去广场上随机询问了100名跳广场舞的老年人的健康状况．
小亮：放学后在本市区随机询问了100名老年人的健康状况．
他们三个的调查结果， 同学的更可靠．（填“小明”“小红”或“小亮”）
【答案】小亮
【分析】根据抽样调查的意义以及抽样调查的可靠性进行判断即可．
【详解】为确保所抽取样本的广泛性，代表性和可靠性即可知小亮同学的调查更可靠，
故答案为：小亮.
【点睛】本题考查抽样调查，数据的收集和整理的过程和方法，理解抽取样本的广泛性，代表性和可靠性是解题关键．
题型05 用样本估计总体
【例5】（2023·河北·模拟预测）嘉淇调查了本班学生最喜欢的体育项目情况，并绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图被撕坏了一部分，则m与n的和为（ ）
A．24B．26C．52D．54
【答案】C
【分析】根据喜欢乒乓球的人数和扇形图的圆心角可以求出总人数，再求出乒乓球和足球的百分比的和，即可求出m与n的和．
【详解】解：调查的学生总人数为：10÷72360=50（人），
乒乓球和足球的百分比的和为10+1450×100%=48%，
∴m%+n%=100%−48%=52%，
∴m+n=52．
故选：C．
【点睛】本题考查条形统计图、房形统计图、用样本估算总体等知识，明确题意，数形结合是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023·北京朝阳·统考一模）某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（ ）
A．64B．380C．640D．720
【答案】C
【分析】用2000乘以样本中喜欢“木工”的人数占比即可得到答案．
【详解】解：2000×32%=640人，
∴估计喜欢木工的人数为640人，
故选C．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．
【变式5-2】（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
【答案】120
【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．
【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，
∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为400×1240=120双．
故答案为：120
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．
【变式5-3】（2023·广东梅州·校考模拟预测）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔条件的人数为 ．
【答案】900人
【分析】符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的百分率，列出算式计算即可求解．
【详解】解：1200×(300÷400)=900（人）．
故答案是：900人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率．
题型06 统计表
类型一 条形统计图
【例6】（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）
A．套餐一B．套餐二C．套餐三D．套餐四
【答案】A
【分析】通过条形统计图可以看出套餐一出现了50人，最多，即可得出答案．
【详解】解：通过观察条形统计图可得：套餐一一共出现了50人，出现的人数最多，因此通过利用样本估计总体可以得出学生最喜欢的套餐种类是套餐一；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，明白条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，从条形统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【变式6-1】（2022·云南·统考一模）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，2012−2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
【答案】A
【分析】用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；
用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B；
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C；
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D．
【详解】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，符合题意；
B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意；
C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意；
D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
【变式6-2】（2021·广东中山·校联考一模）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
【答案】(1)80
(2)作图见解析
(3)480
【分析】（1）利用操舞类的人数以及操舞类学生所占调查人数的比例，可求出抽取的总人数．
（2）根据总人数以及其他类学生的人数可计算出武术类学生人数，进而将统计图补充完整即可．
（3）利用样本估计总体，先算出样本中喜欢球类学生所占的比例，再乘以总人数即可．
【详解】（1）解：20÷25%=80（名）
∴在这次调查中，一共抽取了80名学生．
（2）解：80−16−24−20=20（名）
补全统计图如图
（3）解：1600×2480=480（名）
∴估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．
【点睛】本题主要考查了条形统计图以及用样本估计总体，能够利用统计图获取重要信息是解决问题的关键．
【变式6-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8
(1)补全月销售额数据的条形统计图．
(2)月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？
(3)根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？
【答案】(1)作图见解析；
(2)月销售额在4万元的人数最多；中间的月销售额为5万元；平均数为7万元；
(3)月销售额定为7万元合适，
【分析】（1）根据所给数据确定销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人，然后补全条形统计图即可；
（2）根据众数、中位数及平均数的计算方法求解即可；
（3）根据题意，将月销售额定为7万元合适．
【详解】（1）解：根据数据可得：销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人；补全统计图如图所示：
（2）由条形统计图可得：月销售额在4万元的人数最多；
将数据按照从小到大排序后，中间的月销售额为第8名销售员的销售额为5万元；
平均数为：3×1+4×4+5×3+7×1+8×2+10×3+18×115=7万元；
（3）月销售额定为7万元合适，给予奖励，可以激发销售员的积极性，振兴乡村经济．
【点睛】题目主要考查条形统计图及相关统计数据的计算方法，包括众数、中位数、平均数，以及利用平均数做决策等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
类型二 扇形统计图
【例7】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（ ）
A．75人B．90人C．108人D．150人
【答案】B
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【详解】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，
劳动实践小组有：300×30%=90（人），
故选：B．
【点睛】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．
【变式7-1】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，文博学校对学生上学方式进行抽样调查的结果，绘制了一个不完整的扇形统计图，已知文博学校共有4000名学生，被调查的学生中乘车的有18人，则下列四种说法中，正确的是（）
A．扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为45°
B．被调查的学生中，步行的有27人
