人教版九年级数学上册重点压轴题专项讲练21.3根与系数的关系(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

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专题21.3 根与系数的关系思想方法分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。知识点总结一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.典例分析 【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若x1+x2=22，求k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=−2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形为x2+2mx+m−2=0，即为x+m2=m2−m+2，再结合整数的意义即可解答．【解题过程】解：（1）∵Δ=22−4k1−2k=4−4k+8k2=8k2−12k+12=8k−142+72>0，∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x1，x2，∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=22可得：x1+x2=22，或x1+x2=−22，当x1+x2=22时，则−2k=22，解得k=−22；当x1+x2=−22时，则−2k=−22，解得k=22；②若两根异号，由x1+x2=22可得：(x1−x2)2=8，即x1+x22−4x1x2=8，∴−2k2−4×1−2kk=8，解得：k=1， 综上，k的值为1或 ±22；（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，若x1，x2均为整数，则x1+x2=−2k为整数，∴整数k=±1,±2，当k=±2时，x1x2=1−2kk不是整数，故应该舍去；当k=1时，此时方程为x2+2x−1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0，方程的两个根为x1=−1,x2=3，都是整数，符合题意；综上，当k取−1时，x1，x2均为整数；（3）显然，当k=−1时，符合题意；当k为有理数时，由于x1x2=1−2kk=1k−2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m (m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1−2k=0即为x2+2mx+m−2=0，配方得：x+m2=m2−m+2，即x=−m±m2−m+2，当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=−4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2−m+2=(m−12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=−1或12．学霸必刷1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1m−k−6，当①∴m+k−6=32,m−k−6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k−6=16,m−k−6=2，解得m=15，∴方程x2−17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k−6=8,m−k−6=4，解得m=12，∴方程x2−14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=−p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab+ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2−y+k=0x−y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2−x1x2−x2x1=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a，b是方程x2+15x+5=0的二根，求出a+b，ab的值，即可求出ab+ba的值；（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=−c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2−4×16c≥0，即可求出c的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2−x1x2−x2x1=2，即可求出k的值．【解题过程】（1）解：∵a，b是方程x2+15x+5=0的二根，∴a+b=−15，ab=5，∴ab+ba=a+b2−2abab=−152−2×55=43，∴ab+ba=43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=−c，ab=16c，∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴c2−4×16c≥0，∴c2−43c≥0，∵c是正数，∴c3−43≥0，∴c3≥43，∴c≥4，∴正数c的最小值是4；（3）存在，当k=−2时，y1y2−x1x2−x2x1=2．理由如下：∵x2−y+k=0①x−y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x−1，∴x2+k=x−1，即x2−x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2−x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴−12−4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k