2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（三）（含答案）

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(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；
(3)在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q(用尺规作图，保留作图痕迹)，并求出点Q的坐标.
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；
(3)如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c与x轴、y轴分别交于点B(6，0)和点C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为eq \f(15,2)时，求m值；
(3)如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，经过点A(0,﹣4)抛物线y=0.5x2＋bx＋c与x轴相交于B(﹣2，0),C两点,O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y=0.5x2＋bx＋c向上平移3.5个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)，点B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝﹣eq \f(1,2)x﹣eq \f(5,2)经过点A，且与y轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)，当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC＋3PB的最小值．
抛物线y＝x2﹣(m＋3)x＋3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(不与点O重合)．
(1)若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
(2)点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n(1≤n≤4)个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．
已知二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象经过点A(﹣2，2)，该图象与直线x＝2相交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；
(3)点M(m，0)、N(n，0)是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．
\s 0 答案
解：(1)把A(﹣1，0)，B(0，﹣2)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得：
，解得：，
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
(2)如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称，
∴MB＝P2M，P1M＝CM，P1P2＝BC，
∴△P1MP2≌△CMB，
∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)，
此时P1(﹣1，0)，
∵B(0，﹣2)，对称轴：直线x＝eq \f(1,2)，
∴P2(1，﹣2)；
如图2，MP2∥BC，且MP2＝BC，
此时，P1与C重合，
∵MP2＝BC，MC＝MC，∠P2MC＝∠BP1M，
∴△BMC≌△P2P1M，
∴P1(2，0)，
由点B向右平移eq \f(1,2)个单位到M，可知：点C向右平移eq \f(1,2)个单位到P2，
当x＝eq \f(5,2)时，y＝(eq \f(5,2)﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)＝eq \f(7,4)，
∴P2(eq \f(5,2)，eq \f(7,4))；
如图3，构建▱MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合，
由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，
∴点P1的横坐标为﹣eq \f(3,2)，
当x＝﹣eq \f(3,2)时，y＝(﹣eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)＝4﹣eq \f(9,4)＝eq \f(7,4)，
∴P1(﹣eq \f(3,2)，eq \f(7,4))，P2(0，﹣2)；
(3)如图3，存在，作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2，
则∠BQ1C＝∠BQ2C＝90°；
过Q1作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，
设Q1(eq \f(1,2)，y)(y＞0)，
易得△BDQ1∽△Q1EC，
∴，∴＝，
y2＋2y﹣eq \f(3,4)＝0，解得：y1＝﹣1﹣eq \f(\r(7),2)(舍)，y2＝﹣1＋eq \f(\r(7),2)，
∴Q1(eq \f(1,2)，﹣1＋eq \f(\r(7),2))，同理可得：Q2(eq \f(1,2)，﹣1﹣eq \f(\r(7),2))；
综上所述，点Q的坐标是：(eq \f(1,2)，﹣1＋eq \f(\r(7),2))，或(eq \f(1,2)，﹣1﹣eq \f(\r(7),2)).
解：(1)将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx＋n(m≠0)，
将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y＝mx＋n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x＋1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示.
设点P的坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)(﹣2＜x＜1)，则点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为(x，﹣x＋1)，
∴PE＝﹣x2﹣2x＋3，EF＝﹣x＋1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x＋3﹣(﹣x＋1)＝﹣x2﹣x＋2.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点Q的坐标为(﹣2，0)，
∴AQ＝1﹣(﹣2)＝3，
∴S△APC＝eq \f(1,2)AQ•PF＝﹣eq \f(3,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋3＝﹣eq \f(3,2)(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(27,8).
∵﹣eq \f(3,2)＜0，
∴当x＝﹣eq \f(1,2)时，△APC的面积取最大值，最大值为eq \f(27,8)，此时点P的坐标为(﹣eq \f(1,2)，eq \f(15,4)).
(3)当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x＋3＝3，
∴点N的坐标为(0，3).
∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示.
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM＋MN＝AM＋MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值.