C．估计全校骑车上学的学生有700人
D．被调查的学生有120人
【答案】D
【分析】根据被抽查的学生中乘车的人数及所占比例，即可求得被调查的学生总人数；根据扇形统计表中的比例关系即可求得每种方式各自有多少人，即可作出判断；用360°乘15%即可求出乘车部分所对应的圆心角度数．
【详解】解：因为乘车的有18人，占总调查人数的15%，
所以调查的总人数为：18÷15%=120（人），故选项D符合题意；
被调查的学生中，步行的有：120×(1−5%−35%−15%)=54（人），不选项B不符合题意；
扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为：360°×15%=54°，故选项A不符合题意；
估计全校骑车上学的学生有：4000×35%=1400（人），故选项C不符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了扇形统计图以及用样本估计总体，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，正确求出调查的总人数是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023·江苏苏州·统考二模）如图是某饰品店甲，乙，丙，丁四种饰品出售情况的扇形统计图，若想销量更大，获利更多，该店进货时，应多进的饰品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】根据各个部分所占百分比的大小进行判断即可．
【详解】解：“丁”所占的百分比为1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
由于35%＞30%＞25%＞10%，
所以进货时，应多进的饰品“丙”，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形统计图，理解各个部分所占整体的百分比的大小是正确判断的前提．
【变式7-3】（2022·浙江温州·统考一模）如图是某班证明勾股定理的学生人数统计图．若会三种证法的人有6人，则会两种证法的人数有（ ）
A．4人B．6人C．14人D．16人
【答案】D
【分析】先求出总人数，再用总人数乘以40%，即可求解．
【详解】解：根据学生的总人数为6÷15%=40人，
∴会两种证法的人数有40×40%=16人．
故选：D
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，能准确从统计图获取信息是解题的关键．
【变式7-4】（2022·黑龙江大庆·统考二模）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【分析】根据扇形图所给信息，结合题目已知条件，逐项分析即可．
【详解】①根据扇形统计图的圆心角的度数，可知三类不同地区的分布的角度为比为：
90°:60°:210°=3:2:7，正确；
②140÷60°360°=840，则总数为840人，判断不正确；
③分别随机抽取30、20、70人是按照①分布情况抽取的，符合抽样调查的原则，判断正确．
∴ ②不正确，共1个
故答案为：C
【点睛】本题考查了扇形统计图，求样本的容量，抽样调查等知识点，能正确处理扇形统计图的中的信息是解题的关键．
【变式7-5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援，某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
【答案】C
【分析】分别计算单独生产各型号帐篷的天数，可判断A，B，C，再根据条形统计图的数据判断D即可．
【详解】解：A、单独生产B型帐篷的天数是20000×30%1500=4天，
单独生产C型帐篷的天数是20000×15%3000=1天，
4÷1=4，故错误；
B、单独生产A型帐篷天数为20000×45%4500=2天，
4÷2=2≠1.5，故错误；
C、单独生产D型帐篷的天数为20000×10%1000=2天，
2=2，故正确；
D、4500＞3000＞1500＞1000，
∴每天单独生产A型帐篷的数量最多，故错误；
故选C．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，解题的关键是读懂题意，明确单独生产某一种帐篷的天数的计算方法．
类型三 折线统计图
【例8】（2022·福建·统考模拟预测）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）
A．F1B．F6C．F7D．F10
【答案】D
【分析】根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．
【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到F10的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是F10，
故选：D．
【点睛】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键．
【变式8-1】（2023·湖南株洲·模拟预测）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．平均数是9环B．中位数是9环C．众数是9环D．方差是0.8
【答案】D
【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解
【详解】解：根据题意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，
A、平均数是1109.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9+8.6+9+9+9.4=9环，故本选项正确，不符合题意；
B、中位数是9+92=9环，故本选项正确，不符合题意；
C、9出现的次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意；
D、方差是1108.4−92+8.6−92+8.8−92+9−92+9−92+9−92+9.2−92+9.2−92+9.4−92+9.4−92=0.096 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．
【变式8-2】（2023·福建三明·统考一模）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义进行分析求解即可．
【详解】计算A、B西瓜质量的平均数：xA=17(4.9+5.0+5.0+5.0+5.0+5.1+5.2)≈5.03，
xB=17(4.4+5.0+5.0+5.0+5.2+5.3+5.4)≈5.04，差距较小，无法反映两组数据的差异，故A错误；
可知A、B两种西瓜质量的中位数都为5.0，故B错误；
可知A、B两种西瓜质量的众数都为5.0，C错误；
由折线图可知A种西瓜折线比较平缓，故方差较小，而B种西瓜质量折线比较陡，故方差较大，则方差最能反映出两组数据的差异，D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的定义，难度较小，熟练掌握其定义与计算方法是解题的关键．
【变式8-3】（2022·云南文山·统考三模）随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
【答案】D
【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【详解】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500（名），故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第4月增长的“优秀”人数为500×17%−500×13%=20（人），第3月增长的“优秀”人数500×13%−500×10%=15（人），故不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：500×17%=85（人），故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
类型四 频数分布直方图
【例9】（2023·广西·模拟预测）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）；
(2)统计表中，x＝ ，y＝ ；
(3)补全频数分布直方图；
(4)在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 学校（选填“A”或“B”）；
(5)按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 人．
【答案】(1)抽样
(2)18,74.5
(3)见解析
(4)A
(5)920
【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y；
（3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图；
