2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（二）（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（二）（含答案），共19页。

(2)若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．
(3)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点(不与A，B重合)，则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．
已知抛物线y=ax2﹣4a(a＞0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点M(m，n)为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，是否存在点M使△APM的面积为eq \f(5,2)eq \r(3)？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2).
【问题背景】求出抛物线C的解析式．
【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．
①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．
【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(3，0)、B(﹣1，0)，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为(0，﹣4)，求出此时△AFP面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；
(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MNMB时，求M点的坐标；
(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．
如图，已知直线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝eq \f(1,3)x2＋bx＋c的顶点是(2eq \r(3)，﹣1)，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作PG⊥AB于点G．
(1)求b、c的值；
(2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
(3)当点P运动到何处时，线段PG的长最小？最小值为多少？
如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)若C(0，﹣3)，求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；
(3)如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求的值．
如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式.
(2)在抛物线的对称轴直线x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标.
(3)设P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
\s 0 答案
解：(1)∵过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点C，且C(﹣1，0)，A(4，0)．
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋4，
令x＝0，得y＝4，
∴B(0，4)，
∵直线y＝kx＋n(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋4；
(2)如图，
∵A(4，0)．B(0，4)，
∴AB＝4eq \r(2)，
①当AB＝MB时，点M与点A(4，0)关于y轴对称，故M(﹣4，0)符合题意；
②当AB＝AM时，
AM＝AB＝4eq \r(2)，
∴M′(4﹣4eq \r(2)，0)、M″(4＋4eq \r(2)，0)．
综上所述，点M的坐标为(﹣4，0)或(4﹣4eq \r(2)，0)或(4＋4eq \r(2)，0)；
(3)存在，理由如下：设P(x，﹣x2＋3x＋4)(0＜x＜4)，
如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D(x，﹣x＋4)，
∴PD＝yP﹣yD＝(﹣x2＋3x＋4)﹣(﹣x＋4)＝﹣x2＋4x，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)PD•OA＝eq \f(1,2)×4×[﹣x2＋4x]＝﹣2(x﹣2)2＋8，
∵﹣2＜0，
∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，
∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．
解：(1)如图1，令y=0代入y=ax2﹣4a，∴0=ax2﹣4a，
∵a＞0，∴x2﹣4=0，∴x=±2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)，∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C，∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cs∠PBC=，∴BC=2，由勾股定理可求得：PC=2eq \r(3)，
∵OC=OC+BC=4，
∴P(4，2eq \r(3))，把P(4，2eq \r(3))代入y=ax2﹣4a，
∴2eq \r(3)=16a﹣4a，∴a=eq \f(1,6)eq \r(3)，
∴抛物线解析式为；y=eq \f(1,6)eq \r(3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)；
(2)∵点M在抛物线上，
∴n=eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3)，∴M的坐标为(m，eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))，
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，∴2≤m≤4，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A(﹣2，0)与P(4，2eq \r(3))代入y=kx+b，
得：，解得∴直线AP的解析式为：y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，
令x=m代入y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，∴y=eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3)，
∴D的坐标为(m，eq \f(\r(3),3) m+eq \f(2\r(3),3))，
∴DM=(eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3))﹣(eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+eq \f(\r(3),3)m+eq \f(4\r(3),3)，
∴S△APM=eq \f(1,2)DM×AE+eq \f(1,2)DM×CE=eq \f(1,2)DM(AE+CE)=eq \f(1,2)DM×AC=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)
当S△APM=eq \f(5,2)eq \r(3)时，∴eq \f(5,2)eq \r(3)=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)，∴解得m=3或m=﹣1，
∵2≤m≤4，∴m=3，此时，M的坐标为(3，eq \f(5,6)eq \r(3))；
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，∴﹣2≤m≤2，n＜0，
当﹣2≤m≤0时，
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m+eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=﹣eq \r(3)时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m﹣eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，
综上所述，当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，
M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))或(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))时，|m|+|n|的最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)．
解：【问题背景】
A(2，0)，对称轴为x＝4，则点B(6，0)，
则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝eq \f(1,2)，
故抛物线的表达式为：y=eq \f(1,2)x2-4x+6…①；
【尝试探索】①点C′(4，2)，由点B、C′的坐标可得，
直线BC′的表达式为：y＝﹣x＋6…②，
四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，
设点N的坐标为：(x，eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)，则点M(k，﹣k＋6)，
即|eq \f(1,2)k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±eq \r(13)或3±eq \r(5)，
故k的值为：eq \r(13)+3或3-eq \r(13)或eq \r(5)+3或3-eq \r(5).