当x＝﹣1时，y＝﹣x＋1＝2，
∴此时点M的坐标为(﹣1，2).
∵点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(﹣2，3)，点N的坐标为(0，3)，
∴AC＝3eq \r(2)，AN＝eq \r(10)，
∴C△ANM＝AM＋MN＋AN＝AC＋AN＝3eq \r(2)＋eq \r(10).
∴在对称轴上存在一点M(﹣1，2)，使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3eq \r(2)＋eq \r(10).
解：(1)在抛物线y＝ax2＋bx＋3中，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
∴CO＝3，
∵CO＝BO，
∴BO＝3，
∴B(3，0)，
∵A(﹣1，0)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，
∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点D坐标为(1，4)，
∴当x＝1时，y＝﹣1＋3＝2，
∴E(1，2)，
∴DE＝2；
(3)∵PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
当＝时，△PCF∽△CDE，
由D(1，4)，C(0，3)，E(1，2)，
利用勾股定理，可得CE＝eq \r(2)，
DE＝4﹣2＝2，
设点P坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，点F坐标为(t，﹣t＋3)，
∴PF＝﹣t2＋2t＋3﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，CF＝eq \r(2)t，
∴＝，
∵t≠0，∴t＝2，
当t＝2时，﹣t2＋2t＋3＝﹣22＋2×2＋3＝3，
∴点P坐标为(2，3)．
解：(1)把点B(6，0)和点C(0，﹣3)代入y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3；
(2)设直线BC的解析式为：y＝ax＋n，
由点B(6，0)和C(0，﹣3)得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣3，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵点P的坐标为(m，eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m﹣3)，PH∥y轴，
∴点H的坐标为(m，eq \f(1,2)m﹣3)，
∴PH＝yH﹣yP＝eq \f(1,2)m﹣3﹣(eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m﹣3)＝﹣eq \f(1,2)m2＋3m，
xB﹣xC＝6﹣0＝6，
∵S△PBC＝eq \f(1,2)PH×6＝eq \f(1,2)(﹣eq \f(1,2)m2＋3m)×6＝﹣eq \f(3,2)m2＋9m＝eq \f(15,2)，解得：m1＝1，m2＝5，
∴m值为1或5；
(3)如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，
∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M(x，0)，
①当∠CED＝∠BDM＝90°，
∴CE∥AB，
∵C(0，﹣3)，
∴点E的纵坐标为﹣3，
∵点E在抛物线上，
∴eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3＝﹣3．∴x＝0(舍)或x＝5，
∴M(5，0)；
②当∠DCE＝∠DMB＝90°，
∵OB＝6，OC＝3，
∴BC＝3eq \r(5)，
由(2)知直线BC的关系式为y＝eq \f(1,2)x﹣3，
∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣eq \f(1,2)x，
由(2)同理得ED＝﹣eq \f(1,2)x2＋3x，
∵DM∥OC，
∴，即，∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)x，
∵△ECD∽△BMD，
∴，即＝，
∴＝x(3﹣x)2，
x(6﹣x)(1﹣x)＝0，x1＝0(舍)，x2＝6(舍)，x3＝1，
∴M(1，0)；
综上所述：点M的坐标为(5，0)或(1，0)．
解：(1)将A(0，﹣4)、B(﹣2，0)代入抛物线y=0.5x2＋bx＋c中，得：
解得：b=﹣1,c=﹣4.
故抛物线的解析式：y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣4．
(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=eq \f(1,2)(x＋m)2﹣(x＋m)﹣4＋3.5，
即：y=eq \f(1,2)x2＋(m﹣1)x＋eq \f(1,2)m2﹣m﹣eq \f(1,2)；
它的顶点坐标P：(1﹣m,﹣1)；
由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0)；
设直线AC的解析式为y=kx＋b(k≠0)，把x=4，y=0代入，
∴4k＋b=0，b=﹣4，∴y=x﹣4．同理直线AB：y=﹣2x﹣4；
当点P在直线AB上时，﹣2(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=eq \f(5,2)；
当点P在直线AC上时，(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；
∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜eq \f(5,2)；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0