（4）根据方差即可判断；
（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【详解】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
（2）x=50-5-15-8-4=18，
中位数为第25个和第26个平均数74+752=74.5,
故答案为：18，74.5．
（3）补全频数分布直方图：

（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
127.36＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
（5）500×5+15+18+850+500×7+10+12+1750=920（人）
故答案为：920．
【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【变式9-1】（2023·湖南湘西·统考一模）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x=________，y=________，并将直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________；
(3)若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】(1)30%，16%，图见解析
(2)95、94
(3)192人
(4)12
【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：被调查的总人数为4÷8%=50（人），
∴优秀对应的百分比y=850×100%=16%，
则一般对应的人数为50-（4+23+8）=15（人），
∴其对应的百分比x=1550×100%=30%，
补全图形如下：

故答案为：30%，16%．
（2）解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为94+962=95，出现次数最多的是94，故众数为94，
故答案为：95，94；
（3）解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）；
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人 ．
（4）解：画树状图为：

共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为612=12．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
【变式9-2】（2023·山东聊城·统考一模）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a=________，b=________，n=________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数．
【答案】(1)14，0.15，40；
(2)补图见解析；
(3)约有180人
【分析】从频数分布表中得知，频数4占比例为0.1，由此可推出样本容量是40，在求出n=40后，a和b可随之求出，继而（2）可解决；接下来，从样本去估计总体，就是（3）的结果．
【详解】（1）n=4÷0.1=40
a=40-（4+7+6+9）=14，
b=6÷40=0.15
故a= 14 ，b= 0.15 ，n= 40
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有9+6=15人，占频率0.225+0.15=0.375，
以此估计全年级480人中，大概有480×0.375=180（名）．
【点睛】本题主要考查了统计和概率，总体和样本；能够准确的根据频数分布表和直方图计算样本和总体的各项数据是解题的关键．
【变式9-3】（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中a=___________，b=___________，c=___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【答案】(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为12
【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）a=150−15−45−60=30，
b=45150=0.3，
c=60150=0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）用A,B,C分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：
共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴P（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生）=612=12，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为12．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
类型五 频数分布折线图
【例10】（2023·宁夏银川·校考一模）为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题．
(1)填空a=______，b=______；
(2)现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？
(3)若规定成绩8分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？
【答案】(1)8,8
(2)九年级
(3)九年级的获奖率高
【分析】（1）根据折线图的信息即可求解；
（2）九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解；
（3）根据各班获奖人数的比例即可求解．
【详解】（1）解：八年级：6分的有7人，7分的有15人，8分的有10人，9分的有7人，10分的有11人，
八年级：6分的有8人，7分的有9人，8分的有14人，9分的有13人，10分的有6人，
∴根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25,26个人的分数的一半，即8+82=8，
∴b=8，
根据众数的定义可得，九年级的众数是8，
∴a=8，
故答案为：8,8．
（2）解：九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
∴应该给九年级颁奖．
（3）解：八年级8分及以上的学生有10+7+11=28（人），九年级8分及以上的学生有14+13+6=33（人），
∴八年级的优秀率为2850×100%=56%，九年级的优秀率为3350×100%=66%，
∵56%<66%，
∴九年级的获奖率高．
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握中位数，众数，方差的意义，通过计算概率作决策是解题的关键．
【变式10-1】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．
(1)填写下列表格
(2)已求得甲同学6次成绩的方差为1336（分2），求出乙同学6次成绩的方差；
(3)你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
【答案】(1)91、90、85
(2)1003
(3)选择甲，理由见解析
【分析】（1）根据中位数、平均数、众数的计算方法求解即可；
（2）根据方差公式即可得出答案；
（3）通过比较甲、乙二人的平均数、方差得出答案．
【详解】（1）将甲的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为89+932＝91，
因此甲的中位数是91分；
乙的成绩的平均数为85+85+85+90+95+1006＝90（分），
乙的成绩的众数为85分
故答案为：91，90，85；
（2）乙同学的方差是：
16[95−902+85−902+90−902+85−902+100−902+(85−90)2]=1003．
（3）选择甲同学．
因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提．
【变式10-2】（2022·辽宁沈阳·统考一模）为了了解某射击队中各队员的射击水平，从中随机抽取甲、乙两名队员10次射击训练成绩，将获得的数据整理绘制成不完整的统计图．
教练又根据甲、乙两名队员射击成绩绘制了数据分析表：
根据图表中提供的信息，请解答下列问题：
(1)在答题卡上直接补全条形统计图；
(2)请直接写出a=______，b=______，c=______．
【答案】(1)见解析
(2)7.5，6或9，1.2
【分析】（1）根据题意求出8环的次数即可补图；
（2）和统计图中的数据，可以分别计算出a、b、c的值．
【详解】（1）解：设命中8环的次数为x，