②联立①②并解得：x＝0或6，
故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，
MN＝(﹣k＋6)﹣(eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)＝﹣eq \f(1,2)k2＋3k，
∵-eq \f(1,2)<00，故MN有最大值，最大值为eq \f(9,2)；
【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，
联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，
(Ⅰ)当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，
(Ⅱ)当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，
即eq \f(1,2)x2﹣4x＋6＝4，解得：x＝4±eq \r(3)(舍去4﹣2eq \r(3))，
即x＝4＋2eq \r(3)，则t＝3＋4＋2eq \r(3)＝7＋2eq \r(3)，
故t的取值范围为：2≤t≤2eq \r(3)．
解：(1)∵点B(5，0)，C(0，5)在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
(2)设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为(2，0)，
∵点C的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F(2，3)，
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为(5，3)，
∴FM′∥x轴，
∴﹣x2＋4x＋5＝3，解得，x1＝2＋eq \r(6)，x2＝2﹣eq \r(6)，
∴E1(2＋eq \r(6)，3)，E2(2﹣eq \r(6)，3)，
∴点E的坐标为(2＋eq \r(6)，3)或(2﹣eq \r(6)，3)；
(3)存在，Q1(，)，Q2(，)，Q3(2＋eq \r(7)，2)．
设Q(m，﹣m2＋4m＋5)，P(2，p)，
①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，
∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ(AAS)，
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，解得m1＝，m2＝(舍去)，
当m1＝时，﹣m2＋4m＋5＝，∴Q(，)；
②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△PKQ≌△QTO(AAS)，
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，解得m1＝，m2＝(舍去)，
当m1＝时，﹣m2＋4m＋5＝，∴Q(，)；
③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO(AAS)，
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，解得m1＝2＋eq \r(7)，m2＝2﹣eq \r(7)(舍去)，
当m1＝2＋eq \r(7)时，﹣m2＋4m＋5＝2，∴Q(2＋eq \r(7)，2)；
综上，Q1(，)，Q2(，)，Q3(2＋eq \r(7)，2)．
解：(1)当x＝0时，y＝﹣6，
∴C(0，﹣6)，
当y＝0时，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)；
(2)如图，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B(6，0)，C(0，﹣6)，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D(m，m﹣6)，
∴PD＝(m﹣6)﹣(eq \f(1,2)m2﹣2m﹣6)＝﹣eq \f(1,2)m2＋3m，
∴S△PBC＝﹣eq \f(3,2)(m﹣3)2＋eq \f(27,2)，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝eq \f(27,2)；
(3)如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝2，
∴F1点的坐标：(4，﹣6)，如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2＋2eq \r(7)，x2＝2﹣2eq \r(7)，
∴F2(2＋2eq \r(7)，6)，F3(2﹣2eq \r(7)，6)，
综上所述：F(4，﹣6)或(2＋2eq \r(7)，6)或(2﹣2eq \r(7)，6)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(3，0)、B(﹣1，0)，
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx＋d，
∵A(3，0)，F(0，﹣4)，
∴，解得：，
∴直线AF的解析式为y＝x﹣4，
设P(t，﹣t2＋2t＋3)(﹣1＜t＜3)，则Q(t，eq \f(4,3)t﹣4)，
∴PQ＝﹣t2＋2t＋3﹣(eq \f(4,3)t﹣4)＝﹣t2＋eq \f(2,3)t＋7，
∴S△AFP＝eq \f(1,2)PQ•OA＝eq \f(1,2)(﹣t2＋eq \f(2,3)t＋7)×3＝﹣eq \f(3,2)(t﹣eq \f(1,3))2＋eq \f(32,3)，
∵﹣eq \f(3,2)＜0，﹣1＜t＜3，
∴当t＝eq \f(1,3)时，△AFP面积的最大值为eq \f(32,3)；
(3)设P(m，﹣m2＋2m＋3)(﹣1＜m＜3)，F(0，n)，
∵A(3，0)，
∴OA＝3，OF＝|n|，
①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD＋∠APD＝90°，
∵∠PAD＋∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO(AAS)，
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2＋2m＋3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2＋2m＋3＝3，解得：m＝0或2，
当m＝0时，P(0，3)，AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F(0，﹣3)；
当m＝2时，P(2，3)，AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F(0，﹣1)；
②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，
∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠FPG＋∠FPD＝90°，
∵∠APD＋∠FPD＝∠APF＝90°，
∴∠FPG＝∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD(AAS)，
∴PG＝PD，FG＝AD，
∵PD＝﹣m2＋2m＋3，AD＝3﹣m，PG＝m，
∴﹣m2＋2m＋3＝m，
解得：m＝(舍去)或m＝，
当m＝时，P(，)，
∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣＝，
∴F(0，eq \r(13)﹣2)；
综上所述，点F的坐标为(0，﹣3)或(0，﹣1)或(0，eq \r(13)﹣2)．
解：(1)如图1，∵圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，
∴A(2，0)，C(0，2)，D(﹣2，0)，E(0，﹣2)，
∵B为OD中点，
∴B(﹣1，0)，
∵抛物线经过点A(2，0)，B(﹣1，0)，C(0，2)，
∴设y＝a(x＋1)(x﹣2)，
将C(0，2)代入，得：2＝a(0＋1)(0﹣2)，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋2.
