备战2025年高考二轮复习数学送分考点专项练2 复数、平面向量（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学送分考点专项练2 复数、平面向量（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=( )
A.0B.1C.2D.2
答案C
解析若z=-1-i,则|z|=(-1)2+(-1)2=2.
2.(2024·宁夏银川二模)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则(e2-2e1)·e2=( )
A.0B.-1C.1D.2
答案A
解析由题意可知|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1|·|e2|cs 60°=12,所以(e2-2e1)·e2=e22-2e1·e2=0.
3.(2024·新高考Ⅰ,2)若zz-1=1+i,则z=( )
A.-1-iB.-1+i
C.1-iD.1+i
答案C
解析因为zz-1=z-1+1z-1=1+1z-1=1+i,所以z=1+1i=1-i.
4.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2B.-1C.1D.2
答案D
解析因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2.
5.(2024·四川绵阳模拟)已知z=|3i-1|+i2 0241+i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案A
解析因为z=|3i-1|+i2 0241+i=2+11+i=2+1-i(1+i)(1-i)=52-12i,所以z=52+12i,故复数z在复平面中对应的点为(52,12),位于第一象限.
6.(2024·广东汕头模拟)已知平行四边形ABCD中,E为AC中点.F为线段AD上靠近点A的四等分点,设AB=a,AD=b,则EF=( )
A.-14a-12bB.-34a-12b
C.-12a-14bD.-12a-34b
答案C
解析如图所示,由题意可得AC=AB+AD=a+b,而EF=EA+AF=12CA+14AD=-12(a+b)+14b=-12a-14b.
7.(2024·湖南长沙二模)关于x的方程x2+x+1=0在复数范围内的两个根为z1,z2,则下列选项正确的是( )
A.z1+z2=1B.z1z2=-1
C.1z1+1z2=1D.|z1z2|=1
答案D
解析由题设方程,不妨取z1=-12+32i,z2=-12-32i,根据根与系数的关系知z1+z2=-1,z1z2=1,故A,B错误;1z1+1z2=z1+z2z1z2=-1,故C错误;|z1z2|=|z12z1z2|=|z12|=|-12+32i|=1,故D正确.
8.(2024·山东威海二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且对∀λ∈R,|b+λa|≥|b-a|,则a·b=( )
A.-2B.-1C.1D.2
答案C
解析因为|b+λa|≥|b-a|,所以|b+λa|2≥|b-a|2,所以|a|2λ2+2a·bλ+2a·b-|a|2≥0对∀λ∈R恒成立,所以Δ=(2a·b)2-4|a|2(2a·b-|a|2)≤0,所以|2a·b|2-4(2a·b-1)≤0,所以a·b=1.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·河南郑州模拟)在复平面内,设O为坐标原点,复数z2,z对应的点分别为A,B,若OA⊥OB,则z可能是( )
A.2iB.1-3iC.3+iD.3-i
答案ACD
解析设z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2-b2+2abi,z=a-bi,可知A(a2-b2,2ab),B(a,-b),即OA=(a2-b2,2ab),OB=(a,-b).若OA⊥OB,则a(a2-b2)+2ab(-b)=a(a2-3b2)=0,整理得a=0或a2=3b2,对比选项可知ACD正确,B错误.故选ACD.
10.(2024·山东青岛一模)已知复数z,下列说法正确的是( )
A.若z-z=0,则z为实数
B.若z2+z2=0,则z=z=0
C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数
答案AC
解析设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,若z-z=0,即(a+bi)-(a-bi)=2bi=0,即b=0,则z为实数,故A正确;若z2+z2=0,即(a+bi)2+(a-bi)2=0,化简可得a2-b2+2abi+a2-b2-2abi=0,即a2=b2,即a=±b.当a=b时,z=a+ai,z=a-ai,此时不一定满足z=z=0,当a=-b时,z=a-ai,z=a+ai,此时不一定满足z=z=0,故B错误;若|z-i|=1,即|z-i|=1=|a+(b-1)i|=a2+(b-1)2=1,所以a2+(b-1)2=1,即z表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆上的点,且|z|表示圆上的点到原点的距离,所以|z|的最大值为2,故C正确;若|z-i|=|z|+1,即|z-i|=|a+(b-1)i|=a2+(b-1)2,|z|+1=a2+b2+1,即a2+(b-1)2=a2+b2+1,化简可得b=-a2+b2,则a=0且b≤0,此时z可能为实数也可能为纯虚数,故D错误.故选AC.
11.(2024·山西省适应性考试)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物,如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF,它的边长为1,点P是△DEF内部(包括边界)的动点,则下列选项正确的有( )
A.DE=AF-12AD
B.AC·BD=34
C.若P为EF的中点,则CP在EC上的投影向量为-3EC
D.|FE+FP|的最大值为7
答案AD
解析取正六边形ABCDEF的中心为O,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则DE=OE-OD=AF-12AD,故A正确;由题意可知CE⊥EF,若P为EF的中点,则CP在EC上的投影向量为-EC,故C错误;
如图,建立平面直角坐标系,则A(-12,-32),B(12,-32),C(1,0),D(12,32),E(-12,32),F(-1,0),可得AC=(32,32),BD=(0,3),所以AC·BD=32,故B错误;设P(x,y),可知-1≤x≤12,0≤y≤32,则FE=(12,32),FP=(x+1,y),可得FE+FP=(x+32,y+32),则|FE+FP|=(x+32) 2+(y+32) 2,可知当x=12,y=32时,即点P与点D重合时,|FE+FP|的最大值为7,故D正确.故选AD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·江苏南通二模)设m∈R,i为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A⊆B,则m= .
答案1
解析集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A⊆B,则有2m+(m-1)i=-2i或2m+(m-1)i=2,解得m=1.
13.(2024·湖南长沙一模)已知平面向量a,b满足|a|=1,b=(1,2),a⊥(a-2b),则向量a,b夹角的余弦值为 .
答案510
解析因为b=(1,2),所以|b|=5.由a⊥(a-2b),有a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cs=1-25cs=0,所以cs=510.
14.(2023·浙江温州模拟)设a,b是平面内的两条互相垂直的直线,线段AB,CD的长度分别为2,10,点A,C在a上,点B,D在b上,若M是AB的中点,则MC·MD的取值范围是 .
答案[-9,11]
解析设直线a与直线b的交点为O,
因为M是AB的中点,AB=2,所以|MO|=1,
故点M在以O为圆心,半径为1的圆上.
设线段CD的中点为N,CD=10,所以NO=5,故点N在以O为圆心,半径为5的圆上,
因为MC·MD=(MN+NC)·(MN+ND)=(MN+NC)·(MN-NC),|NC|=5,
所以MC·MD=MN2-NC2=MN2-25.
又4≤|MN|≤6,所以-9≤MC·MD≤11,
所以MC·MD的取值范围是[-9,11].