根据1+2+x+1+2=10，
解得：x=4，
补图如下：
（2）解：甲的平均成绩为8，
其方差c=110×[(6−8)2+2×(7−8)2+4×(8−8)2+2×(9−82)+(10−8)2]
=110×(4+2+2+4)
=1.2，
乙组成绩按照从小到大排列是：5，6，6，6，7，8，9，9，9，10，
a=(7+8)÷2=7.5，
众数b=6或9，
故答案为：7.5，6或9，1.2．
【点睛】本题考查频数分布直方图、折线统计图、方差、中位数、众数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型07 频数与频率
【例11】（2023·上海浦东新·统考二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么30−40元这个小组的组频率是（ ）
A．14B．25C．56D．78
【答案】B
【分析】根据频率等于频数除以总数进行计算即可．
【详解】解：由图可知，30−40元这个小组的频数为：80人，
∴30−40元这个小组的频率为：80200=25，
故选：B．
【点睛】本题考查了频率，熟记频率等于频数除以总数是解题的关键．
【变式11-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是 ．
【答案】4
【分析】首先根据频率＝频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
【详解】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是 10+5+7+640=0.7．
又∵第五组的频率是0.2，
∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.2）=0.1，
∴第六组的频数为：40×0.1=4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
【变式11-2】（2023·江西南昌·统考二模）体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为 ．
【答案】0.48
【分析】由频率的计算公式计算即可．
【详解】解：频数总和为：1+4+8+10+2=25，
则该班女生获得优秀的频率为：10+225=0.48；
故答案为：0.48．
【点睛】本题考查了频数分布表、求频率，掌握频率计算公式是关键．
题型08 借助调查结果做决策
【例12】（2022·广西·统考二模）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示）并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
如何看待数字化阅读问卷调查表
您好！这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调查表，请在表格中选择一项您最认同的观点，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
(1)本次接受调查的总人数是______人．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在扇形统计图中，观点E的百分比是______，表示观点B的扇形的圆心角度数为______度．
(4)假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
【答案】(1)5000
(2)条形统计图补充完整见解析
(3)4%，18
(4)应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往
【分析】（1）根据A类观点人数÷A类所占的百分比＝调查的人数即可求得结果；
（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；
（3）根据E类观点人数÷调查总人数×100%＝所占的百分比即可求解；
根据B类观点人数÷调查总人数×100%＝所占的百分比，然后根据360°×B类观点人数所占百分比＝圆心角度数即可求解；
（4）根据调查结合统计图，给出建设性建议即可．
【详解】（1）230046%=5000（人）
则本次接受调查的总人数是5000人；
（2）C类观点人数=5000×30%=1500（人）
如图所示
（3）持观点 E 的人数所占的百分比=200÷5000×100%=4%
250÷5000×100%=5%
360°×5%=18°
则观点 B的扇形的圆心角度数为18°
（4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．扇形统计图能清楚地表示出各部分的量与总量的关系
【变式12-1】（2022·河南洛阳·统考二模）短视频因其交互性强、地域不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答：
(1)本次参加抽样调查的居民有_____________人；
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统图中A所对圆心角的度数为_____________．
(3)请根据统计情况，对短视频的去留提出合理化建议．
【答案】(1)50
(2)图见解析，108°
(3)①保留短视频；②加强管控与引导．（答案不唯一）
【分析】（1）根据B的人数与所占比例即可求解；
（2）根据总人数减去A，B，D类的人数可得C的人数，进而补全统计图，根据A的人数除以50再乘以360°即可求解；
（3）根据扇形统计图数据结合题意给出合理化建议即可．
【详解】（1）本次参加抽样调查的居民有5÷10%=50人，
故答案为：50；
（2）C的人数为50−15−5−20=10（人）
补全条形统计图如下：
扇形统图中A所对圆心角的度数为：1550×360°= 108°
（3）①保留短视频；②加强管控与引导．（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【变式12-2】（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0⩽x<0.5），第二组（0.5⩽x<1），第三组（1⩽x<1.5），第四组（1.5⩽x<2），第五组（x⩾2）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】(1)第二组
(2)175人
(3)该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多指导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总量
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据扇形统计图求出C所占的比例再计算即可；
（3）根据统计图反应的问题回答即可．
【详解】（1）1200人的中位数是按从小到大排列后第600和601位的平均数，而前两组总人数为308+295=603
∴本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第二组；
（2）由扇形统计图得选择“不喜欢”的人数所占比例为1−43.2%−30.6%−8.7%=17.5%
而扇形统计图只统计不足两小时的人数，总人数为1200-200=1000
∴选择“不喜欢”的人数为1000×17.5%=175（人）
（3）答案不唯一、言之有理即可．
例如：该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多指导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总量；③学校开设劳动拓展课程：等等．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【变式12-3】（2023·内蒙古包头·校考三模）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：
请根据统计表中的信息回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
(3)研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【答案】(1)8;0.48
(2)252人
(3)建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业
【分析】（1）按照频率=频数÷总体数量进行求解，根据睡眠时间t<7组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照频率=频数÷总体数量进行求解，即可得到a，b的值．
（2）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足9小时的人数．
（3）根据（2）中结果，即可知道该学校每天睡眠不足9小时的人数，根据实际情况提出建议．
【详解】（1）根据睡眠时间t<7组别的频数和频率，本次调查的总体数量=频数÷频率=30.06=50
∴睡眠时间7≤t<8组别的频数a=50×0.16=8.