(2)如图2，过点C作CH⊥BP于H，
∵OB＝1，OC＝2，OA＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴BC＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，
∵MC2＝MNMB，
∴＝，
∵∠CMN＝∠BMC，
∴△MCN∽△MBC，
∴∠MCN＝∠MBC，
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∴∠MBC＝45°，
∵∠BHC＝90°，
∴CH＝BH＝BCcs∠MBC＝eq \r(5)cs45°＝eq \f(\r(10),2)，
∵∠BCH＝∠MBC＝45°，
∴∠BCO＋∠HCN＝∠MCH＋∠HCN，
∴∠BCO＝∠MCH，
∴cs∠BCO＝cs∠MCH，
∴＝，∴CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝eq \f(3,4)eq \r(2)，
过点M作MG⊥OA于G，则∠AGM＝90°，
∵∠MAG＝45°，
∴AG＝MG＝AMsin∠MAG＝eq \f(3,4)eq \r(2)×sin45°＝eq \f(3,4)，
∴OG＝OA﹣AG＝2﹣eq \f(3,4)＝eq \f(5,4)，∴M(eq \f(5,4)，eq \f(3,4))．
(3)四边形CFEH是矩形．理由如下：
设抛物线与⊙O的交点坐标为(t，﹣t2＋t＋2)，
∵⊙O的半径为2，
∴(t﹣0)2＋(﹣t2＋t＋2﹣0)2＝22，
化简，得：t4﹣2t3﹣2t2＋4t＝0，
∵t≠0，
∴t3﹣2t2﹣2t＋4＝0，
∴(t﹣2)(t2﹣2)＝0，解得：t1＝2(舍去)，t2＝eq \r(2)，t3＝﹣eq \r(2)，
∴H(eq \r(2)，eq \r(2))，F(﹣eq \r(2)，﹣eq \r(2))，
∴H、F关于点O对称，
∴FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，
∴四边形CFEH是矩形．
解：(1)由题意得：抛物线为y＝eq \f(1,3)(x﹣2eq \r(3))2﹣1，
整理得y＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(4\r(3),3)x＋3，
∴b＝﹣eq \f(4\r(3),3)，c＝3；
(2)由题意知，抛物线的对称轴为x＝2eq \r(3)，
把y＝0代入y＝eq \f(1,3)(x﹣2eq \r(3))2﹣1，得x＝eq \r(3)或x＝3eq \r(3)，
∴C(eq \r(3)，0)，D(3eq \r(3)，0)，
∴CD＝2eq \r(3)．
I．如图，当以CD为菱形的边时，MN平行且等于CD．
若点N在对称轴右侧，
∵MN＝CD＝2eq \r(3)，
∴x＝2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
把x＝4eq \r(3)代入y＝eq \f(1,3)(x﹣2eq \r(3))2﹣1，得y＝3，
∴点N的坐标为(4eq \r(3)，3)．
∵MC＝2eq \r(3)．
∴MC＝MN＝CD＝2eq \r(3)，
∴四边形MNDC为菱形．即N(4eq \r(3)，3)符合题意．
同理可知，当N的坐标为(0，3)时，四边形MNCD也为菱形．
II．如图，当CD为菱形的对角线时，
根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分CD，
所以M，N在对称轴上．
又因为点N在抛物线上，
所以点N为抛物线的顶点，
所以点N的坐标为(2eq \r(3)，﹣1)．
综上所述，符合条件的点N的坐标为(4eq \r(3)，3)或(0，3)或(2eq \r(3)，﹣1)；
(3)把x＝0代入y＝﹣eq \f(\r(3),3)x﹣3，得y＝﹣3，
∴点B的坐标为(0，﹣3)．
把y＝0代入y＝﹣eq \f(\r(3),3)x﹣3，得x＝﹣3eq \r(3)，
∴点A的坐标为(﹣3eq \r(3)，0)．
∴AB＝6，
∴sin∠ABO＝eq \f(\r(3),2)，
如图，过点P作PH⊥x轴交AB于点H，
则有PH∥OB，∴∠PHC＝∠ABO，
∴sin∠PHG＝sin∠ABO＝eq \f(\r(3),2)，
设点P的横坐标为m，则P(m，eq \f(1,3)m2﹣eq \f(4\r(3),3)m＋3)，H(m，﹣eq \f(\r(3),3)m﹣3)，
∴PH＝eq \f(1,3)m2﹣eq \f(4\r(3),3)m＋3﹣(﹣eq \f(\r(3),3)m﹣3)＝eq \f(1,3)m2﹣eq \r(3)m＋6＝eq \f(1,3)(m﹣eq \f(3\r(3),2))2＋eq \f(15,4)，
