备战2025年高考二轮复习数学送分考点专项练3 排列、组合与二项式定理（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学送分考点专项练3 排列、组合与二项式定理（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·北京,4)在(x-x)4的展开式中,x3的系数为( )
A.6B.-6C.12D.-12
答案A
解析(x-x)4的二项展开式的通项为Tr+1=C4rx4-r·(-x)r=C4r(-1)rx4-r2(r=0,1,2,3,4),令4-r2=3,解得r=2,故所求即为C42(-1)2=6.
2.(2024·广东湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,则a0+∑i=29ai=( )
A.-2B.-19C.15D.17
答案D
解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=-1.又(1-2x)9展开式的通项为Tr+1=C9r(-2x)r=C9r(-2)rxr(0≤r≤9且r∈N),所以a1=(-2)1×C91=-18,所以a0+∑i=29ai=-1-(-18)=17.
3.(2024·河北张家口三模)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为( )
A.-5B.5C.-10D.10
答案A
解析(1+x)5的展开式通项为Tr+1=C5rxr,则(1-x2)(1+x)5的展开式中x4项为C54x4-x2·C52x2=(C54-C52)x4=-5x4,所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为-5.
4.(2024·广东佛山二模)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲和乙当中的一人,丁和戊都不是最差的,则这5名同学的名次排列(无并列名次)共有( )
A.12种B.24种C.36种D.48种
答案B
解析依题意,排第1名,有C21种方法,排丁和戊,有A32种方法,排余下2人,有A22种方法,所以这5名同学的名次排列(无并列名次)共有C21A32A22=24(种).
5.(2024·湖南长沙三模)在(3x+y-1)8的展开式中,x2y的系数是( )
A.168B.-168C.1 512D.-1 512
答案D
解析原问题可以理解为8个(3x+y-1)相乘,要想得到x2y,需要8个因式中有2个取x项,1个取y项,还剩5个取常数项,由题意x2y的系数为C82×32×C61×1×C55×(-1)5=-1 512.
6.(2024·山东烟台一模)将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为( )
A.3B.6C.10D.15
答案B
解析依题意,每个盒子放入2个球,余下2个球可以放入一个盒子有C31种方法,放入两个盒子有C32种方法,所以不同放法的种数为C31+C32=6.
7.(2024·湖北黄冈模拟)设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(md m).若a=C201×2+C202×22+…+C2020×220,a≡b(md 9),则b的值可以是( )
A.2 018B.2 020C.2 022D.2 024
答案D
解析a=C201×2+C202×22+…+C2020×220=(1+2)20-1=910-1,所以a除以9的余数是8,选项中只有2 024除以9余8.
8.(2024·江苏无锡模拟)现将四名语文教师、三名心理教师、两名数学教师分配到三所不同学校,每个学校三人,要求每个学校既有心理教师又有语文教师,则不同的安排种数为( )
A.216B.432C.864D.1 080
答案B
解析求不同的安排种数需要分成3步,把3名心理教师分配到三所学校,有A33种方法,再把4名语文教师按2∶1∶1分成3组,并分配到三所学校,有C42A33种方法,最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校,有A22种方法,由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A33×C42A33×A22=432.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·重庆模拟)已知二项展开式f(x)=x3-1x8,下列说法正确的有( )
A.f(x)的展开式中的常数项是56
B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D.f(i)=-16,其中i为虚数单位
答案BC
解析x3-1x8的展开式的通项为Tk+1=C8k(x3)8-k·-1xk=(-1)kC8kx24-4k.令24-4k=0,即k=6,则T7=(-1)6C86=28,故A错误;令x=1,即f(1)=1-118=0,故各项系数之和为0,故B正确;由k=8,故二项式系数中的最大值为C84=8×7×6×54×3×2×1=70,故C正确;f(i)=i3-1i8=(-i+i)8=0,故D错误.故选BC.
10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课,且该天上午总共4节课,下列结论正确的是( )
A.若数学课不安排在第一节,则有18种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有12种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3种不同的安排方法
答案ABC
解析对于A,将数学排在后三节,再将其余3个科目全排列,有3A33=18种排法,故A正确;对于B,采用捆绑法,有A33=6种排法,故B正确;对于C,采用插空法,有A22A32=12种排法,故C正确;D是定序问题,有A44A33=4种排法,故D错误.故选ABC.
11.(2024·山东德州模拟)带有编号1,2,3,4,5的五个球,则下列说法正确的有( )
A.全部投入4个不同的盒子里,共有45种放法
B.放进不同的4个盒子里,每盒至少一个,共有4种放法
C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有20种放法
D.全部投入3个不同的盒子里,没有空盒,共有140种不同的放法
答案AC
解析由分步乘法计数原理,五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法,故A正确;五个不同的球放进不同的4个盒子里,每盒至少一个,共有C52A44=240种放法,故B错误;将其中的4个球投入一个盒子里(另一个球不投入)共有C54C41=20种放法,故C正确;将球全部投入3个不同的盒子里,没有空盒,共有C53A33+C52C32A22A33=150种不同的放法,故D错误.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·河北保定三模)在x+ax26(a>0)的展开式中,常数项为75,则a= .
答案5
解析x+ax26的展开式的通项为Tr+1=C6r·x6-r·ax2r=ar·C6r·x6-3r,令6-3r=0,解得r=2,所以常数项为C62·a2=15a2=75.又a>0,解得a=5.
13.(2024·全国甲,理13)13+x10的展开式中,各项系数中的最大值为 .
答案5
解析由题展开式通项为Tr+1=C10r(13)10-rxr,0≤r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大,则C10r(13) 10-r≥C10r+1(13) 9-r,C10r(13) 10-r≥C10r-1(13) 11-r⇒r≥294,r≤334,即294≤r≤334.又r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为C108(13)2=5.
14.(2024·广东佛山二模)甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车,已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车,且在每一个公交站点最多只有两人同时下车,从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序,则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 .
答案120
解析由题意,3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自下车,共有A53=60种,3人中有2人在同一公交站点下车,另1人在另外一公交站点下车,共有C32A52=60种,故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120种.