∴睡眠时间9≤t<10组别的频率b=2450=0.48.
故答案为：8;0.48
（2）∵每天的睡眠时间不足9小时的人数的频率之和为0.20+0.16+0.06=0.42
∴该校600名八年级学生中睡眠不足9小时的人数为600×0.42=252（人）．
（3）根据（2）中求得的该学校每天睡眠时长低于9小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=频数÷总体数量，解答本题的关键是掌握频率，频数和总体数量的关系．
考点二 数据分析
【小技巧】
1）数据x1,x2,…,xn的平均数为x,则x1±a,x2±a,…,xn±a的平均数为x+a；kx1,kx2,…,kxn的平均数为kx.（其中a，k为常数）
2）一组数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则x1±b,x2±b,…,xn±b的方差为s2；ax1±b,ax2±b,…,axn±b的方差为a2s2.
题型01 与算术平均数有关的计算
【例1】（2022·江苏·统考模拟预测）已知两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2，则x1＋3y1，x2＋3y2，…，xn＋3yn的平均数为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
【答案】A
【分析】根据两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2，列出式子，然后求解即可．
【详解】解：两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2
可知x1+x2+……+xn=2n，y1+y2+……+yn=−2n
∴x1＋3y1，x2＋3y2，…，xn＋3yn的平均数为1n(x1+3y1+x2+3y2+……+xn+3yn)
=1n(x1+x2+……+xn+3y1+3y2+……+3yn)
=1n[2n+3×(−2n)]
=−4
故答案为：A
【点睛】本题考查了平均数的求解，解题的关键是掌握平均数的求解方法，利用整体代入求解．
题型02 与加权平均数有关的计算
【例2】（2023·浙江温州·统考三模）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树 株．
【答案】5
【分析】根据加权平均数公式即可解决问题．
【详解】解：观察图形可知：x=15（4+3+7+4+7）=5，
∴平均每组植树5株．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了加权平均数，解决本题的关键是掌握加权平均数公式．
【变式2-1】（2022·河南郑州·一模）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可
【详解】根据题意,得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
故选B
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
【变式2-2】（2022·河南郑州·统考一模）小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ）
A．87分B．87.5分C．88.5分D．89分
【答案】C
【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：85×60%＋95×30%＋90×10%＝88.5（分），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
【变式2-3】（2020·安徽滁州·统考二模）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A．1.95元B．2.15元C．2.25元D．2.75元
【答案】C
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25（元），
故选C．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
题型03 与中位数有关的计算
【例3】（2023·内蒙古·一模）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6B．9.7C．9.8D．9.9
【答案】C
【分析】根据中位数的概念分析即可．
【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，则中位数为9.8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
【变式3-1】（2022·江苏南京·统考二模）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】由平均数定义可得a+b的值，再由中位数的定义可知a、b中必有一个是小于4的，即可得出答案．
【详解】解：∵数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，
∴1+2+3+4+5+a+b=7×4=28 ，
∴a+b=13 ，
将此组数据由小到大排列，则第4个数据即为中位数，
又∵该组数据的中位数小于4，
∴a，b两数中必有一个值小于4，
∵a+b=13，
∴a，b两数中较大的数的值大于9，
∴a的值可能是10．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据从小到大排列，若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数；熟练掌握平均数和中位数定义是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
【答案】146
【分析】根据中位数的概念计算即可．
【详解】解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2=146（人）．
故答案为：146．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息是解答本题的关键．
题型04 与众数有关的计算
【例4】（2023·新疆·统考一模）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ）
A．5分B．4分C．3分D．45%
【答案】B
【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可；
【详解】解：由扇形统计图可知：
1分所占百分比：5%；
2分所占百分比：10%；
3分所占百分比：25%；
4分所占百分比：45%；
5分所占百分比：15%；
可知，4分所占百分比最大，故4分出现的次数最多，
∴所打分数的众数为4；
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数的概念，扇形统计图，理解扇形统计图中最大百分比是所打分数的众数，这是解本题的关键．
【变式4-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15B．14，15C．13，18D．15，15
【答案】D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数15+152=15，众数为15．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
【变式4-2】（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
【答案】4