∵eq \f(1,3)＞0，∴当m＝eq \f(3\r(3),2)时，PH有最小值，最小值为eq \f(15,4)，
此时PG有最小值eq \f(15,8)eq \r(3)，当m＝eq \f(3\r(3),2)时，eq \f(1,3)m2﹣eq \f(4\r(3),3)m＋3＝﹣eq \f(3,4)，
此时点P的坐标为(eq \f(3\r(3),2)，﹣eq \f(3,4))，
∴当点P运动到(eq \f(3\r(3),2)，﹣eq \f(3,4))时，线段PG的长的最小值为eq \f(15,8)eq \r(3)．
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)代入函数解析式y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)如图1，过点A作AG∥y轴交BC的延长线与点G，过点F作FM∥y轴交BC于点M，
设BC表达式为y＝kx＋m，将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴BC表达式为y＝x﹣3，
∵AG∥y轴，A(﹣1，0)，
∴G(﹣1，﹣4)，
∴AG＝4，
F(t，t2﹣2t﹣3)，
∵FM∥y轴，
∴M (t，t﹣3)，
∴MF＝t﹣3﹣t2＋2t＋3＝﹣t2＋3t，
∵AG∥y轴，FM∥y轴，
∴AG∥FM，
∴△AGE∽△FME，
∴＝＝＝﹣ (t2﹣3t)＝﹣ (t﹣)2＋，
∴当t＝时，有最大值是；
(3)过点E作EI⊥x轴于点I，过点F作FH⊥x轴于点H，
设点N (0，n)，AN表达式为y＝k1x＋n，
将点A(﹣1，0)代入得k1＝n，
∴AN表达式为y＝nx＋n，联立y＝x2﹣2x﹣3得：
，
即：nx＋n＝x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣(2＋n)x﹣(3＋n)＝0，解得x1＝3＋n．x2＝﹣1(舍)，
∴E点的横坐标为3＋n，
∵EI⊥x轴，
∴I点的横坐标为3＋n，
∴OI＝3＋n，
同理BN的直线表达式为v﹣y＝﹣eq \f(1,3)nx＋n，F点的横坐标为﹣1-eq \f(1,3)n，
∴OH＝1+eq \f(1,3)n，
∵EI⊥x轴，FH⊥x轴，
∴ON∥IE，ON∥HF，
又∵OA＝1，OB＝3，
∴，，
∴＝＝．
解：(1)由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－1，,a＋b＋c＝0，,c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,c＝3.))
∴抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x＋3.
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过点A(1，0)，
∴点B(﹣3，0).
把点B(﹣3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=mx＋n，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3m＋n＝0，,n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3.))
∴直线BC的函数表达式为y=x＋3.
(2)∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，
∴直线BC与对称轴x=﹣1的交点就是使MA＋MC的值最小的点M.
把x=﹣1代入y=x＋3，得y=2，
∴点M(﹣1，2).
(3)如解图，设点P(﹣1，t).
∵点B(﹣3，0)，C(0，3)，
∴BC2=18，PB2=(﹣1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(﹣1)2＋(t﹣3)2=t2﹣6t＋10.
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2=PC2，
即18＋4＋t2=t2﹣6t＋10，解得t=﹣2.
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2=PB2，
即18＋t2﹣6t＋10=4＋t2，解得t=4.
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2=BC2，
即4＋t2＋t2﹣6t＋10=18，解得t1=eq \f(3＋\r(17),2)，t2=eq \f(3－\r(17),2).
综上所述，点P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，eq \f(3＋\r(17),2))或(﹣1，eq \f(3－\r(17),2)).