【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【详解】解：∵2，3，x，1，5，7的众数为7，
∴x=7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、6、7，
则中位数为3+52=4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
【变式4-3】（2021·江苏泰州·校考一模）若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，则这组数据的平均数为 ．
【答案】86.2
【分析】给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．首先根据众数和中位数确定x，y的值，再根据平均数的定义即可求解．
【详解】解：∵一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，
∴这组数据未知的两个数是81，85，
∴这组数据的平均数为81+81+85+90+945＝86.2．
故答案为：86.2．
【点睛】本题考查了算术平均数、中位数、众数的求法，熟练中位数、平均数的运算方法是解题的关键．
题型05 与方差有关的计算
【例5】（2022·安徽亳州·统考二模）在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：s2=15[(8−x)2+2(6−x)2+(9−x)2+(11−x)2]，根据公式不能得到的是（ ）
A．众数是6B．方差是6C．平均数是8D．中位数是8
【答案】B
【分析】由方差公式确定这组数据为6、6、8、9、11，再根据众数、中位数、平均数和方差的定义求解即可．
【详解】解：由方差的计算公式可知，这组数据为6、6、8、9、11，
所以这组数据的平均数为6+6+8+9+115=8，众数为6，中位数为8，
方差为s2=15[2×(6−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(11−8)2]=3.6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方差、平均数、众数和中位数的知识，解题关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据．
【变式5-1】（2022·安徽铜陵·统考模拟预测）一组数据：2，0，4，-2，这组数据的方差是（ ）
A．0B．1C．5D．20
【答案】C
【分析】先计算平均数，进而根据方差公式进行计算即可，方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]
【详解】解：∵x=14×2+0+4−2=1
∴s2=14[(2−1)2+(0−1)2+(4−1)2+(−2−1)2] =5
故选C
【点睛】本题考查了求方差，掌握方差公式是解题的关键．
【变式5-2】（2021·河北石家庄·校考一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式s2=2−x2+(3−x)2+(3−x)2+(4−x)2n，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4B．样本的中位数是3C．样本的众数是3D．样本的平均数是3.5
【答案】D
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为2,3,3,4
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是3+32=3，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是2+3+3+44=3，选项D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键．
【变式5-3】（2023·贵州遵义·统考一模）某组数据的方差计算公式为S2=22−x2+33−x2+25−x2n，由公式提供的信息如下：①样本容量为3；②样本中位数为3；③样本众数为3；④样本平均数为103；其说法正确的有（ ）
A．①②④B．②④C．②③D．③④
【答案】C
【分析】根据题意可得该组数据为2，2，3，3，3，5，5，再由样本容量，中位数，众数，平均数的意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该组数据为2，2，3，3，3，5，5，
∴样本容量为7，故①错误；
把这一组数据从小到大排列后，位于正中间的数为3，
∴样本中位数为3，故②正确；
3出现的次数最多，
∴样本众数为3，故③正确；
样本平均数为172+2+3+3+3+5+5=237，故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了求样本容量，中位数，众数，平均数，熟练掌握样本容量，中位数，众数，平均数的意义是解题的关键．
题型06 与极差有关的计算
【例6】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）已知一组数据：3,−2,4,−3,0,−4,2，这组数据的平均数和极差分别是( )
A．0，8B．−1，7C．0，7D．−1，8
【答案】A
【分析】根据平均数和极差的计算方法，即可求解．
【详解】解：由题意得，
这组数据的平均数是3+−2+4+−3+0+−4+27=0，
∵−4<−3<−2<0<2<3<4．
∴这组数据的最大值是4，最小值是−4．
∴这组数据的极差是4−−4=8．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求平均数和极差，熟练掌握平均数和极差的计算方法是解题的关键．
【变式6-1】（2023·陕西西安·统考一模）如图，曲线表示一只蝴蝶某次飞行高度ℎm与飞行时间ts的关系图，那么本次飞行的高度极差为（ ）
A．2mB．4mC．8mD．6m
【答案】C
【分析】根据图像可得：当t=2时，飞行高度的最小值ℎ=5；当t=3时，飞行高度的最大值ℎ=13，再根据极差的公式：极差＝最大值－最小值即可得到答案．
【详解】解：根据图像可得：
当t=2时，飞行高度的最小值ℎ=5，
当t=3时，飞行高度的最大值ℎ=13，
∴本次飞行的高度极差为13−5=8m．
故选：C．
【点睛】本题考查根据函数图像获取信息，并利用信息解决问题．从函数图像中获取信息是解题的关键．也考查了极差及有理数的减法的应用．
【变式6-2】（2021·山东临沂·统考二模）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（ℎ）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据极差的定义，分别从t=0、0【详解】当t=0时，极差y2=85−85=0，
当0当10当20故选B．
【点睛】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．
题型07 与标准差有关的计算
【例7】（2021·湖北黄石·模拟预测）已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准差为（ ）
A．0B．1C．2D．2
【答案】C
【详解】由题意得：a+4+2+5+3=3×5，解得：a=1，
∴这个样本的标准差=15[(1−3)2+(4−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2=2.
故选C.
点睛：（1）一组数据的标准差是这组数据方差的算术平方根；（2）一组数据的方差计算公式为：S2=1n=[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]，其中“S2”表示该组数据的方程，x1到xn表示数据组中的每个数据，x表示该组数据的平均数.
【变式7-1】（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( )
A．平均数是80B．极差是15C．中位数是80D．标准差是25
【答案】D
【分析】根据平均数，中位数，方差，极差的概念逐项分析．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；利用方差公式计算方差，利用平均数和极差的定义可分别求出．
【详解】A. 由平均数公式求得：80+90+75+75+80+80÷6=80，故此选项正确，不符合题意；
B. 极差是90−75=15，故此选项正确，不符合题意；
C. 把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，故此选项正确，不符合题意；
D. S2= 16 [(80−80)2+(80−90)2+(75−80)2+(75−80)2+(80−80)2+80−80)2=25，故标准差为：25=5，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计学中的平均数，方差，中位数与极差的定义，解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
题型08 根据已知数据，判断统计量是否正确
【例8】（2023·山东泰安·校考模拟预测）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数
【答案】D
【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案．
【详解】解：追加前的平均数为：15(5+3+6+5+10)=5.8；
从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
追加后的平均数为：15(5+3+6+5+20)=7.8；
从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
综上，中位数和众数都没有改变，
故选：D．
【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【变式8-1】（2023·广东广州·广州市第一中学校考二模）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5B．平均数是7C．中位数是5D．方差是1
【答案】A
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定．
【详解】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故A正确；
这组数据的平均数为：3×4+4×6+5×8+6×24+6+8+2=4.4(吨)，故B不正确；
这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数，第10个数据为4，第11个数据为5，故这组数据的中位数为：4+52=4.5，故C不正确；
这组数据的方差为：3−4.42×4+4−4.42×6+5−4.42×8+6−4.42×24+6+8+2=0.84，故D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，是解决本题的关键．
【变式8-2】（2021·云南·统考一模）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：11,10,11,13,11, 13,15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11B．平均数是12C．方差是187D．中位数是13
【答案】D
【分析】分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，
A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的方差为17(10−12)2+(11−12)2×3+(13−12)2×2+(15−12)2=187，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键．
【变式8-3】（2023·山东德州·统考三模）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）

A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.7
【答案】D
【分析】根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即可判断选项D．
【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意；
B、平均成绩：110×(9.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9+8.6+9+9+9.4)=9，选项说法正确，符合题意；
C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；
D、方差：110×(9.4−9)2+(8.4−9)2+(9.2−9)2+(9.2−9)2+(8.8−9)2+(9−9)2+(8.6−9)2+(9−9)2+(9−9)2+(9.4−9)2=0.096，选项说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法．
【变式8-4】（2021·四川广元·统考一模）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（ ）
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变
D．中位数不变，平均数不变
【答案】C
【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．
【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
【变式8-5】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）酸雨是指雨、雪等在形成和降落过程中，吸收并溶解了空气中的二氧化硫、氮氧化合物等物质，形成了PH值低于5.6的酸性降水．某学校化学课外活动小组的同学在降雨后用PH计对雨水的PH值进行了测试，测试结果如下：
下列说法错误的是（ ）
A．众数是5.2B．中位数是5.1C．极差是0.5D．平均数是5.1
【答案】D
【分析】根据众数和中位数的定义求出众数和中位数即可判断A和B；由极差的定义可判断C；由求平均数的公式，计算出平均数即可判断D．
【详解】解：表格中PH值为5.2的出现了13次，为最多，故众数是5.2，A正确，不符合题意；
该小组共测试5+8+7+13+7=40次，
∴中位数是5.0+5.22=5.1，B正确，不符合题意；
∵PH值最大为5.3，最小为4.8，
∴极差是5.3−4.8=0.5，C正确，不符合题意；
平均数为4.8×5+4.9×8+5.0×7+5.2×13+5.3×740=5.0725，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查求一组数据的众数和中位数，极差，平均数．掌握众数，中位数和极差的定义，求平均数的公式是解题关键．
题型09 利用合适的统计量做决策
【例9】（2023·辽宁·模拟预测）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数B．中位数C．最大值D．方差
【答案】B
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
【变式9-1】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
【答案】A
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小．
【详解】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数．
故选：A．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键．
【变式9-2】（2022·浙江台州·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9，
∴从甲，丙，丁中选取，
∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，
∴S 2丁＜S 2甲＜S 2乙，
∴发挥最稳定的运动员是丁，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．
故选：D．
【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
【变式9-3】（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：
选择1名学员，最后应选 ．
【答案】甲
【分析】根据加权平均数的计算公式先求出甲和乙的得分，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：甲的成绩是：86×4+83×3+88×2+90×14+3+2+1=86.5 （分），
乙的成绩是：90×4+82×3+81×2+90×14+3+2+1=85.8（分），
∵86.5＞85.8，
∴最后应选甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算加权平均数的计算公式．
【变式9-4】（2023·吉林松原·统考一模）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．
(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【答案】(1)甲
(2)乙
【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可；
（2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可．
【详解】（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23>22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
（2）“能力”所占比例为：180°360°=12；
“学历”所占比例为：120°360°=13；
“经验”所占比例为：60°360°=16；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为：2×9+3×5+1×96=7；
乙三项成绩加权平均为：2×8+3×9+1×56=8；
∴8>7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键．
【变式9-5】（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x<85；B．85≤x<90；C．90≤x<95；D．95≤x<100）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数．
【答案】(1)40，96，92.5
(2)九年级成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数为980人
【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）a%=1−620×100%−10%−20%=40%，
故a=40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数b=96；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的第10、11个数分别为92、93，故中位数c=92+932=92.5；
故答案为：40，96，92.5；
（2）九年级的成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级。
（3）1400×620+40%=980（人），
答：估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数为980人．
【点睛】本题考查统计图的应用、方差、众数、中位数以及平均数等知识，掌握方差、众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
题型10 根据方差判断稳定性
【例10】（2023·辽宁营口·统考二模）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A．xA>xB且sA2>sB2．B．xA>xB且sA2C．xAsB2D．xA【答案】B
【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
【详解】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：B．
【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
【变式10-1】（2023·福建三明·统考模拟预测）在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为s甲2=0.24，s乙2=0.42，s丙2=0.56，s丁2=0.75，成绩最稳定的是（ ）
A．甲．B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据方差的意义求解可得答案．
【详解】解：∵s甲2=0.24，s乙2=0.42，s丙2=0.56，s丁2=0.75，
∴s甲2∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式10-2】（2019·河北·模拟预测）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：x甲=x丙=13，x乙=x丁=15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
【详解】∵x乙=x丁＞x甲=x丙，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选D．
【点睛】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．考点要求
新课标要求
命题预测
数据的收集、整理与描述
体会抽样的必要性，通过实例认识简单随机抽样.
进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了解数据处理的过程;能用计算器处理较为复杂的数据.
会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.
理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述.
通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差.
能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流.
统计是中考数学中的必拿分考点，虽然这个考点中所含概念较多，像中位数、众数、平均数、方差等概念，以及条形统计图、折线统计图、扇形统计图等，都需要理解其定义与意义，年年都会考查，但是这个考点整体的难度并不大，计算方式也比较固定，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现．所以，只要记住各个统计量，各个图表的定义与计算方法，都能很好的拿到这个考点所占的分值.
数据分析
概念
优缺点
全面调查
（普查）
为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查.
优点：收集到的数据全面、准确
缺点：一般花费多、工作量大，耗时长
抽样调查
抽取一部分对象进行调查，根据调查样本数据推断全体对象的情况叫抽样调查.
优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时.
缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
分类
概念
注意事项
总体
所要调查对象的全体对象叫做总体.
考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.
个体
总体中的每一个考察对象叫做个体.
总体包括所有的个体.
样本
从总体中抽取的部分个体叫做样本.
样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容量
样本中个体的数目称为样本容量.（无单位）
一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确.
统计图
图形
优点
缺点
常见结论
条形统计图
1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目.
2）易于比较数目之间的差别.
对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉.
各组数量之和=总数
扇形统计图
能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解.
各部分百分比之和=100%；
各部分圆心角的度数=相应百分比×360°
折线统计图
能清楚的反映各数据的变化趋势.
在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢.
各种数量之和=样本容量
频数分布直方图
直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别
各组数量之和=样本容量;
各组频率之和=1;
数据总数×相应的频率=相应的频数
步骤：
①计算数据的最大值与最小值的差.
②选取组距，确定组数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4．6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
56
鞋号
35
36
37
38
39
40
41
42
43
销售量/双
2
4
5
5
12
6
3
2
1
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校
5
15
x
8
4
B学校
7
10
12
17
4
特征数
平均数
众数
中位数
方差
A学校
74
75
y
127.36
B学校
74
85
73
144.12
运动时间t/min
频数
频率
30≤t<60
4
0.1
60≤t<90
7
0.175
90≤t<120
a
0.35
120≤t<150
9
0.225
150≤t<180
6
b
合计
n
1
成绩x/分
频数
频率
60≤x<70
15
0.1
70≤x<80
a
0.2
80≤x<90
45
b
90≤x<100
60
c
A
B
C
d
A
BA
CA
dA
B
AB
CB
dB
C
AC
BC
dC
d
Ad
Bd
Cd
平均数
众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
8
7
b
1.88
九年级竞赛成绩
8
a
8
1.56
平均数/分
中位数/分
众数/分
甲
90
①
93
乙
②
87.5
③
选手
平均数/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
8
8
8
c
乙
7.5
a
b
2.65
距离xm
1.21.41.61.82.0频数
1
4
8
10
2
代码
观点
A
获取信息方便，可以随时随地观看
B
价格便宜易得
C
使得人们成为“低头族”，不利于人际交往
D
内容丰富，比纸质书涉猎更广
E
其他
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是_________h，如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_________（单选）．
A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它
睡眠时间
频数
频率
t<7
3
0.06
7≤t<8
a
0.16
8≤t<9
10
0.20
9≤t<10
24
b
t≥10
5
0.10
平均数
定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么x = n个数的和 数的个数 =x1+x2+⋅⋅⋅+xnn，读作“x拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
加权平均数
定义：若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则x1w1+x2w2+⋅⋅⋅+xnwnw1+w2+⋅⋅⋅+wn，叫做这n个数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
中位数
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
方差
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：s2=1n[x1−x2+x2−x2+...+xn−x2].
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
极差
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况.
标准差
定义：方差的算术平方根,即s=[x1−x2+x2−x2+...+xn−x2n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
年龄
13
14
15
16
频数
28
22
23
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
出现的频数
5
8
7
13
7
PH
4.8
4.9
5.0
5.2
5.3
甲
乙
丙
丁
x
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
候选人
心理素质
身体素质
科学头脑
应变能力
甲
86
85
88
90
乙
90
82
81
90
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1